Geri Dön

Даража чек катмардуу сингулярдуу козголгон параболалык теңдемелердин чыгарылыштарынын асимптотикасы

Güç sınır katmanı içeren singüler pertürbasyon parabolik denklemlerin çözümlerinin asimptotiği

PDF İndir

  1. Tez No: 719291
  2. Yazar: PEYİL ESENGUL KIZI
  3. Danışmanlar: PROF. DR. ASAN ÖMÜRALİYEV
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Singülar pertürbasyon parabolik problem, asimptotik, sınır katman, açısal sınır katman, Singularly perturbed parabolic problem, asymptotic, boundary layer, angular boundary layer
  7. Yıl: 2022
  8. Dil: Kırgızca
  9. Üniversite: Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 91

Özet

Singular pertürbasyon problemlerinin incelenmesine olan ilgi, uygulamalı matematik alanında önemli bir yer aldığından kaynaklanmaktadır. Viskoz bir sıvının (su, kan) hareketi her zaman sınır katman etkisiyle ilişkilidir. Bir fiziksel özellikten başka bir fiziksel özelliğe eşit olmayan bir geçişten kaynaklanan matematiksel model, küçük veya büyük parametreli diferansiyel denklemlerle tanımlanır. Dağıtılmış kinetik sistemlerin matematiksel modelinde, her uzamsal nokta bir salınım üretecidir ve bu üreteçler arasındaki bağlantı ısı iletimi yoluyla gerçekleştirilir. Isı iletimi ve taşınım yoluyla ısı transferi, parabolik tipteki diferansiyel denklemler kullanılarak tanımlanır. İç içe geçen ortamlarda oldukça kararlı bir tabakalaşma ile türbülize bir sıvı içinde ısının yayılması, en yüksek türevde küçük bir parametreye sahip bir parabolik diferansiyel denklem ile tanımlanır. Bu çalışma, yukarıdaki singülar pertürbasyon problemleri çözmeye adanmıştır. Burada, dregülarize yönteminin bakış açısından, türevlere bakan küçük bir parametreye sahip parabolik tipte bir diferansiyel denklem sistemi için sınır değer problemleri araştırılmaktadır. Geliştirilen algoritma, güç, parabolik ve açısal sınır katman fonksiyonlarını içeren çözümün asimptotiklerinin oluşturulmasına izin verir. Tez çalışması giriş, 5 bölüm, sonuç, kullanılan kaynakların bir listesinden oluşmaktadır. Birinci bölüm, bu konu hakkında literatür ve kullanılan yöntemlerin incelemesi yapılmıştır. Bazı yazarlar tarafından elde edilen defalarca kullanılan ve başka kaynaklardan yararlanarak sonuçları sunmaktadır. ix İkinci bölümde, bir adi diferansiyel denklem sisteminin çözümünün asimptotiği, diğer yazarlar tarafından elde edilen sonuçlarla karşılaştırmalı olarak oluşturulmuştur. Üçüncü bölüm, skaler parabolik denklemlerin çözümüne ayrılmıştır. Dördüncü bölümde, parabolik tipteki diferansiyel denklemler sisteminin ikinci türevinin skaler bir fonksiyon olduğu durumun asimptotik bir çözümünü oluşturmak. Beşinci