Eigenmode analysis of dielectric waveguides using nyström-method-based boundary integral equations
Nyström yöntemi tabanlı sınır integral denklemleri ile dielektrik dalga kılavuzlarının Özmod analizi
- Tez No: 1022486
- Danışmanlar: PROF. DR. MEHMET ÇAYÖREN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği, Electrical and Electronics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Dalga kılavuzları, Dielektrikler, Elektromanyetik dalgalar, Maxwell denklemleri, Sayısal analiz, Sınır integral denklemi, Özdeğerler, İntegral denklemler, Waveguides, Dielectrics, Electromagnetic waves, Maxwell equations, Numerical analysis, Boundary integral equation, Eigenvalues, Integral equations
- Yıl: 2026
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Telekomünikasyon Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Optik dalga kılavuzları, elektromanyetik enerjinin belirli bir doğrultuda kontrollü biçimde taşınmasını sağlayan temel fotonik yapılardır. Fiber optik haberleşme sistemleri, tümleşik optik devreler, fotonik kristal fiberler, algılayıcılar ve mikro/nano ölçekli fotonik aygıtlar gibi birçok uygulamada, dalga kılavuzlarının desteklediği modların doğru biçimde belirlenmesi gerekir. Bir dalga kılavuzunun modal davranışı, yalnızca ışığın yapı içinde yayılıp yayılmadığını değil; aynı zamanda faz yayılımını, etkin kırılma indisini, alanın çekirdek içinde hapsolma düzeyini, polarizasyon karakterini ve olası sızıntı mekanizmalarını da belirler. Bu nedenle yayılım sabiti, etkin kırılma indisi ve modal alan dağılımları, fotonik bir aygıtın hem fiziksel olarak anlaşılması hem de sayısal olarak tasarlanması için temel büyüklüklerdir. Boyuna doğrultuda değişmeyen bir optik dalga kılavuzunda özmod analizi, elektromanyetik alanların yayılım doğrultusunda üstel bir faz çarpanı ile değiştiği varsayımına dayanır. Bu durumda çalışma frekansı sabit tutulur ve bu frekansta yapının izin verdiği yayılım sabitleri aranır. Kılavuzlanan modlarda yayılım sabiti çoğunlukla gerçek değerli iken, açık veya zayıf hapsedilmiş yapılarda sızıntılı modlar karmaşık etkin indislerle temsil edilebilir. Etkin indisin gerçek kısmı faz yayılımını, sanal kısmı ise sızıntı veya zayıflama davranışını karakterize eder. Bu nedenle güvenilir bir özmod çözücüsünün yalnızca gerçek kökleri değil, gerektiğinde karmaşık kökleri de tutarlı biçimde ele alabilmesi önemlidir. Dalga kılavuzu özmodlarının sayısal hesabı için sonlu farklar, sonlu elemanlar ve spektral yöntemler gibi hacim tabanlı yaklaşımlar yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemler genel malzeme dağılımlarını ve karmaşık geometrileri ele alabilmeleri bakımından güçlüdür. Bununla birlikte, parça parça homojen dielektrik yapılarda tüm kesit bölgesinin ayrıklaştırılması çoğu zaman gereğinden fazla serbestlik derecesi doğurur. Ayrıca açık bölge problemlerinde hesaplama alanının yapay bir sınırla sonlandırılması, soğurucu katmanlar veya dış sınır koşulları gibi ek modelleme kararları gerektirir. Bu kararlar, özellikle yüksek doğruluk istenen modal analizlerde hem hesaplama