Surfaces of positive curvature in E3 whose characteristic lines form a tchebychef net
E3 Te üzerinde karekteristik eğrilerin Tchebychef şebekesi oluşturduğu pozitif eğrilikli yüzeyler
- Tez No: 39667
- Danışmanlar: PROF.DR. ABDÜLKADİR ÖZDEĞER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1994
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 37
Özet
ÖZET E3 te Üzerinde Karakteristik Eğrilerin Tchebychef Şebekesi Oluşturduğu Pozitif Eğrilikli Yüzeyler S, Ez de C4 sınıfından pozitif eğrilikli ve ombilik nokta içermeyen bir yüzey olsun. S nin herhangi bir P noktasındaki eşlenik doğrultular arasındaki açının minumum olduğu eşlenik sisteme P noktasındaki karakteristik eğri şebekesi denir[l]. Bu eğriler, P noktasındaki Dupin göstergesinin eşit- eşlenik çaplarına teğet olan eğriler olarak da tanımlanabildiklerinden, bazen eşiteşlenik diagonal eğriler diye adlandırılırlar [2]. Bir kumaş parçasını eğrisel bir yüzey üzerine düzgün olarak yaymak tan ibaret olan fizik problemine karşı gelen matematik problemi ilk olarak Tchebychef[3] tarafından formüle edilmiş ve incelenmiştir. Burada istenen şey bir ağımisal olarak bir balıkçı ağım-hiçbir ipi gevşek olmayacak ve uzamayacak şekilde bir yüzey üzerine yaymaktır. Tchebychef bu problemi ele almak yerine, ağ gözlerini yüzeyi örten düzgün parametre eğrileri ailesinin bir parçası olarak düşünmüştür. Başka bir deyişle, u ve v yüzey parame trelerinin yüzeyin ds yay elemanının ds2 = du2 + 2Fdudv + dv2 olacak şekilde seçilmesi problemini ortaya atmıştır. Bir yüzeyin yay elemanı u = sbt,v = sbt parametre eğri takımı cinsinden ds2 = du2 + 2 cos ududv + dv2 şeklinde yazılabilirse, böyle bir takıma Tchebychef şebekesi denir. Buna eşdeğer olarak, bir şebekeye ait ailelerden herhangi birine ait teğet vektör alanı diğer aileye ait her eğri üzerinde Levi Civita anlamında paralel kayı yorsa bu şebekeye Tchebychef şebekesi adı verilir[3]. Karakteristik eğriler negatif eğrilikli yüzeyler için imajinerdirler. Bilindiği üzere, bu tür yüzeylerde asimptotik eğriler pozitif eğrilikli yüzeylerdeki karakteristik eğrilere karşı gelirler. Negatif eğrilikli yüzeyler üzerinde asimptotik eğriler bir Tchebychef şebekesi oluştururlar [3], [4].Asimptotik eğrilerin bu özelliği Hilbert'e ünlü teoremini ispatlama imkanı sağlamıştır: 3 boyutlu Oklid uzayında K=-l eğrilikli, regüler ve tam olan bir S yüzeyi singülariteleri olmadan üç-boyutlu Oklid uzayına izometrik olarak daldınlamaz[3]. [5] de bir yüzey üzerindeki asimptotik eğrilerin Tchebychef şebekesi oluşturmaları için gerek ve yeter şartın, yüzeyin Gauss eğriliğinin negatif ve sabit olmasından ibaret olduğu ispatlanmıştır. Samelson doktora tezinde[6], kapalı bir yarım-kürenin global bir Tche- bychev şebekesi tarafından örtülebileceğini ispatlamıştır. Bu çalışmada üç-boyutlu Oklid uzayında, üzerinde karakteristik eğrilerin Tchebychef şebekesi oluşturduğu ombilik nokta içermeyen pozitif eğrilikli yüzeylerin tayini problemi ele alınmıştır. Bu amaçla yüzey karakteristik eğrilere nispet edilmiş ve buna ilave olarak karakteristik eğrilerin Tcheby chef şebekesi oluşturma koşulu da gözönüne alınarak yüzeyin bir öteleme yüzeyi olması gerektiği sonucuna