Elastisite teorisi denklemlerinin mikromekaniğe uygulanması
An application of the theory of elasticity in micromechanics
- Tez No: 335896
- Danışmanlar: PROF. DR. FATMA NECLA KADIOĞLU, DOÇ. DR. ŞENOL ATAOĞLU
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Makine Mühendisliği, Polimer Bilim ve Teknolojisi, İnşaat Mühendisliği, Mechanical Engineering, Polymer Science and Technology, Civil Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2013
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Bölümü
- Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 87
Özet
Bu çalışmada, lineer-elastik, homojen ve izotrop malzeme kabulü altında, yarıçapı mikron mertebesinde olan küresel parçacıklar veya kesit alanının yarıçapı mikron mertebesinde olan silindirik geometriye sahip lifler içeren kompozitlerin elastik sabitlerini veren ifadeler elde edilmeye çalışılmıştır. Burada, kompoziti oluşturan matris malzemesinin elastik özellikleri, buna eklenen katkı maddesininkilere göre çok düşüktür. Ayrıca katkı malzemesinin hacminin, toplam kompozitin hacmine oranının düşük olduğu durumlar göz önüne alınmıştır. İlgili kompozitin mikro yapısı seviyesinde yapılacak değişiklikle mekanik davranışındaki değişim araştırılmıştır. Bu amaçla, yapılan kabuller çerçevesinde kompozit malzemeden alınan temsili hacim elemanının değişik gerilme hallerine maruz olması durumunda, üzerinde biriken toplam şekil değiştirme işleri hesaplanmıştır. İlgilenilen hacim elemanına eş değer, fiktif hacim elemanı için aynı iş hesapları yapılmıştır. Bu hesaplar yapılırken başlangıçta, bilinen klasik elastisite teorisi denklemleri kullanılmıştır. Bilindiği gibi klasik elastisitede dış etkilere maruz bir cisimde iç kuvvet, gerilme tansörü ile açıklanır. Başka bir deyişle, cismin içerisindeki bir nokta üç doğrultuda ötelenme yapar ki, bu ötelenmeler yer değiştirme vektörünü tanımlar. Mikropolar elastisitede ise ötelenmenin yanında mikro dönmeler de tanımlanmaktadır. Ayrıca gerilme tansörünün yanında gerilme-çifti tansörü de ortaya çıkar. Buna ek olarak, gerilme tansörü klasik elastitede simetrikken, mikropolar elastisitede simetrik olmayabilir. Bu çalışmada, buna ait bir uygulama da yapılmıştır. Ayrıca teorik olarak elde edilen sonuçların karşılaştırılması açısından deneysel olarak yapılan çalışmalar da son kısımda yer almaktadır. Küresel parçacıklar içeren bir kompozitin Bulk modülü ifadesinin elde edilebilmesi için b yarıçaplı küresel cisimde hidrostatik çekme problemi ele alınmıştır. Klasik elastisite denklemleri kullanılarak, cisimde biriken toplam şekil değiştirme işi hesaplanmıştır. İkinci olarak, eş merkezli, a ve b yarıçaplı iç içe iki kürenin, aynı gerilme hali için üzerlerinde biriken toplam şekil değiştirme işleri hesaplanmıştır. Ele alınan bu son problem, küresel parçacık içeren kompozit cisimden alınan temsili hacim elemanına karşı gelmektedir. İlk problemde ele alınan cisim ise bu hacim elemanına eş değer fiktif bir malzeme olarak düşünülmüştür. Hesaplanan işlerin eşitlenmesi ile kompozit cismin Bulk modülüne karşı gelen efektif Bulk modülünün ifadesi, matrisin ve parçacığın elastik sabitleri ile kompozitin hacim konsantrasoyonuna bağlı olarak elde edilmiştir. Aynı tür kompozitin kayma modülünü hesaplamak için bahsedilen tek küresel cismin ve iç içe iki küresel cismin, basit kayma haline maruz oldukları durumda toplam şekil değiştirme işleri hesaplanmıştır. Buradan, bir önceki problemde uygulanan yöntemle, kompozitin kayma modülünün hacim konsantrasyonuna bağlı değişimi belli bir matris ve partikül malzemesi için elde edilmiştir. Lif katkılı kompozitin kayma modülü hesabı için ele alınan problem, silindirik cismin kendi ekseni etrafında basit burulmasıdır. Buradan, silindirik tek cisimde ve iç içe iki silindirik cisimde biriken toplam iş ifadeleri klasik elastisite denklemleri kullanılarak elde edilmiş ve aynı yöntemle kompozite ait kayma modülü ifadesi elde edilmiştir. Son olarak ele alınan problemde, fiktif malzeme olarak düşünülen tek silindirik cisim, mikropolar olarak düşünülmüş ve simetrik olmayan elastisite teorisi denklemleri kullanılmıştır. Ele alınan problem yine basit burulmadır. Burada hesaplanan iş, iç içe iki silindirik cisim için bir önceki problemde hesaplanan işe eşitlenerek, malzemenin mikropolar katsayıları olan b ve g arasında bir bağıntı elde edilmiştir. Deneysel olarak yapılan çalışmalarda matris malzemesi olarak polyester seçilmiştir. Katkı maddesi olarak silindirik lif için Kevlar lifler kullanılmıştır. Deney numunelerinin hazırlanması için silindirik geometride hazırlanan kalıba öncelikle sadece polyester dökülerek numuneler elde edilmiştir. Sonra lifler yerleştirilerek döküm yapılmıştır. Bunlara ait %1 ve %1.5 hacim konsantrasyonunda iki numune hazırlanmıştır. Ardından bunların basit çekme testleri yapılarak elastisite modülleri ve Poisson oranları elde edilmiştir. Buradan fiktif malzemeye ait Bulk modülü ve kayma modülü elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