maliyetini hem de sonucun duyarlılığını etkileyebilir. Sınır integral denklemi yaklaşımları, bu tür parça parça homojen problemlerde doğal bir alternatif sunar. Her homojen alt bölgede alanlar, ilgili Helmholtz temel çözümü ve katman potansiyelleri aracılığıyla temsil edilebilir. Böylece diferansiyel denklem bölge içinde analitik olarak sağlanır ve sayısal bilinmeyenler yalnızca malzeme arayüzleri üzerinde tanımlanır. Bu özellik, iki boyutlu kesit problemlerinde alanın tüm kesitte değil, yalnızca sınır eğrilerinde ayrıklaştırılmasını sağlar. Açık bölge davranışı da uygun Green fonksiyonu içinde doğal olarak yer alır. Bu tez, dielektrik optik dalga kılavuzlarının özmod analizi için bu sınır tabanlı bakış açısını esas almaktadır. Bu çalışmanın temel amacı, dielektrik dalga kılavuzlarının kılavuzlanan ve sızıntılı özmodlarını hesaplamak için yüksek mertebeli, Nyström yöntemi tabanlı bir sınır integral çerçevesi geliştirmektir. Yöntem, zaman-harmonik Maxwell denklemlerinden başlayarak tam-vektörel bir modal problem formülasyonu kurar. Daha sonra bu problem, Müller-tipi birleşik alan sınır integral gösterimi ile yalnızca malzeme arayüzleri üzerinde tanımlanan bir operatör sistemine indirgenir. Elde edilen sistem yüksek mertebeli Nyström ayrıklaştırmasıyla sayısallaştırılır. Özdeğer araması sırasında ortaya çıkabilen fiziksel olmayan sahte minimumları azaltmak için ise iç noktalarla genişletilmiş ve ince QR ayrışımına dayalı bir gösterge kullanılır. Tezin problem formülasyonu, boyuna doğrultuda değişmeyen ve kesit düzleminde parça parça homojen malzeme bölgelerinden oluşan dielektrik dalga kılavuzlarını ele alır. Zaman-harmonik Maxwell denklemleri altında alanların z doğrultusunda e üzeri −iβz çarpanı ile değiştiği varsayılır. Burada β, aranacak yayılım sabitidir. Bu modal varsayım sonucunda elektromanyetik alanın boyuna bileşenleri Ez ve Hz, kesit düzleminde iki boyutlu Helmholtz denklemlerini sağlar. Enine alan bileşenleri ise Ez, Hz ve bunların kesit düzlemindeki türevleri kullanılarak yeniden elde edilir. Böylece modal problem, boyuna elektrik ve manyetik alan bileşenleri üzerinden kurulabilen bağlı bir sistem hâline gelir. Dielektrik arayüzlerinde teğetsel elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin sürekliliği sağlanmalıdır. Modal indirgeme kullanıldığında bu koşullar, Ez ve Hz bileşenlerinin sürekliliği ile bunların normal ve teğetsel türevlerini içeren bağlı arayüz koşullarına dönüşür. Bu nedenle genel dalga kılavuzu özmod problemi yalnızca skaler bir Helmholtz problemi olarak görülemez. Zayıf kılavuzlama yaklaşımı bazı özel durumlarda skaler modellerle yaklaşık sonuçlar verebilse de, yüksek indis karşıtlığına sahip dalga kılavuzlarında, fotonik kristal fiberlerde ve hibrit modların önemli olduğu yapılarda tam-vektörel formülasyon gereklidir. Bu tezde kullanılan yaklaşım, bu genel arayüz koşullarını esas alır ve yalnızca özel TE, TM veya zayıf kılavuzlama varsayımlarına dayanmaz. Sürekli problem daha sonra sınır integral denklemleri cinsinden ifade edilir. Her homojen bölgede boyuna alan