bölüm, matrisin parabolik tipte bir diferansiyel denklemler sisteminin ikinci türevinin önünde olduğu durumla ilgilidir. Bir veya diğer özelliğe sahip diferansiyel denklemleri çözmek her zaman zordur, bu nedenle çoğu araştırmacı bu tür problemlerle ilgilenir. Temel olarak, bu tür problemler dejeneratif ve çeşitli özel noktalara sahip denklemler için ortaya çıkar. Tezin temel amacı, parabolik denklemler ve denklem sistemleri için sınır değer problemlerini analiz etmek ve bunları asimptotiğini kurarak çözmektir. Konulan problemler çözümünde S.A. Lomov'un regülarize yöntemi ve S.A. Omuraliev'in problemin asimptotiğini oluşturma yöntemini kullanıyoruz. İlk problem, bir adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchy problemi ile ilgilidir. Bu problemin çözümünün asimptotiğini oluştururken ortaya çıkan derece sınır katman fonsiyonları içerir. Adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchy problemi (𝜀 + 𝑡)𝑢′(𝑡, 𝜀) = 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡, 𝜀) + 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ (0,1], 𝑢(𝑡, 𝜀)|𝑡=0 = 𝑢0. (2.1) burda 𝜀 > 0 küçük parametre, 𝑛 × 𝑛 boyutunda basit bir yapı matris 𝐵(𝑡)'nın { ( )}, 1,2,..., j  t j  n özdeğerlere karşılık gelen özvektörü { ( )} j b t ile belirleyelim. Bu problem aşağıdaki tahminler ile çözülecektir. 1. ∀𝑡 ∈ [0,1] 𝐵(𝑡) ∈ 𝐶∞([0,1], 𝐶𝑛2 ), 𝑓(𝑡) ∈ 𝐶∞([0,1], 𝐶𝑛 ) 2. 𝑅𝑒 𝜆𝑗(0) < 0, 𝜆𝑗(𝑡) ≠ 0, 𝜆𝑗 ≠ 𝜆𝑖(0), ∀𝑡 ∈ [0,1], 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 = ̅1̅̅,̅𝑛̅. Bu problem çözümünün asimptotiğini oluşturmakta çözüm güç sınır katman fonksiyonun içerir: П𝜀 (𝑡) = ( 𝜀 𝑡+𝜀 ) 𝜆 , 𝜆 > 0. (2.2) Çözüm asimptotiğini oluşturmak için yapay yöntemi kullanarak yapısını basitleştirmeyi, yani ln (1 + 𝑡) dereceli polinomu ortadan kaldırmayı başardık. x Regülar değişkenleri tanıtalım: 𝜏𝑗=𝜆𝑗(0)ln(𝑡+𝜀𝜀)≡𝜃𝑗(𝑡,𝜀),𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅,𝑧=ln(𝑡+𝜀𝜀) ve genişletilmiş 𝑢̃(𝑀,𝜀) fonksiyonu için 𝜀 'nin regülar problemi şu şekilde elde edilir: 𝐿̃𝜀𝑢̃(𝑀,𝜀)≡(𝜀+𝑡)𝜕𝑡𝑢̃(𝑀,𝜀)+𝐷𝜆𝑢̃(𝑀,𝜀)−𝐵(𝑡)𝑢̃(𝑀,𝜀)+ +𝜕𝑧𝑢̃(𝑀,𝜀)=𝑓(𝑡), 𝑢̃(𝑀,𝜀)|𝑡=𝜏=0=𝑢0, (2.3) бул жерде 𝐷𝜆≡Σ𝜆𝑗𝑛𝑗=1(0)𝜕𝜏𝑗,𝑀=(𝑡,𝜏,𝑧), 𝜏=(𝜏1,𝜏2,…,𝜏𝑛), 𝜇=𝜃(𝑡,𝜀),𝜃(𝑡,𝜀)=(𝜃1(𝑡,𝜀),𝜃2(𝑡,𝜀),…,𝜃𝑛(𝑡,𝜀),ln(𝑡+𝜀𝜀)),𝜇=(𝜏,𝑧). (2.3) problemin çözümü aşağıdaki dizi şeklinde aranır: 𝑢̃(𝑀,𝜀)=Σ𝜀𝑘∞𝑘=0𝑢𝑘(𝑀). (2.4) Bu dizinin katsayılarına dayanarak, (2.3) problemi için aşağıdaki iteratif problemleri elde ederiz: 𝑇0𝑢0(𝑀)≡𝑡𝜕𝑡𝑢0(𝑀)+𝜕𝑧𝑢0(𝑀)+𝐷𝜆𝑢0(𝑀)−𝐵(𝑡)𝑣0(𝑡)=𝑓(𝑡), (2.5) 𝑇0𝑢𝑘(𝑀)=−𝜕𝑢𝑘−1(𝑀), 𝑢0(𝑀)|𝑡=𝜏=𝑧=0=𝑢0, 𝑢𝑘(𝑀)|𝑡=𝜏=𝑧=0=0,𝑘=1,2,… Bu iteratif problemler çözümü fonksiyon sınıfları eklerek çözüyoruz. Sonraki bölümdeki problem, parabolik denklemler için birinci sınır değer probleminin regülar asimptotiğini