varılmıştır. Bu koşullar altında Gauss denklemi ve M.Codazzi denklemleri uygun bir şekle sokularak, bunların integrasyonuna çalışılmıştır. Çalışmada elde edilen yüzey sınıflarını belirleme problemi, uygun bir parametre dönüşümünden sonra tek değişkenli C2 sınıfından A(x) ve B(y) pozitif fonksiyonlarının belirlenmesi problemine indirgenmiştir. ikinci bölümde A(x) ve B(y) fonksiyonlarının 2A2 - A' = 2c, 2B2 + B' = 2c, diferensiyel denklemlerini gerçeklediği hal ele alınarak bu diferensiyel denklemlerin çözümleri c sabitinin pozitif, negatif ve sıfır olmasına göre, sırasıyla A(x) = i -V~ccoth(2x + Cl)^ {2x + Cl0\ y Ve tanh (2y + C2)*Jc, VIveya A(x) = ^/^ctan(2x + cz)^f^c, B{y) = - \/- ctan(2y -f C4)\/- c, 2&7T < (2x + c3)\/=c < (4* + 1)^- (4fc + 3)| < (2y + C4)^/=^ < (2*; + 2)tt (2& + 1)tt < (2x + c3)y^ < {Ak + 3)~ (4fc + 1)| < (2y + c4)v/=^ < (2fc + 1)tt (fc = 0,1,2,...), 1 l A^ = T^~2x~ (x~r m = sbt-)> şeklinde üç ayrı sınıfta toplanmıştır. c > 0 hali la. A(x) = -“v/c coth (2a: + cı)Vc,.ö(y) = \/ccoth(2y + c2)y/c, Ih. A{x) = - y^ccoth (2x + cı)\/c, -S(y) = -\/cfcanh(2y + c2)y/c, Ic. A(x) = - -y/ctanlı(2a; + cı)\/c, B{y) = \/ccoth(2y + c2)*/c, id. A{x) - - Vctanh(2:r + cı)\/c, B(y) - Vctanh (2y + c2)y/c, şeklinde dört ayrı sınıfta toplanmıştır ve herbiri ayrı ayrı incelenmiştir. Daha sonra bu sınıflardan sadece I.d halinin mümkün olabileceği gösteril miştir. Bu sonuca ulaşmada izlenen yol, aynı zamanda aranan yüzeylerin denklemlerini elde etme olanağını sağlamıştır. Bunun için, önce öteleme yüzeyinin x = xı(u) + x2(v) vektörel den kleminde yer alan icı(w.), x2(v) vektörel fonksiyonlarmm gerçekledikleri viix1”(u) + [2y^tanh(2u + ^±^)v/H] xt'(u) = d, x2“{v) + [2v^tanh (2v + &^)^] x2'(v) = d, diferensiyel denklemleri, Xuu = Uu COt LiJ xu : i,+In, sinw Xuv ~~ ^i -W”_ _ x»v = - su + a>" cot oj xv + L n. smw Gauss denklemlerinden yararlanarak elde edilmiştir. Sonuç olarak bu yüzeylerin vektörel denklemi x(u,v) = + :arctane(2y+£lİ^ eı e2 e3 -^arctaneO^^)^ y/c _1 + - ^ln[cosh(2« + £i±^)Vc cosh(2u + £^)Vc] - » olarak bulunmuştur. Diğer taraftan, x(u,v) = U(u) ?ı+V(«) e2 + [^ı(«) + yı(t;)] e3 vektörel denklemine sahip bir öteleme yüzeyinin doğuranlarının birbirine dik iki düzlem içinde bulunduğu bilinmektedir. Buna göre, I.d haline karşı gelen öteleme yüzeylerinin doğuranlarının birbirine dik iki düzlem içinde bulunan karakteristik eğrilerden ibaret olduğu sonucuna varılmıştır. Daha sonra c = 0 ve c < 0 hallerine karşı gelen yüzey sınıflarının mevcut olmadığı gösterilmiştir. Bu hallerin dışında, özel bir hal olarak ortaya çıkan u>y = 0 (veya u)x = 0) hali gözönüne alınarak bu sınıfa giren yüzeylerin birinci ve ikinci esas formlarının katsayılarının bir tek x = u+v parametresine bağlı oldukları gösterilmiştir. Esas büyüklükleri bir tek parametreye bağlı olan bir yüzeyin bir helikoidden ibaret olduğu bilindiğinden[l], u)y = 0 haline karşı gelen yüzeyler öteleme helikoidlerinden ibarettir. vınBu yüzeylerin vektörel denklemleri cos (7 - 2u) - cos (7 - 2u) x(u,v) = + ^~= n 2 sin (7 - 2u) + sin (7 - 2u) eı e2 ve + ^/n(u + v) e3 + N\, x(u,u) = -\/l - n[ sin (7 + 2u) + sin (7 + 2u)] c\ - --s/l - n[ cos (7 + 2u) - cos (7 + 2u)] c-ı + (u + u) m2 + N2, olarak elde edilmiştir. Bu iki öteleme helikoidinin kongrüent olduğu açıkça görülmektedir. Buradan, bu yüzeylerin dairesel helislerden ibaret olan ka rakteristik eğriler tarafından doğurulduğu sonucuna varılmıştır. ikinci bölümde elde edilen sonuçlar aşağıdaki teoremde toplanmıştır: Teorem: (a) Doğuranları karakteristik eğrilerden ibaret olan ve bir birine dik iki düzlem içinde bulunan pozitif eğrilikli öteleme yüzeyleri ile (b) Doğuranları dairesel helislerden (karakteristik eğrilerden) ibaret olan pozitif eğrilikli öteleme helikoidleri, üzerinde karakteristik eğrilerin bir Tchebychef şebekesi oluşturduğu aileye aittir. Üçüncü bölümde, üzerinde karakteristik eğrilerin Tchebychef şebekesi oluşturduğu ombilik nokta içermeyen pozitif eğrilikli yüzeylerin belirlenmesi probleminin, en genel halde, birinci cinsten iki eliptik integrale bağlı olduğu gösterilmiştir. Bu eliptik integrallerin birer elemanter integrale dönüştüğü hal incelenmiş ve söz konusu yüzeylerin esas büyüklükleri hesaplanmıştır. ıx
Özet (Çeviri)
SUMMARY In this paper, it is proved that the surfaces of positive curvature with no umbilical points in 3-dimensional euclidean space whose characteristic lines form a Tchebychef net are translation surfaces and that the deter mination of these surfaces depend on two eliptic integrals of the first kind. Furthermore, the case where these elliptic integrals reduces to el ementary integrals are studied. Moreover, it is shown that the following classes of surfaces belong to this family: (a) Translation surfaces of positive curvature with plane character istic lines as generators lying in two perpendicular planes. These sur faces are analogues of the Scherk's minimal surfaces of translation. (b) Translation helicoids of positive curvature with characteristic lines as generators which are circular helices. IV
Benzer Tezler
- Çatlaklı kaya kütlesi dayanımının sürekli yenilme durumunda üç eksenli deneylerle araştırılması
Investigation of the strength of the fractured rock mass by triaxial tests in case of continuous failure
HASAN MERT ÖZKARSLI
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
Jeoloji Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiJeoloji Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. YILMAZ MAHMUTOĞLU
- Betonarme kabuk yapılar tarihi gelişimi ve geleceği
Concrete shells, their historical developments and future
KENAN KOÇYİĞİT
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Mimarlıkİstanbul Teknik ÜniversitesiMimarlık Ana Bilim Dalı
PROF. DR. KAYA ÖZGEN
- Düzgün olmayan alanda SF6, N2 ve SF6+N2 gazlarında boşalma gerilimlerine elektrod yüzey pürüzlülüğünün etkileri
Effects of electrode surface roughness on corona inception and breakdown voltages in SF6, N2 and SF6+N2 in non-uniform fields
MURTAZA FARSADİ
Doktora
Türkçe
1989
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. MUZAFFER ÖZKAYA
- Hafif siklet bir uçağın kanat yüklerinin analizi
The Analysis of the wing loads of a light airplane
OĞUZ TUBAY
- Takviyeli dairesel silindirik kabuk yapıların serbest titreşimlerinin incelenmesi
Free vibrations of stiffened circular cylindrical shells
ZAHİT MECİTOĞLU