Wavelet methods for solving nonlinear fractional order partial differential equations
Doğrusal olmayan kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemlerin dalgacık yöntemleriyle çözümü
- Tez No: 795467
- Danışmanlar: PROF. DR. AYDIN SEÇER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 127
Özet
Kesirli analiz, klasik analizdeki gibi sadece tamsayı mertebeli türev ve integralleri değil de, keyfi mertebeli türev ve integralleri içeren matematiğin modern konularından biridir. Yani, tamsayı mertebeleri içeren klasik diferansiyel hesabın genelleştirilmesi olarak kabul edilir. Kesirli analiz konusu son otuz yılda matematik, fizik, kimya, hidroloji, mühendislik, tıp ve finans gibi birçok farklı alanda kendisine uygulama alanı bulmuş, bu alanlardaki birçok probleme başarıyla uygulanmış ve oldukça popüler bir çalışma alanına dönüşmüştür. Doğrusal olmama, doğanın gizemli ama bir o kadar da büyüleyici yönlerinden biridir ve insanoğlu bu gizemi çözebilmek için her zaman daha iyi modellere ihtiyaç duymaktadır. Kesirli türev ve integraller, çeşitli materyallerde bulunan hafıza ve kalıtsal özelliklerin daha iyi tanımlanmasını mümkün kılabilmektedir. Bu yüzden kesirli hesap kullanılarak oluşturulan modeller, özellikle gerçek yaşamda karşılaştığımız bazı problemlerde tamsayı mertebeli türev veya integralleri içeren klasik modellere kıyasla çok daha iyi bir modelleme fırsatı sağlayabilmektedir. Ayrıca literatürde farklı kesirli türev ve integral tanımları bulunmakta ve her bir tanımın birbirinden farklı özellikleri olabilmektedir. Bu durum araştırmacının bilimsel bir problemi modelleme yaparken probleme uygun bir kesirli türev ve integral tanımı seçerek problemi çözmesine olanak sunabilmektedir. Sonuç olarak, yukarıda bahsi geçen uygulama alanlarındaki problemler genellikle kesirli diferansiyel denklemler vasıtasıyla daha iyi modellenebildiği için bu denklemlerin çözüm davranışlarının belirlenmesine artan bir ihtiyaç vardır. Ancak, doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çoğu henüz analitik olarak çözülmemiştir, bu da denklemlerin çözümünü belirlemede sayısal yaklaşımları önemli kılar. Bu tezin birincil amacı, doğrusal olmayan kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemler için dalgacık sıralama yaklaşımlarına dayalı etkili bir sayısal çözüm metodolojisi sağlamaktır. Kullanılan yöntemlerin genel mantığını açıklamak gerekirse; öncelikle ele alınan doğrusal olmayan kesirli meretebeli kısmi diferansiyel denklemdeki her bir terim ilgili dalgacık çeşidi ve dalgacık integrasyon matrisi yardımıyla yeniden oluşturulur. Yeni terimleri kesirli kısmi diferansiyel denkleme yerleştirdikten ve elde edilen denklemi sıralama noktalarında ayrıklaştırdıktan sonra, bir cebirsel denklem sistemi elde edilir. Böylece, kesirli mertebeli doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulma gibi zor bir problem, bir bilgisayar programı kullanılarak kolayca çözülebilecek cebirsel denklem sistem çözme problemine indirgenmiş olur. Tezde elde edilen işbu çözümler literatürdeki güncel çalışmalardaki analitik veya sayısal sonuçlarıyla karşılaştırılmakta, ayrıca ele alınan stratejinin etkili olup olmadığını göstermek için grafikler ve tablolar kullanılarak sunulmaktadır. Söz konusu sonuçlar, dalgacık yaklaşımının basit algoritması, yüksek doğruluğu ve kısa hesaplama süresi nedeniyle doğrusal olmayan kesirli mertebeli kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için uygun olduğunu göstermektedir.
Özet (Çeviri)
Fractional calculus is one of the modern topics in mathematics which involves derivatives and integrals of any order, not just integer order like classical calculus. It is considered a generalization of the classical calculus with integer order. Over the last three decades, it has become very popular since it has widespread application areas including physics, biology, chemistry, hydrology, medicine, and finance, as well as mathematics. Nonlinearity, one of the complex yet fascinating aspects of nature, requires better models to understand its complexities. Specifically, for some real-life problems, models created using fractional calculus can provide a much better modeling opportunity compared to classical models involving integer order derivatives or integrals. Because fractional derivatives and integrals allow a better explanation of memory and inherited features found in diverse materials or processes governed by anomalous diffusion. Besides, since there are diverse definitions of fractional derivative and integral with various features in the literature, it allows the researchers to choose a more suitable fractional derivative and integral definition while modeling. There is an increasing need to find the solution behavior of nonlinear fractional order partial differential equations occurring in modeling the problems in the application areas aforementioned. Most of these equations, however, remain unsolved analytically. Therefore, numerical approaches are crucial in determining the solution of the equations. The fundamental aim of this thesis is to present an effective numerical solution methodology based on the wavelet collocation approaches for nonlinear fractional order partial differential equations. To explain the general logic of the used methods, first of all, we re-form each term in the fractional order partial differential equations regarding wavelets and wavelet operational matrix. After substituting the new terms into fractional order partial differential equations and discretizing the derived equation at collocation points, one attains a system of algebraic equations. That is, the challenging problem of obtaining the solutions of fractional order partial differential equations is reduced to the problem of solving a system of algebraic equations, which can be easily handled using a computer algebra system. The obtained solutions of the thesis are compared with the both analytical and numerical results of contemporary studies in the literature. Besides, they are presented using graphics and tables to illustrate the effectiveness of the wavelet methods. The derived outcomes show that the wavelet approach is reasonably suitable for finding a numerical solution of nonlinear fractional order partial differential equations because of its straightforward algorithm, high accuracy, and short computational time.
Benzer Tezler
- Legendre wavelet operational matrix method for solving systems of fractional differential equations
Kesirli mertebeden diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü için legendre dalgacığı operasyonel matris metodu
SELVİ ALTUN
Doktora
İngilizce
2018
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AYDIN SEÇER
- Kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin dalgacık yöntemleri ile yaklaşık çözümleri
Numerical solutions of fractional differential equations wi̇th wavelet methods
PELİN ŞAHİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ARZU TURAN DİNCEL
DOÇ. DR. SADİYE NERGİS TURAL POLAT
- Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Chebyshev dalgacık sıralama metodu
Chebyshev wavelet collocation method for numerical solution of non-linear partial diferantial equation
YASEMİN BAKIR
Doktora
Türkçe
2018
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AYDIN SEÇER
DR. ÖĞR. ÜYESİ SERTAN ALKAN
- Dalgacık bulanık zaman serisi yöntemi ile aylık akım tahmini
Monthly river discharge prediction by wavelet fuzzy time series method
EYYUP ENSAR BAŞAKIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET ÖZGER
- Predictive error compensated wavelet neural networks framework for time series prediction
Zaman serisi tahmini için hata tazminli dalgacık dönüşümlü sinir ağları çerçeve yazılımı
SERKAN MACİT
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BURAK BERK ÜSTÜNDAĞ