oluşturmaktır. Bu tür çözümlerin asimptotikleri, 𝑡=0 olunca derece, 𝑥=0,𝑥=1 noktalarında parabolik ve (0,0),(0,1) noktaların etrafında da açısal sınır katman fonksiyonlarını içerir. Parabolik Denklemler Sistemi için birinci sınır değer problemi (𝜀+𝑡)𝜕𝑡𝑢(𝑥,𝑡,𝜀)=𝜀2𝑎(𝑥)𝜕𝑥2𝑢(𝑥,𝑡,𝜀)+𝑏(𝑡)𝑢(𝑥,𝑡,𝜀)+𝑓(𝑥,𝑡),(𝑥,𝑡)∈Ω (3.1) (3.2) 𝑢|𝑡=0=ℎ(𝑥),𝑢|𝑥=0=𝑢|𝑥=1=0 , burda Ω={(𝑥,𝑡):𝑥∈(0,1),𝑡∈(0,𝑇]}. xi Yalnızca küçük parametre ε → 0 ve aşağıdaki varsayımlar yerine getirildiğinde: 1. Verilen işlevler, bağımsız değişkenlerinde pürüzsüzdür; 2. ( ) 0ax fonksiyonu [0,1] x  ve ( ) 0bt fonksiyonu [0, ] tT . 3. h(0)  h(1)  0 koşulları ile. Küçük bir parametrenin uzamsal türevin önünde olmadığı durum [1]'de ele alınmıştır. Bu yazıda elde edilen asimptotikler sadece sınır katman fonksiyonunu içerir. Uzamsal türevin önünde küçük bir parametrenin bulunması parabolik bir sınır katman oluşmasına yol açar [73], bu nedenle problemin çözümünün asimptotikleri daha karmaşık bir yapıya sahiptir, özellikle dereceli, parabolik ve açısal sınır katman fonksiyonlarını içerir. 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( 𝜉1 2√𝑡 ) – fonksiyonu parabolik sınır katmanı tanımlar. (𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥) = 2 √𝜋 ∫ 𝑒−𝑡2 ∞ 𝑥 𝑑𝑡 - olasılığı tamamlayan bir integral) exp(𝜏1) = exp (𝑏(0)𝑙𝑛 𝑡+𝜀 𝜀 ) = ( 𝜀 𝑡+𝜀 )−𝑏(0), П𝜀 (𝑡) = ( 𝜀 𝑡+𝜀 ) 𝜆 , 𝜆 > 0. – fonksiyonu dereceli sınır katmanı tanımlar. Dördüncü bölümde yer alan üçüncü problem, parabolik denklemler sisteminin çözümünün derece sınır katman içeren çözümünün asimptotiğinin oluşturulmasıdır. Diğer problemlerden farklı olarak x'e göre türevin altında skalar fonksiyon yer alan denklemler sistemi için sınır problemi konulmuştur. Aşağıdaki problemi analize edeceğiz: 𝐿𝜀𝑢(𝑥, 𝑡, 𝜀) ≡ (𝜀 + 𝑡)𝜕𝑡𝑢 − 𝜀2𝑎(𝑥)𝜕𝑥 2𝑢 − 𝐵(𝑡)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω, 𝑢(𝑥, 𝑡, 𝜀)|𝑡=0 = 𝑢(𝑥, 𝑡, 𝜀)|𝑥=0 = 𝑢(𝑥, 𝑡, 𝜀)|𝑥=1 = 0. (4.1) burda 𝜀 > 0 – küçük parametre, Ω = {(𝑥, 𝑡): 𝑥 ∈ (0,1), 𝑡 ∈ (0, 𝑇]}, 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ). Bu problem aşağıdaki tahminlerde çözülür: 1. 0 < 𝑎(𝑥) ∈ 𝐶∞[0,1], 𝐵(𝑡) ∈ 𝐶∞([0, 𝑇], ℂ𝑛2 ), 𝑓(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶∞(Ω̅ , ℂ𝑛); 2. 𝐵(𝑡) matrisinin özdeğerleri 𝜆𝑖 (𝑡) aşağıdaki koşulları sağlar: 𝐵(𝑡)𝜓𝑖 (𝑡) = 𝜆𝑖 (𝑡)𝜓𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑅𝑒(𝜆𝑖 (𝑡)) < 0, 𝜆𝑗 (𝑡) ≠ 𝜆𝑖 (𝑡), ∀𝑖 ≠ 𝑗, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Regülar değişkenleri giririz: 𝜉𝑙 = 𝜑𝑙 (𝑥) √𝜀3 , 𝜑𝑙 (𝑥) = (−1)𝑙−1 ∫ 𝑑𝑠 √𝑎(𝑠) 𝑥 𝑙−1 , 𝜂𝑖 = 𝜆𝑖 (0) ln (1 + 𝑡 𝜀 ), 𝜏 = 1 𝜀 ln (1 + 𝑡 𝜀 ) (4.2) xii 𝑢̃ (𝑀, 𝜀) fonksiyonunun bağımsız değişkenleri (х, 𝑡) ile 𝑀 = (𝑥, 𝑡, 𝜉, 𝜏, 𝜂), 𝜉 = (𝜉1, 𝜉2), 𝜂 = (𝜂1, 