bileşenleri, tek katman ve çift katman potansiyelleriyle temsil edilir. Bu potansiyeller, bulundukları bölgede Helmholtz denklemini otomatik olarak sağlar; bilinmeyenler ise yalnızca arayüzler üzerindeki yoğunluk fonksiyonlarıdır. Arayüz limitleri alındığında tek katman, çift katman ve ilgili türev operatörleri için sıçrama bağıntıları kullanılır. Tezde Müller-tipi birleşik alan gösterimi tercih edilmiştir. Bu gösterim, dielektrik iletim problemlerinde arayüzün iki tarafındaki potansiyel temsillerini uygun katsayılarla birleştirerek en kuvvetli tekil katkıların dengelenmesine ve daha iyi koşullandırılmış bir sınır integral sisteminin elde edilmesine olanak sağlar. Elde edilen sınır integral sistemi, yayılım sabiti β'ya doğrusal olmayan biçimde bağlıdır. Belirli bir β değeri için bir matris sistemi kurulabilir; fiziksel modlar ise bu sistemin tekil veya yaklaşık tekil hâle geldiği β değerlerinde ortaya çıkar. Bu nedenle problem, standart bir matris özdeğer probleminden ziyade, β düzleminde karakteristik değerlerin aranması olarak ele alınır. Gerçek kökler kılavuzlanan modları, karmaşık kökler ise uygun dal ve işaret seçimi altında sızıntılı modları temsil edebilir. Sınır integral operatörlerinin sayısallaştırılması için yüksek mertebeli Nyström yöntemi kullanılmıştır. Düzgün arayüzler periyodik parametrik eğrilerle temsil edilir ve integral operatörleri bu eğriler üzerindeki düğüm noktalarında ayrıklaştırılır. Green fonksiyonundan kaynaklanan logaritmik veya zayıf tekil çekirdekler nedeniyle standart kuadratür tek başına yeterli değildir. Bu nedenle çekirdekler tekil ve düzgün bileşenlerine ayrılır; tekil kısmın bilinen analitik yapısından yararlanılarak düzeltilmiş kuadratür ağırlıkları kullanılır. Böylece aynı arayüz üzerindeki yakın nokta etkileşimleri ve diyagonal terimler tutarlı biçimde hesaplanır. Tam-vektörel arayüz koşullarında yer alan teğetsel türevler de sınır parametrizasyonu üzerinden tanımlanarak ayrık sisteme dâhil edilir. Özdeğer aramasında en basit yaklaşım, sınır sisteminin en küçük tekil değerini β'nın fonksiyonu olarak taramak ve yerel minimumları aday modlar olarak seçmektir. Ancak yalnızca sınır denklemlerine dayalı bu yöntem bazı durumlarda fiziksel olmayan sahte minimumlar üretebilir. Sınır üzerinde küçük kalıntı veren ancak iç bölgede anlamlı bir elektromanyetik alan oluşturmayan osilasyonlu yoğunluklar, gerçek modlarla karıştırılabilir. Bu problemi azaltmak için tezde iç noktalarla genişletilmiş bir arama stratejisi kullanılmıştır. Seçilen iç örnekleme noktalarında katman potansiyelleri değerlendirilir ve genişletilmiş sistem üzerinde ince QR ayrışımı uygulanır. Böylece fiziksel modlara karşılık gelen yoğunluklar, sahte sınır yoğunluğu salınımlarından daha güvenilir biçimde ayrılır. Geliştirilen yöntem farklı sayısal örnekler üzerinde doğrulanmıştır. İlk olarak, dairesel adım indisli fiber benzeri kontrollü bir kıyaslama problemi üzerinde yakınsama davranışı ve sahte kök arama stratejisi incelenmiştir. Hesaplanan etkin indis n_eff = β/k₀ referans değerle karşılaştırılmış ve