Van der pol osilatöründe pontryagin maksimum prensibi ile referans sinyal takibi ve enerji verimliliği optimizasyonu
Reference signal tracking and energy efficiency optimization in Van der pol oscillator using pontryagin maximum principle
- Tez No: 1025580
- Danışmanlar: PROF. DR. MURAT SUBAŞI, DR. ÖĞR. ÜYESİ HAKKI GÜNGÖR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Van der Pol Osilatörü, Optimal Kontrol, Pntryagin Maksimum Prensibi Haziran 2026, 48 sayfa, Van der Pol Oscillator, Optimal Control, Pontryagin Maximum Principle June 2026, 48 pages
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Atatürk Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Amaç: Bu tez, Van der Pol (VdP) osilatöründe Pontryagin Maksimum Prensibi (PMP) tabanlı bir yöntem geliştirerek, sistemin hem istenen referans sinyalini hassasiyetle takip etmesini hem de enerji verimliliğini sağlamayı amaçlamaktadır. VdP denkleminin doğal olarak sergilediği limit döngü davranışı, geleneksel kontrol yöntemlerinde enerji kayıplarına ve performans düşüklüğüne yol açmaktadır. Bu tezde önerilen genişletilmiş maliyet fonksiyoneli ile sistemin referans sinyaline yakınsaması sağlanırken, kontrol sisteminin hem güç kullanımı hem de parça yıpranması düşürülecektir. Çalışma, biyomedikal cihazlar, elektromekanik sistemler gibi gerçek uygulamalarda kullanılabilecek teorik ve pratik bir çerçeve sunmayı hedeflemektedir. Yöntem: Bu çalışmada, Van der Pol osilatörünün optimal kontrolü için Pontryagin Maksimum Prensibi (PMP) temelli bir yöntem geliştirilmiştir. İlk olarak, yerel bir optimal kontrolün varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Ardından, enerji verimliliği ve referans takip performansını dengelemek üzere tasarlanan genişletilmiş maliyet fonksiyoneli kullanılarak, kontrol sinyalinin hem büyüklüğü hem de değişim hızı optimize edilmiştir. Sayısal çözüm için Collocation metot tercih edilmiş; durum ve eş-durum denklemleri iteratif olarak çözülerek, optimal kontrol şartı türetilmiştir. Kullanılan teknik test problemleri üzerinden denenip, elde edilen performans, referans takip hatası ve enerji tüketimi metrikleriyle simülasyonlar yapılarak doğrulanmıştır. Bulgular: Carathéodory ve Lipschitz koşulları, sistem dinamiklerinin çözüm varlığı, tekliği ve sürekli bağımlılığını garanti ederken; Filippov–Cesari Teoremi, amaç fonksiyonelinin aşağıdan zayıf yarı-sürekliliği ve kontrol kümesinin uygun özellikleri sayesinde en az bir global optimal kontrolün varlığını güvence altına alır. Ancak kontrol–durum dönüşümünün lineer olmaması sebebiyle fonksiyonelin global konveksliği garanti değildir ve bu nedenle optimal kontrol tek olmayabilir. Yine de bir çözüm etrafında ikinci varyasyonun pozitifliği, yerel kesin konveksliği sağlayarak o çözümün izolasyonunu ve kararlılığını teminat altına alır. Ayrıca, değişik genlik ve frekens değerlerine sahip sinyaller kullanılarak yapılan testler farklı kontrol stratejilerine uygun optimal kontroller başarılı tespit edilebilmektedir. Sonuç: Bu tez çalışmasında geliştirilen yöntem ile Van der Pol osilatöründe kullanılan genişletilmiş maliyet fonksiyonu ve PMP tabanlı çözüm yaklaşımı sayesinde parametrelerin uygun şekilde ayarlanmasıyla referans sinyali takibi, kontrol sinyalinin büyüklüğü ve aktüatör aşım seviyeleri istenilen hassasiyette düzenlenebilmektedir. Böylece, sistemin performansı yalnızca teorik düzeyde değil, aynı zamanda pratik uygulamalarda da güvenilir biçimde optimize edilebilmektedir. Bu sonuç, özellikle enerji verimliliği ve güvenilirliğin kritik olduğu biyomedikal cihazlarda, elektromekanik sistemlerde ve hassas kontrol gerektiren mühendislik uygulamalarında yöntemin kullanılabilirliğini ve etkinliğini ortaya koymaktadır.