𝜂2, … , 𝜂𝑛) ve genişletilmiş fonksiyon 𝑢̃ (𝑀, 𝜀) için 𝜀 göre regülar problemi elde ederiz: 𝐿𝜀 ≡ 1 𝜀 𝑇0𝑢̃ + 𝑇1𝑢̃ − √𝜀𝐿𝜉𝑢̃ + 𝜀𝜕𝑡𝑢̃ − 𝜀2𝐿𝑥𝑢̃ = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑀 ∈ 𝑄 𝑢̃ |𝑡=𝜏=𝜂𝑖=0 = 𝑢̃ |𝑥=0,𝜉1=0 = 𝑢̃ |𝑥=1,𝜉2=0 = 0 (4.3) burada 𝑇0 ≡ 𝜕𝜏 − Δ𝜉 , 𝑇1 ≡ Σ𝜆𝑖 (0) 𝑛 𝑖=1 𝜕𝜂𝑖 + 𝑡𝜕𝑡 − 𝐵(𝑡), Δ𝜉≡ Σ 𝜕𝜉𝑙 2 2 𝑙=1 , 𝐿𝜉 ≡ Σ𝑎(𝑥) 2 𝑙=1 𝐷𝜉,𝑙 , 𝐿𝑥 ≡ 𝑎(𝑥)𝜕𝑥 2 (4.3) probleminin çözümü aşağıdaki dizi şeklinde aranır: 𝑢̃ (𝑀, 𝜀) = Σ 𝜀 𝑘 2 ∞ 𝑘=0 𝑢𝑘 (𝑀). Beşinci bölüm, küçük bir parametre sıfıra eğilim gösterdiğinde regülar bir özelliğe sahip olan singular pertürbasyon parabolik denklem sistem çözümünün asimptotiğinin oluşturulmasına ayrılmıştır. Parabolik denklemler sistemi için sınır değer problemi 𝐿𝜀𝑢(𝑥, 𝑡, 𝜀) ≡ (𝜀 + 𝑡)𝜕𝑡𝑢 − 𝜀2𝐴(𝑥)𝜕𝑥 2𝑢 − 𝐷(𝑡)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω 0 0 1 0, t x x u u u       (5.1) burda 𝜀 > 0 küçük parametre, {(x, t) : x(0,1), t(0,T]}, 1 2 ( , ,..., ) n u  u u u - bulunacak vektör fonksiyon, 𝐴(𝑥) ∈ 𝐶∞([0,1], ℂ𝑛2 ), 𝐷(𝑡) ∈ 𝐶∞([0, 𝑇], ℂ𝑛2 ), 𝑓(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶∞(Ω̅ , ℂ𝑛). Bu problem aşağıdaki varsayımlara dayanarak çözülür: 1) ( , ) f x t n boyutlu bir vektör fonksiyonu için 𝑓(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶∞(Ω̅ , ℂ𝑛 ) 𝐷(𝑡) ve A(x) nn matris fonksiyonları için ( ) ([0, ], ), ( ) ([0,1], ); n n n n D t C T A x C       xiii 2) det( ( ) ) 0 A x E    denklemin köklerinin reel kısmi ( ), 1, , i x i n   ters olmayan ve eğer , , 1, ; i j i j n olursa, bütün [0,1], x için ( ) ( ) i j xx ; 3) 𝐷(𝑡) matrisinin özdeğerinin reel kısmi ( ), 1, j t j n   ters olmayan, yani Re( ( )) 0 j t   ve ( ) ( ) [0, ], , , 1, ; i j  t   t t T i  j i j  n Singular pertürbasyon problemlerinin incelenmesine olan ilgi, uygulama matematik alanında önemli bir yer tutmasından kaynaklanmaktadır. Viskoz akışkanın (su, kan) hareketi her zaman sınır katman etkisiyle ilişkilidir. Bir fiziksel özellikten başka bir fiziksel özelliğe eşit olmayan geçişten kaynaklanan matematiksel model, küçük veya büyük parametrelerle diferansiyel denklemlerle tanımlanır. Asimptotik yöntemler, sayısal yöntemler mevcut olmadığında faydalıdır. Asimptotik yöntemler, sayısal yöntemlerin kullanılmasına izin verir ve sayısal yöntemlerin uygulanmasında birçok zorluk yaratan küçük veya büyük parametrelerin ekstremum değerleri alanında iyi bir şekilde kullanılır. Bu nedenle, asimptotik yöntemlerin geliştirilmesi önemlidir. Bu tür problemlerin çözüm asimptotikleri, ek sınır katman fonksiyonlarını içerir. Bu sınır katmanlarına dereceli sınır katmanları denir. Bu tür probleleri inceleme sonucunda üç makale yayınlandı. Bir tanesi bu sene yayınlanmak üzere kabul edildi.