ayrıklaştırma noktası sayısı arttıkça hatanın azaldığı gözlenmiştir. Aynı örnek üzerinde standart yalnızca-sınır tekil değer göstergesi ile iç noktalarla genişletilmiş gösterge karşılaştırılmış; önerilen göstergenin fiziksel kökü daha belirgin hâle getirdiği ve sahte minimumları bastırdığı gösterilmiştir. İkinci örnekte, yüksek indisli kare çekirdekli bir dielektrik dalga kılavuzu ele alınmıştır. İncelenen 1 μm × 1 μm boyutlarındaki yapıda hesaplanan etkin indis Re(n_eff) = 2.656793136155 olarak bulunmuştur. Bu değer, literatürdeki sonlu fark, sınır elemanı ve Neumann-to-Dirichlet tabanlı sınır integral sonuçlarıyla çok yakın uyum göstermektedir. Bu sonuç, önerilen Müller–Nyström formülasyonunun dairesel olmayan ve köşe benzeri geometriye sahip dielektrik dalga kılavuzlarında da başarılı biçimde kullanılabileceğini göstermektedir. Üçüncü örnek olarak, altı hava deliğinden oluşan altıgensel halkalı bir fotonik kristal fiber incelenmiştir. Bu yapı birden fazla ayrık arayüz içerdiğinden, yöntemin çoklu arayüzlü geometrilerdeki başarımını test etmek için önemlidir. Delik çapı d = 5 μm, perde aralığı Λ = 6.75 μm, arka plan kırılma indisi n₀ = 1.45, delik indisi 1.0 ve çalışma dalga boyu λ = 1450 nm olarak alınmıştır. Hesaplanan karmaşık etkin indislerin gerçek kısımları referans sonuçlarla uyumlu bulunmuş, sanal kısımları ise modların sızıntı davranışını doğru mertebede yeniden üretmiştir. Ayrıca Ez ve Hz alan dağılımları yeniden oluşturularak modların hibrit karakteri ve alan hapsi görsel olarak incelenmiştir. Son olarak, parabolik dereceli indisli bir fiber ele alınmıştır. Sınır integral formülasyonu parça parça homojen ortamlar için kurulduğundan, sürekli değişen indis profili eşmerkezli homojen katmanlarla yaklaşık olarak temsil edilmiştir. İncelenen kıyaslama probleminde n₁ = 1.462, n₂ = 1.447, a = 25 μm, λ = 0.78 μm ve α = 2 değerleri kullanılmıştır. İlk iki mod için elde edilen etkin indisler sırasıyla 1.46129063954209 ve 1.46058133641588 olarak hesaplanmıştır. Bu değerler exact/SPPS referans sonuçlarıyla karşılaştırıldığında yaklaşık 2.9954 × 10⁻⁷ ve 1.0014 × 10⁻⁶ mutlak hata vermektedir. Bu sonuç, çok katmanlı sınır integral yaklaşımının dereceli indisli fiberlerin modal analizinde de etkili biçimde kullanılabileceğini göstermektedir. Genel olarak bu tez, dielektrik dalga kılavuzlarının özmod analizi için yalnızca arayüzleri ayrıklaştıran, yüksek mertebeli ve sahte köklere karşı daha güvenilir bir sınır integral çerçevesi sunmaktadır. Çalışmanın ana katkıları; tam-vektörel Maxwell tabanlı problem formülasyonu, Müller-tipi sınır integral gösterimi, yüksek mertebeli Nyström ayrıklaştırması ve iç noktalarla genişletilmiş ince QR tabanlı özdeğer arama stratejisi olarak özetlenebilir. Sayısal örnekler, yöntemin farklı geometri ve malzeme sınıflarında doğru etkin indisler ve fiziksel olarak anlamlı modal alanlar üretebildiğini göstermektedir. Bu yönüyle tez, hesaplamalı fotonikte sınır integral yöntemlerinin özmod analizi için doğru, sistematik ve genişletilebilir bir alternatif sunduğunu ortaya koymaktadır.