In this study, under the assumptions of linear-elastic, homogeneous, and isotropic materials, the expressions of the elastic constants of the composites including spherical particles having radius in micron order or thin cylindrical fibers having radius in micron level, have been obtained. Here, the elastic constants of matrix material are very lower than those of particles or fibers. Additionally, it is considered that the ratio of the volume of inclusion to the volume of composite is small. The mechanical behaviours of associated composites have been observed while changings have been occuring on micro-structure of it. For this purpose, the strain energies, which belong to the different states of stress, have been calculated on the representative volume element of the composite material. Similar strain energies have also been calculated on effective volume elements which are assumed to be equivalent to the volume elements mentioned above. During these calculations, firstly, the equations of the classical theory of elasticity have been used. In the classical elasticity, as it is known, the transfer of loadings in a body which is subjected an effect is occured through a surface element dA situated in the interior of the body by only the stress vector. In other words, the degree of freedom of a differential volume element in the interior of the body is three which are displacements along three independent directions. However, according to the micropolar theory, volume elements have got abilities of rotation. This means, the degree of freedom is six and the transfer of loading is occured not only by the stress vector but also by the stress-couple vector. So, the stress and the strain tensors are not symmetric any more. In this study, a problem has been solved using to this last theory. As an application to this type of the composite materials, experimental studies have been added in the last chapter. The results from experiments are compared with those from theoretical solutions. To obtain the expression of the Bulk modulus of a composite including spherical particles, firstly, hydrostatic tension problem for a single spherical body having radius b has been solved. Here, only one component of the displacement vector u is different from zero in spherical coordinates which is in the radial direction. So, the components of the stress and the strain tensors are expressed in terms of this component. The equilibrium equations are reduced to a single differential equation of which dependent variable is radial displacement while independent variable is radial distance from origin. The solution of this equation involves two integration constants which can be calculated by boundary conditions. Using this displacement expression the components of the strain and stress tensors are calculated. The strain energy accumulated in spherical volume can be calculated by these tensors. As the second step, two nested spherical bodies whose centroids are positioned at the same point have been considered. They have radii a and b. The state of stress is hydrostatic tension again. The expression in terms of unknown constants which has been obtained in the previous problem for radial displacement component is re-written for the inner and the outer sphere, seperately. In this new problem, the number of unknown constants is two times of that in the previous problem. The number of boundary conditions is equal to the that of unknown. From the solution of these equations, constants are obtained. The stress and the strain tensors have been written and the total energy, which is the total of the energies accumulated in both of two materials, has been calculated. Here, the second body having two different materials represents the representative volume element of the composite including spherical particles. The single spherical body, which has been defined in the first step, has been thought as an effective single material which is equivalent to this representative volume element of the composite. The calculated strain energies have been equalized based on the equivalance of two bodies. So, the expression of the Bulk modulus of associated composite has been obtained in the terms of the elastic constants of matrix and particles, and the volume ratio or concentration. The total strain energy accumulated in two sphere model has been equalized to the strain energy of a single sphere made from the effective material under simple shear, to calculate the shear modulus of the composite. For this problem, the displacement vector has been written as the combination of the three types solutions of spherical harmonics to solve a single sphere. Here, there are six unknown constants for the single sphere. The strain and the stress components have been obtained by writing three boundary conditions related to the stress components on the spherical surface. Besides