Geri Dön

Basics of symplectic manifolds

Simplektik çokkatlıların temelleri

  1. Tez No: 367635
  2. Yazar: KARATUĞ OZAN BİRCAN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. BURAK ÖZBAĞCI
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2014
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Koç Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 109

Özet

Simplektik geometri simplektik çokkatlıları (yani, üzerlerinde kapalı ve dejenere olmayan diferansiyel 2-form olan düzgün çokkatlıları) inceler. Bu tezde, simplektik geometriye giriş yapmayı amaçladık. Ilk iki ünitede simplektik doğrusal cebirden bahsettik ve simplektik çokkatlının tanımını verdik. Simplektik çokkatlılar çift boyutlu ve yönlendirilebilir çokkatlılardır. Aynı zamanda, 5. ünitede bahsettiğimiz üzere, Darboux'nun simplektik çokkatlı teoreminden dolayı simplektik değişmezler Riemann geometrisinin aksine yerel değişmezler değillerdir. Öte yandan, simplektik çokkatlıların tek boyuttaki benzerleri olarak değerlendirilebilecek olan temas çokkatlıları da 7. ünitede ispatladığımız üzere Darboux'nun temas çokkatlı teoreminden dolayı yerel olarak aynıdırlar. Dördüncü ünite simplektik çokkatlıların Lagrange altçokkatlılarına ayrılmıştır. Konunun uygulaması olarak simplektik çokkatlılar arasındaki bir difeomorfizmanın hangi koşullar altında bir simplektomorfizma olduğunu gösterdik. Moser hilesi bu konuda önemli bir yer tutmaktadır ve 6.2. bölümde ondan bahsettik. Örnek olarak, Moser hilesini kullanarak, her yönlendirilebilir 2 boyutlu çokkatlının simplektik çokkatlı olduğunu gösterdik ve Gray'in kararlılık teoremini ispatladık. Ek olarak, Weinstein'ın Lagrange ve tüp komşuluk teoremlerini ispatladık. Sekizinci ve dokuzuncu ünitelerde sırasıyla hemen hemen karmaşık ve karmaşık çokkatlıları anlattık. Ayrıca Dolbeault kohomolojisini tanımlayıp hemen hemen karmaşık bir çokkatlının ne zaman karmaşık bir çokkatlı olduğunu inceledik. Son olarak, son ünitede Kaehler çokkatlılarını tanımladıktan sonra karmaşık izdüşel uzay üzerinde Fubini-Study formunu inceledik.

Özet (Çeviri)

Symplectic geometry is the study of symplectic manifolds, i.e., smooth manifolds equipped with closed nondegenerate differential 2-forms. Our aim in this work is to give an introduction to symplectic geometry. In the first two chapters, we explore symplectic linear algebra and give the definition of a symplectic manifold. Symplectic manifolds are even dimensional and necessarily orientable. Also, by Darboux's theorem for symplectic manifolds which we discuss in Chapter 5, symplectic invariants are not local invariants in contrast to the invariants in Riemannian geometry. On the other hand, contact manifolds which can be seen as odd dimensional analogues of symplectic manifolds are locally the same as well by Darboux's theorem for contact manifolds that we prove in Chapter.7 Chapter 4 is devoted to the lagrangian submanifolds of symplectic manifolds. Moreover, as an application, we determine when a diffeomorphism between symplectic manifolds is a symplectomorphism. The heart of the subject is Moser trick which we discuss in Section 6.2. For example, using the Moser trick, we show that every oriented 2-manifold is a symplectic manifold and prove Gray's stability theorem. Also we prove Weinstein Lagrangian Neighborhood Theorem and Weinstein Tubular Neighborhood Theorem in Chapter 6. Chapter 8 and 9 are concerned with almost complex and complex manifolds, respectively. We also define Dolbeault cohomology and discuss the criterions when an almost complex manifold is complex. Finally, in the last chapter, we define Kaehler manifolds and study the Fubini-Study form on complex projective space.

Benzer Tezler

  1. Quasimorphisms on symplectic manifolds

    Simplektik manifoldlar üzerinde kuazimorfizmalar

    BARAN CEM ZURNACI

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2012

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DR. ALİ SAİT DEMİR

  2. Kuaterniyonik manifoldların alt manifoldları

    Submanifolds of quaternionic manifolds

    ÇİĞDEM AY

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2023

    MatematikYıldız Teknik Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SALİM YÜCE

  3. Singüler yarı Riemann hemen hemen değme manifoldlar

    Singular semi Riemannian almost contact manifolds

    GÜLHAN AYAR

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    MatematikDüzce Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. NESİP AKTAN

  4. Jet demetler üzerinde gauge yapılar

    Gauge structures in jet bundles

    FATMA BADEM

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    MatematikPamukkale Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ŞEVKET CİVELEK

  5. Grupoidler ve diferensiyellenebilir yapılar

    Groupoids and differentiable structures

    FULYA ŞAHİN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2012

    Matematikİnönü Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. İLHAN İÇEN