Geri Dön

On the minimum distance of a toric code via vanishing ideal

Sıfırlayan ideal aracılığıyla bir simitli kodun minimum uzaklığı üzerine

  1. Tez No: 824096
  2. Yazar: FADİME BALDEMİR
  3. Danışmanlar: PROF. DR. MUSTAFA HURŞİT ÖNSİPER, PROF. DR. MESUT ŞAHİN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2023
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 91

Özet

Simitli kodlar, hesaplama kodlarına bir örnektir. Bu kodlar, belirlenmiş bir $\alpha$ derecede homojen polinomların bir simitli çeşitlemin $Fq$-rasyonel noktalarında hesaplanması ile elde edilir. Hesaplama gönderiminin çekirdeği, $\alpha$ dereceli elemanların ürettiği $I_{\alpha}(Y)$ alt uzayıdır. Bu yüzden kodun parametrelerini belirleyen önemli bir cebirsel değişmezdir. Bu tezin temel amaçlarından biri, $I_{\alpha}(Y)$ kullanarak genel bir pürüzsüz simitli çeşitleminden elde edilen bir hesaplama kodunun minimum uzaklığını hesaplamaktır. $I(Y)$ ideali, $Y$ noktalarının tümünde sıfır olan homojen polinomlar tarafından üretilen idealdir. Üç algoritma sunacağız ve bu üç algoritmanın hesaplama sürelerini tartışan karşılaştırmalı bir tablo paylaşacağız. Minimum uzaklığı hesaplamak için $I(Y)$ kaynaklı idealin çoklu dereceli Hilbert polinomlarını, $I(Y)$ üzerindeki $f$ sıfır bölenleri ve $I(Y)$ idealinin asal ideal ayrışımını içeren değişmeli cebir araçlarını kullanacağız. Bu araçları kullanmak, aynı dereceye sahip tüm homojen polinomlar arasından $Y$ üzerinde en fazla sayıda köke sahip olan homojen bir $f$ polinomu bulmamızı sağlayacaktır. Başka bir temel hedef, Hirzebruch yüzeylerinin bir genelleştirmesi olan Kleinschmidt simitli çeşitleminden elde edilen simitli kodların boyutuna odaklanmaktır. $X_{\Sigma_3(l)}$ Kleinschmidt simitli çeşitlemi olsun. $T_{\Sigma_3(l)}$ torusunun $Y=V_{X}(I_L)(\mathbb F_q)$ şeklindeki bir alt kümesinde herhangi bir derece $\alpha=(c,d)\in \mathbb N\beta$ için simitli kod $\mathcal{C}_{\alpha,Y}$ nin boyutunu $S_\alpha/I_\alpha$ nin karşılık geldiği çokyüzlü üzerindeki kafes noktalarını sayarak hem cebirsel hem de geometrik olarak hesaplayacağız.

Özet (Çeviri)

Toric codes are examples of evaluation codes produced by evaluating homogeous polynomials of a fixed degree $\alpha$ at the $\F_q$-rational points of a subset $Y$ of a toric variety $X$. The kernel of the evaluation map is just the subspace $I_{\alpha}(Y)$ generated by the elements of degree $\alpha$. Therefore, it is an important algebraic invariant that determines the parameters of the code. One of the main objective of this thesis is to calculate the minimum distance of an evaluation code obtained from a general smooth toric variety by using $I_{\alpha}(Y)$. Let $I(Y)$ be the ideal generated by all homogeneous polynomials vanishing at all the points of $Y$. We give three algorithms and share a comparative table, discussing the computation time. We use commutative algebraic tools such as the multigraded Hilbert polynomials of ideals derived from $I(Y)$, zero divisors $f$ of $I(Y)$, and primary decomposition of $I(Y)$ to calculate the minimum distance. Their utilization enables us to find a homogeneous polynomial $f$ among all homogeneous polynomials of the same degree which has the maximum number of roots on $Y$. Another primary objective is to focus on the dimension of toric codes obtained from Kleinschmidt toric variety, a generalization of Hirzebruch surfaces. Let $X_{\Sigma_3(l)}$ be a Kleinschmidt toric variety. We compute the dimension of a toric code $\mathcal{C}_{\alpha,Y}$ for any degree $\alpha=(c,d)\in \mathbb N\beta$, for any subgroup $Y=V_{X}(I_L)(\mathbb F_q)$ of the torus $T_{\Sigma_3(l)}$ both algebraically and geometrically by counting the lattice points of the polytope corresponding to $S_\alpha/I_\alpha.$

Benzer Tezler

  1. Tünel kazılarından kaynaklanan yüzey oturmalarının betonarme binalarda etkilerinin incelenmesi

    Investigation of the effects of tunnel induced settlements on the reinforced concrete buildings

    ENES ÖZAT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2019

    Deprem Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Deprem Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. BEYZA TAŞKIN AKGÜL

  2. Real–time target tracking and following with ur5 collaborative robot arm

    Gerçek zamanlı hedef takibi ve ur5 işbirlikçi robot kolu ile izlenmesi

    BURAK TEKE

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2018

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. TUFAN KUMBASAR

  3. Simitli çeşitlem üzerinde üzerinde parametrik kodlar ve sıfırlayan idealler

    Vanishing ideals and parameterized codes on toric variety

    ESMA BARAN ÖZKAN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2021

    MatematikHacettepe Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MESUT ŞAHİN

  4. Mevcut bir demiryolu köprüsünün deprem performansının doğrusal olmayan yöntemlerle incelenmesi

    Seismic performance evaluation of existing railway bridge by nonlinear analysis methods

    OGÜN ERBAY ONAY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. ABDULLAH NECMETTİN GÜNDÜZ

  5. Propulsion-airframe integration for low-boom supersonic aircraft

    Düşük gürültülü sesüstü hava araçlarında itki-gövde entegrasyonu

    RUMED İMRAK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2023

    Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Savunma Teknolojileri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MELİKE NİKBAY