Geri Dön

Higher regularity of the discrete Hardy-Littlewood maximal operator

Ayrık Hardy-Littlewood maksimal operatörünün yüksek mertebe düzenliliği

PDF İndir

  1. Tez No: 1024316
  2. Yazar: HİKMET BURAK ÖZCAN
  3. Danışmanlar: DR. ÖĞR. ÜYESİ FARUK TEMUR
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2026
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

Bu tezde, ayrık Hardy-Littlewood maksimal operatörünün tamsayıların sonlu altkümelerinin karakteristik fonksiyonlarına uygulanması durumundaki yüksek mertebeden düzenlilik özellikleri incelenmektedir. Bu bağlamda problem, yüksek mertebeden ayrık türev normlarının daha düşük mertebeden türev normları cinsinden kestirilmesine indirgenmektedir. Daha kesin olarak, sonlu bir A ⊂ Z kümesi için, χA^(k) ayrık türevleri adına ||χA^(k)||ℓ^p(Z) ≥ C(k,p) ||χA'||ℓ^p(Z) şeklinde nicel alt sınırlar elde edilmiştir; burada C_(k,p) sabitleri yalnızca k ve p parametrelerine bağlıdır. Düşük mertebeler için, A kümesinin sınır yapısına dayanan kombinatorik bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntem, sınır noktalarından gelen katkıları ayrıştırarak yedinci mertebeye kadar alt sınırlar vermektedir. Ancak daha yüksek mertebelerde, daha karmaşık etkileşimler belirgin sadeleşme etkileri ortaya çıkarmakta ve kombinatorik yaklaşımı yetersiz bırakmaktadır. Ayrıca, her sonlu küme ve her k mertebesi için geçerli, C(k, ⌊k/3⌋) binom katsayısı mertebesinde mutlak bir üstel alt sınır kanıtlanmıştır. Bu güçlüğü aşmak amacıyla, yüksek mertebeden ayrık türevlerin sınır noktaları içeren yeterince büyük aralıklar üzerinde özdeş olarak sıfır olamayacağı gösterilmiştir. İspat, ayrık polinom tekniklerine ve düşen faktöriyellerin yapısal özelliklerine dayanmaktadır. Bu yaklaşım, tüm k mertebeleri için geçerli alt sınırlar sağlayarak ||χA^(k)||ℓ^p(Z) normunun ||χA'||ℓ^p(Z) normu ile karşılaştırılabilir kaldığını ortaya koymaktadır. Ayrıca, ayrık türev alma işleminin (e^(2πix) − 1)^k ile çarpmaya karşılık geldiği bir Fourier analitik çerçeve geliştirilmiştir. Bu sayede problem, ilişkili trigonometrik polinomların normlarının kestirilmesine indirgenmektedir. Her biri kendi alt sınırını veren Nazarov-Turán ve Borwein-Erdélyi eşitsizliklerinin uygulanması ve Borwein-Erdélyi-Kós gözlemine dayanan bir iyileştirme ile ek asimptotik alt sınırlar elde edilmiştir. Buna ek olarak, nicel bir seyreklik koşulu altında, seyrek kümeler için tüm k mertebeleri ve tüm 1 ≤ p ≤ ∞ için geçerli alt sınırlar elde edilmiştir. Son olarak, benzer soru sonlu cisimler F_p üzerinde incelenmiş; uzayın kompaktlığı sayesinde tüm tek asallar için düzgün bir üstel alt sınır ve p = 2, 3, 5 durumlarında kapalı formda kesin hesaplamalar elde edilmiştir.

Özet (Çeviri)

In this thesis, we investigate the higher-order regularity of the discrete Hardy-Littlewood maximal operator applied to characteristic functions of finite subsets of the integers. In this setting, the problem reduces to estimating the norms of higher-order discrete derivatives in terms of lower-order ones. More precisely, for a finite set A ⊂ Z, we establish quantitative lower bounds for the discrete derivatives χA^(k) of the form ||χA^(k)||ℓ^p(Z) ≥ C(k,p) ||χA'||ℓ^p(Z), where the constants C_(k,p) depend only on k and p. For low orders, we develop a combinatorial method based on the boundary structure of A. The method isolates contributions from boundary points and shows that certain boundary configurations remain stable under discrete differentiation, yielding lower bounds up to order seven. For higher orders, however, more intricate interactions produce substantial cancellation effects, making the combinatorial approach insufficient. In addition, we prove an absolute exponential lower bound of the order of the binomial coefficient C(k, ⌊k/3⌋), valid for every finite set and every order k. To overcome this difficulty, we prove that higher-order discrete derivatives cannot vanish identically on sufficiently large intervals containing boundary points. The proof relies on discrete polynomial techniques and structural properties of falling factorials. This yields lower bounds valid for all orders k, showing that ||χA^(k)||ℓ^p(Z) remains comparable to ||χA'||ℓ^p(Z). We also develop a Fourier-analytic framework in which discrete differentiation corresponds to multiplication by (e^(2πix) − 1)^k. This reduces the problem to estimating norms of associated trigonometric polynomials. Applying the Nazarov-Turán and Borwein-Erdélyi inequalities, each of which yields a lower bound of its own, and obtaining a further refinement from the Borwein-Erdélyi-Kós observation, we derive additional asymptotic lower bounds. In addition, under a quantitative sparsity condition, we establish lower bounds for sparse sets valid for all orders k and all 1 ≤ p ≤ ∞. Finally, we investigate the analogous question over the finite fields F_p, where the compactness of the underlying space yields a uniform exponential lower bound valid for all odd primes, with exact closed-form computations in the cases p = 2, 3, 5.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    250014

    Banka sırrı kavramı yönünden banlarda sır saklama yükümlülüğü

    The secrecy obligation of banks in terms of the bank secret concept

    KEMAL DORUK TEKİN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    BankacılıkAnkara Üniversitesi

    Çevre Mühendisliği Bölümü

    DOÇ. DR. KORKUT ÖZKORKUT

  2. Tez No

    255594

    A mathematical contribution of statistical learning and continuous optimization using infinite and semi-infinite programming to computational statistics

    İstatistiksel öğrenme ve sürekli optimizasyon yöntemlerinıin sonsuz ve yarı sonsuz programlama kullanılarak hesaplamalı istatistiğe uygulanması

    SÜREYYA ÖZÖĞÜR AKYÜZ

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2009

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Bilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. GERHARD WİLHELM WEBER

    PROF. DR. JOHN SHAWE TAYLOR

  3. Tez No

    409122

    Local improvements to reduced-order approximations of pde-constrained optimization problems

    Kısmi diferensiyel denklemlerin eniyilemeli kontrol problemlerinin indirgenmiş mertebeden yaklaşımları için yerel geliştirmeler

    TUĞBA AKMAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2015

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Bilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN

  4. Tez No

    50514

    Design of multidimensional perfect reconstruction filter banks with compression applications

    Çok boyutlu tam geriçatmalı süzgeç kümelerinin tasarımı ve sıkıştırma uygulamaları

    IŞIL CELASUN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    1996

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolBoğaziçi Üniversitesi

    PROF. DR. MEHMET BÜLENT SANKUR

    PROF. DR. EMİN ANARIM

  5. Tez No

    55837

    Parmakizi imgesinin yönsel süzgeçler ile iyileştirilmesi ve dalgacık dönüşüm kodlama yöntemi ile sıkıştırılması

    Başlık çevirisi yok

    H.NURİ YANANLI

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Y.DOÇ.DR. M. ERTUĞRUL ÇELEBİ

Geri Dön