An exponential wave integrator sine pseudo spectral method for the higher order Boussinesq equation
Yüksek mertebe Boussınesq denkleminin sayısal çözümleri için üstel sinüs sözde spektral yöntemi
- Tez No: 847416
- Danışmanlar: PROF. GÜLÇİN MİHRİYE MUSLU
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 61
Özet
Bu tezde yüksek mertebe Boussinesq denklemi için tanımlanmış başlangıç ve sınır değer probleminin \begin{eqnarray*}\left\{\begin{aligned}& u_{tt}= u_{xx}+ \eta_1 u_{xxtt} - \eta_2 u_{xxxxtt}+(f(u))_{xx},\quad x\in \Omega,\quad t>0, \\& u(x,0)=u_0(x), \quad u_t(x,0)=u_1(x), \\ & u(a,t)=u(b,t)=0,\quad t\ge 0,\end{aligned} \right. \end{eqnarray*} çözümlerinin sayısal olarak bulunması için yeni bir yöntem bulunması ve bu yöntemin yakınsaklık analizinin yapılması hedeflenmiştir. Burada $u(x,t)$ bilinmeyen fonksiyon, $\eta_1$ ve $\eta_2$ pozitif sabitler ve $f\in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\Omega=(a, b)$ olarak göz önüne alınacaktır. $\eta_1=1$ and $\eta_2=0$ olduğunda yüksek mertebeden Boussinesq denklemi düzgünleştirilmiş Boussinesq denklemine indirgenir. Literatürde düzgünleştirilmiş Boussinesq denklemi ile ilgili birçok analitik ve sayısal çalışma olmasına rağmen, yüksek mertebe Boussinesq denkleminin altıncı mertebeden türev terimi $u_{xxxxtt}$ içermesi sebebiyle az çalışma bulunmaktadır. Tez aşağıdaki bölümleri içermektedir: Bölüm 1'de tezin amacı, literatür araştırması ve tezin hipotezleri sunulmuştur. Bölüm 2'de sinüs sözde-spektral ayrıklaştırması ve Sobolev uzayları ile ilgili bazı tanımlar verilmiştir. Buna ek olarak, ana teoremin ispatı için gerekli ayrık Gronwall eşitsizliği ve Young eşitsizliği gibi bazı eşitsizlikler de bu bölümde sunulmuştur. Bölüm 3'te yüksek mertebe Boussinesq denkleminin sayısal çözümlerini elde etmek için yeni bir sinüs sözde-spektral yöntemi türetilmiştir. Sinüs sözde-spektral ayrıklaştırması kullanılarak yaklaşık çözüm \begin{equation*} u_M(x,t_n+s)=\sum_{l=1}^{M-1} \widehat{u}_l(t_n+s) \sin(\mu_l(x-a)), \hspace*{20pt} x\in \Omega, s\in\mathbb{R} \end{equation*} olarak yazılabilir. Burada $\widehat{u}_l(t_n+s)$ sürekli sinüs Fourier katsayıları ve $\mu_l=\frac{\pi l }{b-a}$ olarak verilmiştir. Sinüs sözde-spektral ayrıklaştırılması yüksek mertebe Boussinesq denklemine uygulandığında \begin{equation*} \frac{d^2}{ds^2}\widehat{u}_l(t_n+s)+\theta_l^2\widehat{u}_l(t_n+s)+\theta_l^2\widehat{(f_M^n)}_l(s)=0,\hspace*{20 pt}s\in\mathbb{R} \end{equation*} denklemi elde edilir. Bu sayede iki değişkenli kısmı diferansiyel denklem problemi her zaman adımı için ikinci-mertebe homojen olmayan adi diferansiyel denklemler problemine indirgenir. Burada $f_M^n(x,s)=P_M f(u_M(x,t_n+s))$ ve \mbox{$\theta_l=\mu_l/\sqrt{1+\eta_1\mu_l^2+\eta_2\mu_l^4}$} olarak tanımlanmıştır. İkinci-mertebe homojen olmayan adi diferansiyel denklemler parametrelerin değişimi yöntemiyle çözülebilir. Elde edilen çözümler ve çözümlerin türevi doğrusal olmayan terimle ilişkili bir integral içermektedir. Zamanda dördüncü mertebeden doğruluk elde edilebilmesi için integraller Simpson yöntemi yardımıyla çözülmüştür. Sürekli sinüs Fourier katsayıları, ayrık sinüs Fourier katsayıları ile yer değiştirilerek \begin{eqnarray*} \widetilde{u_l^{n+1}}&=&\cos{(2\theta_l\tau)}\widetilde{u_l^{n-1}}+\frac{\sin{(2\theta_l\tau)}}{\theta_l}\widetilde{\dot{u}_l^{n-1}} \\ &&-\frac{\theta_l\tau}{3}\Big[\sin{(2\theta_l\tau)}\widetilde{f_l^{n-1}}+4\sin{(\theta_l\tau)}\widetilde{f_l^n}\Big], \\ \widetilde{\dot{u}_l^{n+1}}&=&-\theta_l\sin{(2\theta_l\tau)}\widetilde{u_l^{n-1}}+\cos{(2\theta_l\tau)}\widetilde{\dot{u}_l^{n-1}} \\ &&-\frac{\theta_l^2\tau}{3}\Big[\cos{(2\theta_l\tau)}\widetilde{f_l^{n-1}}+4\cos{(\theta_l\tau)}\widetilde{f_l^n}+\widetilde{f_l^{n+1}}\Big] \\ \end{eqnarray*} şeması türetilmiştir. Buna göre $n+1$ zaman adımındaki sayısal çözüm ve türevi $n$ ve $n-1$ zaman adımlarındaki çözümler ve türevleri kullanılarak hesaplanabilir. Yöntem $n=1$ için kullanılamadığından, Taylor açılımı yardımıyla $n=1$ zaman adımında çözüm ve türevinin \begin{eqnarray*} \widetilde{u_l^1}&=&\widetilde{u_l^0}+\tau\widetilde{\dot{u}_l^0}-\frac{\theta_l^2\tau^2}{2}\Big[\widetilde{u_l^0}+\widetilde{f_l^0}\Big]-\frac{\theta_l^2\tau^3}{6}\Big[\widetilde{\dot{u}_l^0}+\widetilde{\dot{f}_l^0}\Big] \\ \widetilde{\dot{u}_l^1}&=&\Big(\frac{1}{2\tau}+\frac{\theta_l^2\tau}{12}\Big)\Big(\widetilde{u_l^2}-\widetilde{u_l^0}\Big)+\frac{\theta_l^2\tau}{12}\Big(\widetilde{f_l^2}-\widetilde{f_l^0}\Big)\\ \end{eqnarray*} şeklinde hesaplanabileceği gösterilmiştir. $n=0$ ve $n=1$ zaman adımındaki çözümler kullanılarak iterasyona başlanabilir. Sinüs Fourier katsayılarının her zaman adımında elde edilmesi ile $u_M(x,t_n)$ yaklaşık çözümü inşaa edilmiştir. Bölüm 4'te türetilen sayısal yöntemin kullanılmasıyla elde edilen yaklaşık çözümler için Sobolev uzaylarında hata için bir üst sınır Teorem 1'de verilmiştir. Bununla birlikte, elde edilen yöntemin en genel doğrusal olmayan terime sahip yüksek mertebe Boussinesq denklemi için zamanda dördüncü mertebeden, uzayda eksponansiyel mertebeden doğruluğa sahip olduğu gösterilmiştir. Bölüm 5'te bazı sayısal örnekler sunulmuştur. Yüksek mertebe Boussinesq denkleminde bulunan doğrusal olmayan terim $f(u)=u^p$ şeklinde kuvvet tipinde olduğunda yalnız dalga çözümleri analitik olarak bilinmektedir. Bölüm 5.1'de türetilen sayısal yöntem kullanılarak $p=2$ ve $p=3$ için yalnız dalga çözümleri elde edilmiş ve bulunan sayısal çözümler analitik çözümlerle kıyaslanarak yöntem test edilmiştir. Elde edilen hataların Teorem 1'de verilen teorik sonuçları desteklediği görülmüştür. Buna ek olarak türetilen yöntem yüksek mertebe Boussinesq denkleminin çözümlerinin uzun zaman davranışı incelenerek hataların zaman içerisindeki değişimi ve korunan kütle büyüklüğünün değişimi sunulmuştur. Bölüm 5.2 ve 5.3'te tek dalganın ayrılması ve iki yalnız dalganın çarpışması problemleri kuvvet tipinde doğrusal olmayan terime sahip yüksek mertebe Boussinesq denklemi için sayısal olarak elde edilmiştir. Bu problemler için analitik çözümler bilinmediğinden hatalar hesaplanamamış, korunan kütle büyüklüğünün değişimi sunulmuştur. Bölüm 6'da tezden elde edilen sonuçlar sunulmuştur. Tezde türetilen yöntemin zamanda dördüncü mertebeden doğruluğa sahip olması daha az hesaplama kapasitesiyle daha doğru sonuçlar bulunmasını sağlamaktadır. Ayrıca türetilen yöntemin açık olması hesaplama maliyetinin düşük olmasını sağlamaktadır. Bununla birlikte türetilen yöntemin sadece yüksek mertebe Boussinesq denklemi için değil sinüs sözde-spektral şema yardımıyla ikinci-mertebe homojen olmayan adi diferansiyel denklemlere indirgenebilen diğer denklemler için de kullanılabileceği öngörülmektedir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, it is aimed to derive a new scheme for the numerical solutions of the higher-order Boussinesq equation on a bounded domain $\Omega=(a, b)$ with initial and homogeneous boundary conditions given by \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{aligned} & u_{tt}= u_{xx}+ \eta_1 u_{xxtt} - \eta_2 u_{xxxxtt}+(f(u))_{xx},\quad x\in \Omega,\quad t>0, \\ & u(x,0)=u_0(x), \quad u_t(x,0)=u_1(x), \\ & u(a,t)=u(b,t)=0,\quad t\ge 0, \end{aligned} \right. \end{eqnarray*} where $u(x,t)$ is the unknown function, $\eta_1$ and $\eta_2$ are real positive constants and \mbox{$f\in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$}. The higher-order Boussinesq equation reduces to the improved Boussinesq equation when $\eta_1=1$ and $\eta_2=0$. Although there are many analytical and numerical studies for the improved Boussinesq equation in the literature, there are few studies because the higher-order Boussinesq equation includes the sixth-order derivative term $u_{xxxxtt}$. The thesis includes the following sections: In Section 1, the purposes of the thesis, the literature review and the hypothesis of the thesis are presented. In Section 2, some definitions related to sine pseudo-spectral discretization and Sobolev Spaces are provided. In addition, inequalities used in the proof of the main theorem, such as the discrete Gronwall's lemma and Young's inequality, are introduced. In Section 3, a new exponential wave integrator sine pseudo-spectral method for the higher-order Boussinesq equation is derived. The sine pseudo-spectral discretization \begin{equation*} u_M(x,t_n+s)=\sum_{l=1}^{M-1} \widehat{u}_l(t_n+s) \sin(\mu_l(x-a)), \hspace*{20pt} x\in \Omega, s\in\mathbb{R} \end{equation*} is used to find the numerical solutions of the higher-order Boussinesq equation. Here, $\widehat{u}_l(t_n+s)$ is the continuous sine coefficient and $\mu_l=\frac{\pi l }{b-a}$. The higher-order Boussinesq equation is reduced to the second-order non-homogeneous ordinary differential equation by using this discretization. $\widehat{u}_l(t_n+s)$ is obtained by solving the second-order differential equation. Then, the approximate solution $u_M (x,t)$ is found. In Section 4, we rigorously carry out error analysis and establish error bounds in the Sobolev spaces. The main theorem shows that the method has fourth-order accuracy in time and spectral accuracy in space. In Section 5, the scheme is tested by the exact solution of the higher-order Boussinesq equation. The performance of the scheme is illustrated by examining the propagation of the single solitary wave, single wave splitting and head-on collision of two solitary waves. In Section 6, the outcome of the thesis is summarized.
Benzer Tezler
- İçerisinde akışkan bulunan öngerilmeli elastik tüplerde harmonik dalga yayılımı
Propagation of harmonic waves in prestressed elastic tubes containing a fluid
ALİ ERCENGİZ
- Mikrodalga görüntüleme uygulamaları için ultra geniş bant anten tasarımı
Design of ultra wide band antenna for microwave imaging applications
EMRE KIZILAY
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİletişim Sistemleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İBRAHİM AKDUMAN
- Kuzey Batı Anadolu cisim dalgalarının spektral özellikleri
Spektral parameters of body waves in Northwest Anatolia
MEHMET ERGİN
- 13 Mart 1992 Erzincan Depremi artsarsıntıları kaynak parametreleri
Başlık çevirisi yok
BÜLENT KAYPAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1996
Jeofizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiJeofizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HALUK EYİDOĞAN
- A review and evaluation of development in exploration, production, reserves estimation, and research efforts for shale gas and oil
Şeyl gazı ve petrolü için arama, üretim, rezerv kestirimive araştırma çalışmalarının incelenmesi ve değerlendirilmesi
OSMAN MOHAMMED
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Petrol ve Doğal Gaz Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPetrol ve Doğal Gaz Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM METİN MIHÇAKAN