Özet (Çeviri)
Optical waveguides are fundamental components of modern photonic systems, including integrated optical circuits, fiber-optic communication systems, sensors, and photonic crystal fiber devices. The accurate computation of their guided and leaky eigenmodes is therefore an essential task in computational photonics. In these problems, the main quantities of interest are the propagation constants, effective refractive indices, and corresponding electromagnetic field distributions supported by a given cross-sectional geometry. Standard domain-based methods such as finite-difference and finite-element techniques are widely used for this purpose; however, they usually require volumetric meshing of the cross section and, for open structures, additional truncation or absorbing-boundary treatments. These requirements may become computationally demanding when high accuracy is needed, especially for waveguides with multiple dielectric interfaces, high refractive-index contrast, or geometrically complex cross sections. This thesis develops a high-order boundary-integral eigenmode solver for dielectric optical waveguides. The formulation starts from the time-harmonic Maxwell equations in longitudinally invariant structures and reduces the modal problem to a coupled system for the longitudinal electric and magnetic field components. The transverse field components are then obtained from these longitudinal components through the modal relations. By enforcing the electromagnetic transmission conditions on material interfaces, the waveguide eigenmode problem is written as a nonlinear eigenvalue problem with respect to the propagation constant. The boundary-integral formulation used in this work is based on a Müller-type combined-field representation. This representation is particularly suitable for dielectric transmission problems because it leads to a well-conditioned system involving boundary traces on the material interfaces, while avoiding the need for volumetric discretization of homogeneous subdomains. The resulting boundary-integral operators are discretized using a high-order Nyström method. Smooth interfaces are represented by periodic parametric curves, and the singular or weakly singular behavior of the integral kernels is treated through corrected quadrature rules. Tangential derivatives appearing in the full-vector interface conditions are evaluated consistently along the boundary parametrization. This discretization strategy provides an accurate and geometrically flexible framework for the analysis of waveguides with arbitrary smooth cross sections. In addition, graded-index fiber profiles are approximated by a multilayer representation, which allows continuously varying refractive-index distributions to be incorporated into the same boundary-integral framework. A central difficulty in boundary-only eigenmode computations is the appearance of spurious minima or nonphysical candidate roots during singular-value-based searches. To address this issue, the thesis employs an interior-augmented eigenvalue search strategy based on a thin QR decomposition. Instead of relying only on the smallest singular value of the boundary system, the method augments the boundary equations with interior field samples and constructs a scale-invariant indicator that distinguishes physical modes from spurious boundary-density oscillations. This produces a more reliable search procedure for both guided modes with real propagation constants and leaky modes with complex effective indices. The proposed method is validated through several numerical examples, including square-core or rectangular-core dielectric waveguides, photonic crystal fiber geometries, and graded-index fiber configurations. The computed propagation constants and effective refractive indices are compared with benchmark results from the literature where available, and the corresponding modal field distributions are reconstructed to verify the physical behavior of the obtained modes. The numerical results demonstrate that the proposed high-order Nyström boundary-integral framework can accurately compute waveguide eigenmodes while using only interface-based discretization. The thesis therefore provides a detailed formulation, implementation, and validation of a boundary-integral approach for the eigenmode analysis of dielectric waveguides, with particular emphasis on high-order discretization and spurious-free spectral search.
Benzer Tezler
- Modelling and characterization of the spoof surface plasmon polariton waveguides and reconfigurable components for terahertz integrated systems
Terahertz entegre sistemler için yapay yüzey plazmon polariton dalga kılavuzları ve ayarlanabilir bileşenlerin modellenmesi ve karakterizasyonu
MUHAMMED ABDULLAH UNUTMAZ
Doktora
İngilizce
2021
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiAnkara Yıldırım Beyazıt ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Teknolojileri Ana Bilim Dalı
DOÇ. MEHMET ÜNLÜ
- Analysis of wave propagation characteristics and design methods in two dimensional photonic bandgap structures
İki boyutlu fotonik bant durduran yapılarda dalga analizi ve tasarım yöntemleri
ONUR ERKAN
Doktora
İngilizce
2019
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SERKAN ŞİMŞEK
- Innovative designs of RF transmit array coils and RF heating analysis of patients with implanted DBS
RF verici dizisi sargılarının yenilikçi tasarımları ve implante edilmiş DBS'li hastaların RF ısınma analizi
EHSAN KAZEMIVALIPOUR
Doktora
İngilizce
2020
Biyomühendislikİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ERGİN ATALAR
- RF yüksek güç uygulamaları
RF high power applications
ASLIHAN ÇAĞLAR
Doktora
Türkçe
2026
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiYıldız Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HAMİD TORPİ
DOÇ. DR. NAFİZ GÖKHAN ÜNEL