Özet (Çeviri)

The interest in the study of singular perturbation problems is due to the fact that they occupy an important place in the field of applied mathematics. The movement of a viscous liquid (water, blood) is always associated with the effect of the boundary layer. A mathematical model resulting from an uneven transition from one physical property to another physical property is described by differential equations with small or large parameters. In the mathematical model of distributed kinetic systems, each spatial point represents an oscillation generator, and the connection between these generators is carried out by means of thermal conductivity. Heat transfer by thermal conductivity and convection is described using differential equations of the parabolic type. The propagation of heat in a turbulized fluid with strongly stable stratification in interpenetrating media is described by a parabolic differential equation with a small parameter at the highest derivative. This work is devoted to solving the listed singularly perturbed problems. Here, boundary value problems for a system of differential equations of parabolic type with a small parameter facing the derivatives are investigated from the perspective of the regularization method. The developed algorithm makes it possible to construct the asymptotics of solutions containing power, parabolic and angular boundary layer functions. The thesis work consists of an introduction, 5 sections, conclusion, list of references. The first chapter gives a literary review on this topic and presents some of the results, which are repeatedly used in the work by the author and borrowed from other sources. xviii In the second chapter, the asymptotics of the solution of a system of ordinary differential equations is constructed and compared with the results obtained by other authors. The third chapter is devoted to solving scalar parabolic equations. In the fourth chapter, an asymptotic solution is constructed for the case when a scalar function stands for the second derivative of a system of differential equations of parabolic type. The fifth part is devoted to the case when the matrix is in front of the second derivative of a system of differential equations of parabolic type. It is always difficult to solve differential equations with a singularity as ε → 0, so most researchers deal with just such problems. The main goal of the dissertation is the analysis of boundary value problems for parabolic equations and systems of equations and their solution by constructing asymptotics. In solving the problems posed, we use the methods of S. A. Lomov and A. S. Omuraliev to construct the asymptotics of the problem. The asymptotics of solutions of such equations additionally includes functions of a power-law boundary layer. The first problem concerns the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations. When constructing the asymptotics, the solution to this problem includes power-law boundary layer functions. The task of the next section is to construct a regular asymptotics of the first boundary value problem for parabolic equations. The asymptotics of such solutions includes power-law, when 𝑡 = 0, parabolic at the points 𝑥 = 0,𝑥 = 1, and angular functions of the boundary layer around the points (0,0),(0,1). The third problem is to construct the asymptotics of the solution of a system of parabolic equations with a power-law boundary layer. Unlike other problems, the boundary value problem was posed for a system of equations with a scalar function a (x) at the second derivative with respect to x. The last problem is devoted to the construction of the asymptotics of the solution to the system of the parabolic equation of a singular perturbation, which has the property of regularity as the small parameter tends to zero. The main results of the study were published in foreign editions of the Web of Science - 3 articles and one article was accepted for publication.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    613949