the displacement vector must be finite at the origin. Using this condition, three solutions can be omitted. Number of the equations are nine while number of the remaining unknown coefficients is three. But if these equations are examined, the real number of the linear independent equations comes out as three. Solving these equations, the displacement vector, the strain and the stress tensors, and the strain energy of the single sphere have been calculated. For two nested spheres, the solution involves 12 unknown constants. Three of them can be eliminated from the condition written at the origin. In addition to three conditions related the surface traction components at the outer spherical body, there are six more conditions written on the common spherical boundary of two materials. Three of them, displacement components, are equal on this boundary. Last three equations which indicates surface traction vectors are also equal on this boundary for both materials. At first, on spherical boundaries, 27 equations have been obtained. But only nine of them linearly independent. Obtaining an alpha numeric solution is difficult. To handle this difficulty, a numerical solution has been made for a specific value of concentration. It must be emphasized that the shear moduli of two different materials must be known. But the strain energy has been obtained for composite in the closed form in the terms of remaining unknown coefficients. Equating two strain energies obtained above and using numerical solution, a curve has been plotted representing the effective shear modulus as a function of concentration. The problem of simple torsion of a cylindrical body with respect to its own axis is considered for calculation of the shear modulus of a fiber reinforced composite. Here, the expressions of the total strain energies on the single cylindrical body and two nested cylindrical bodies have been obtained using the classical theory of elasticity. So, following the same method as previous problems the expression of the shear modulus of composite material has been obtained. As the last problem, the single cylindrical body which was thought as effective material can be considered as micropolar material. Here, the equations of the theory of asymmetric elasticity have been used. The problem has been simple torsion again. In the micropolar theory, six material constants occur when the constitutive equations are written. In addition to m and l from the classical theory of elasticity, there are a, b, g, and e constants. A special material whose some constants, a and e, are zero has been considered in here. In this condition, the stress and the strain tensors are symmetric again. Because the analogy between them, the problem of the axial normal force acting on the top and the bottom surfaces of cylindrical body has been considered instead of the problem of torsion of it. ?It can be understood that the problem is rotational symmetric. The calculated energy here has been equalized to the energy of the previous two nested cylindrical bodies. So, the relation between b and g which are micropolar constants of material has been obtained. In the experimental studies, the matrix material has been chosen as a type of poliester. As the inclusion, a type of kevlar has been used for cylindrical fibers. Firstly, only poliester has been molded. After that, composite samples have been prepared. Two samples which have the volume ratio of 1% and 1.5% have been prepared. Simple tension test of these samples have been achieved and moduli of elasticity and Poisson?s ratios have been obtained for each sample. The experimental results has been plotted and compared with those from the analytical calculations.
Benzer Tezler
- Değişken malzemeli ve noktasal kütle taşıyan kirişlerin termal etki altındaki titreşim davranışının incelenmesi
Investigation of the vibrational behavior of variable material beam structures under point-mass and thermal effect
İBRAHİM KIROĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. METİN ORHAN KAYA
- Kademeli ve düz kiriş yapılarının termal etki altındaki titreşim davranışının incelenmesi
Investigation of the vibrational behavior of stepped and straight beam structures under thermal effect
FURKAN ALTINTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. METİN ORHAN KAYA
- Nano ölçekli çubuklarda doğrusal olmayan dalga yayılımı
Nonlineer wave propagation in nanorods
SEZER AKDAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
İnşaat MühendisliğiTekirdağ Namık Kemal Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ GÜLER GAYGUSUZOĞLU
- Eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemlerinin yerel olmayan elastisite teorisi ile analitik çözümü
Analytical solutions of out-of-plane static and dynamic problems of curved nanobeams using nonlocal elasticity theory
SERHAN AYDIN AYA
Doktora
Türkçe
2017
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