Özet (Çeviri)
Purpose: This thesis aims to develop a Pontryagin Maximum Principle (PMP)-based method for the Van der Pol (VdP) oscillator to ensure both accurate tracking of the desired reference signal and energy efficiency. The natural limit cycle behavior exhibited by the VdP equation often leads to energy losses and performance degradation in traditional control approaches. By employing the proposed extended cost functional, the system is driven to converge toward the reference signal while simultaneously reducing both power consumption and actuator wear. The study seeks to provide a theoretical and practical framework applicable to real-world implementations such as biomedical devices and electromechanical systems. Method: In this study, a method based on the Pontryagin Maximum Principle (PMP) is developed for optimal control of the Van der Pol oscillator. First, the existence and uniqueness of a local optimal control are proven. Then, both the magnitude and rate of change of the control signal are optimized using an extended cost functional designed to balance energy efficiency and reference tracking performance. The collocation method is used for the numerical solution; the optimal control law is derived by iteratively solving the state and co-state equations. The technique is tested on test problems, and the obtained performance is validated by simulations using reference tracking error and energy consumption metrics. Findings: While the Carathéodory and Lipschitz conditions guarantee the existence of solutions, uniqueness, and continuous dependence of system dynamics, the Filippov–Cesari Theorem ensures the existence of at least one global optimal control, thanks to the weak semi-continuity of the objective functional from below and the appropriate properties of the control set. However, due to the nonlinearity of the control-state transformation, the global convexity of the functional is not guaranteed, and therefore the optimal control may not be unique. However, the positivity of the second variation around a solution ensures local strict convexity, thus ensuring the isolation and stability of that solution. Furthermore, tests using signals with different amplitudes and frequency values successfully identify optimal controls suitable for different control strategies. Conclusion: The PMP-based method developed in this thesis, together with the extended cost functional for the Van der Pol oscillator, enables precise adjustment of parameters such that reference signal tracking, control input magnitude, and actuator overshoot levels can be tuned with the desired accuracy. This ensures that the system's performance is optimized not only in theory but also in practice. The results highlight the applicability and effectiveness of the proposed approach in domains where energy efficiency and reliability are critical, such as biomedical devices, electromechanical systems, and engineering applications requiring high-precision control.
Benzer Tezler
- Dalgacık skalogram, skalogram ölçek endeksi ve güç spektrumu yöntemleri ile bölgesel depremlerin analizi
Analysis of regional earthquakes with wavelet scalogram, scalogram scale index and power spectrum methods
NAZMİ YILMAZ
Doktora
Türkçe
2016
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. KAMİL GEDİZ AKDENİZ
- Farklı bağlantı modelleri için halka bağlı sinir ağlarının sayısal incelenmesi
Numerical analysis of ring model neural networks with different connection models
HURİYE NUR DEĞİRMENCİOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İ. SERDAR ÖZOĞUZ
- FPGA üzerinde Euler algoritması kullanarak Van der Pol osilatörünün 32-bit IEEE 754-1985 ve IQ-Math sayı standartlarına göre tasarımı ve gerçeklenmesi
Using Euler algorithm on FPGA Van der Pol oscillator of 32-bit IEEE 754-1985 and IQ-Math number standard design and realization
ELİF KAŞİFOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiDüzce ÜniversitesiElektrik Eğitimi Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ MUSTAFA DURSUN
- Çok-boyutlu kaotik sistemlerin senkronizasyonu ve haberleşmede kullanılması
Synchronizing multiple-dimensional chaotic systems and using them in communication
SELAHATTİN KINDIKOĞLU
Doktora
Türkçe
1999
Fizik ve Fizik MühendisliğiKaradeniz Teknik ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. RIFAT YAZICI
- Frekans uyarlamalı kaynak bağlamalı bir osilatör yapısı
A frequency adaptive source coupled multivibrator structure
ESER TAKMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SERDAR ÖZOĞUZ