    T.C. Bişkek Eğitim Müşavirliğine bağlı orta öğretim kurumlarında dramanın bir metod olarak İngilizce öğretimine etkisi

    Түркия республикасынын бишкектеги билим берүү кеңешчилигине тиешелүү орто мектептерде драманын метод катары англис тилин үйрөтүүдөгү таасири

    ABDULLAH BOZAT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2012

    Eğitim ve ÖğretimKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Eğitim Bilimleri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. AKMATALİ ALİMBEKOV

  2. Tez No

    613152

    T.C. Milli Eğitim Bakanlığı'nın yurtdışına görevlendirdiği öğretmenlerinin iş doyumu (Kırgızistan örneği)

    Түрция улуттук билим берүү министрлиги тарабынан чет өлкөгө жөнөтүлгөн мугалимдердин кесиптик канааттануу маселелери (кыргызстандын мисалында)

    İRFAN ARIK

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2010

    Eğitim ve ÖğretimKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Eğitim Bilimleri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. NURBÜBÜ ASİPOVA

  3. Tez No

    614955

    Кыргызстанда бүйүр кызыткан турларына катышкан туристтердин саякат мотивациялары

    Kırgızistan'da macera turizmi katılımcılarının seyahat motivasyonları

    ELBEK KALBEKOV

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2017

    TurizmKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Turizm İşletmeciliği ve Otelcilik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. BAKIT TURDUMAMBETOV

  4. Tez No

    615165

    Sağlık turizmi kapsamında Kırgızistan'da kımız tedavisi alan turistlerin memnuniyet ve sadakat algıları üzerine bir inceleme

    Кыргызстанда ден соолук туризми алкагында кымыз менен дарыланган туристтердин канааттануусун жана лоялдуулугун изилдөө

    İBRAHİM GÜNDOĞDU

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    TurizmKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Turizm İşletmeciliği ve Otelcilik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. BARIŞ ERDEM

  5. Tez No

    615139

    Populus nigra, Dactylis glomerata, Mentha longifolia, Salix fragilis, Arundo donax ve Achillea millefolium'un Bişkek-Kırgızistan'da Muhtemel Ağır Metal Kirliliğinin Tespitinde Biyomonitör Organizma Olarak Kullanılabilirlikleri

    Populus nigra, dactylis glomerata, mentha longifolia, salix fragilis, arundo donax жана achillea millefolium өсүмдүктөрүнүн кыргызстандын бишкек шаарынын оор металдар менен булгануусун аныктоодо биомонитор организм катары колдонуу мүмкүнчүлүгү.

    TAMARA ABDIKAİMOVA

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    BiyolojiKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Biyoloji Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. KADIRBAY ÇEKİROV

    DOÇ. DR. İLHAN DOĞAN

Geri Dön