On the surfaces on the degenerated hypercylinder lC 2 × R
LC2 × R dejenere hipersilindirindeki yüzeyler üzerine
- Tez No: 924558
- Danışmanlar: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
19. yüzyılda Gauss'un eğrilik kavramını tanımlaması ve yüzeylerin lokal özellikleriyle ilgili çalışmalar yapmasıyla diferansiyel geometrinin temelleri atılmıştır. Riemann'ın manifoldlar üzerindeki çalışmaları, eğrilik kavramını genel bir metrik yapısı ile bütünleştirerek modern geometriye yeni bir bakış açısı kazandırmıştır. 20. yüzyılda Einstein'in genel görelilik teorisi ile bu manifoldların ışık-konisi yapıları üzerinden incelenmesinin yolu açılmıştır. Bu tür çalışmalarda Minkowski uzayı temel bir model olmuştur. Lorentz metrik yapısı, ışık-konisi geometrisi incelenmesi için ideal bir zemindir. Bu bağlamda, $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ manifoldu, bir ışık-konisinin $\mathbb{R}$ doğrusu ile kartezyen çarpımı olarak tanımlanmıştır. Uzay-benzeri yüzeylerin bu ortamda nasıl davrandığı matematiksel olarak incelenmiştir. Bu çalışmada, $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ manifoldu, Minkowski uzayındaki ışık-konisi geometrisini temsil eder. Uzay-benzeri bir yüzey, her bir noktadaki tanjant uzayın yarı-Riemann metriği altında pozitif norm taşımasıyla tanımlanır. Çalışmada kullanılan temel yapılar ve özellikler aşağıdaki şekildeki gibi ifade edilmiştir. $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ manifoldunun içinde bir $M$ yüzeyinin pozisyon vektörü \\ $$x(u,v)=(x_1(u,v),x_2(u,v),x_3(u,v),x_4(u,v))$$ \\ şeklinde ifade edilmiştir. Daha sonra ışık-benzeri normal vektör alanı $\phi$,\\ $$\phi=(x_1,x_2,x_3,0), \quad \langle\phi,\phi\rangle=0$$ şeklinde tanımlanmıştır. Çalışmada, bu vektör $\mathbf{C}_4=(0,0,0,1)$'ün tanjant ve normal bileşenlerine ayrılmasıyla başlayan analizde, $$ C_4 = (C_4)^T + (C_4)^\perp $$ şeklindeki ayrışma ele alınmıştır. Normal bağlantının $\nabla^\perp$ etkisi ve çeşitli geometrik miktarların $\alpha, A_\phi$ tanımları incelenmiş, sonuçta normal bileşen olan $$ (C_4)^\perp = -\alpha \phi $$ ifadesi de ışık-benzeri olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, $$ (C_4)^T $$ birim uzunlukta bir vektör olarak tanımlanmıştır. Bu yapı, $M$'nin temel formülleri olan bağlantı $\nabla$ ve ikinci temel form $h$ ifadelerinin türetilmesine olanak sağlamıştır. Uzay-benzeri yüzeylerin lokal eğrilik özellikleri, Gauss eğriliği $K$ ve ortalama eğrilik $H$ gibi geometrik niceliklerle açıklanır. Şekil operatörünün özdeğerleri ($\lambda_1, \lambda_2$), yüzeyin temel eğriliklerini ifade eder. Bu özdeğerlerin ortalaması ortalama eğrilik $H$'yi, çarpımı ise Gauss eğriliği $K$'yi verir. Çalışmanın ilk ana kısmında, $M$'nin Gaussian eğriliği ele alınmıştır. Gaussian eğriliğin sıfır olduğu durum için Gauss denklemi ve ikinci temel formun özellikleri incelenmiştir. Düz yüzeylerin sınıflandırılmasıyla ilgili sonuç olarak, bir yüzey düz ise, o yüzey yerel olarak $$ x(u, v) = (u + a(v)) \eta(v) + u C_4 $$ şeklinde parametrik olarak ifade edilebilir. Burada $\eta(v)$, ışık-benzeri bir eğri olup, $$ \langle \eta, \eta \rangle = 0 \quad \text{ve} \quad \langle \mathbf{C}_4, \eta \rangle = 0 $$ koşullarını sağlamaktadır. Bu yüzeyler için $M$'nin temel metrik katsayıları olan $E, F, G$ hesaplanmış ve Gaussian eğriliğin sıfır olduğu doğrulanmıştır. Tanjant ve normal demetlerin yapıları, yüzeyin geometrik analizinde temel bir rol oynamaktadır. Tanjant demet ${e_1, e_2}$ ortonormal bir baz oluşturur ve tanjant uzayı temsil eder. Normal demet ${\phi, \xi}$ pseudo-ortonormal bir bazdır. Burada $\phi$, ışık-benzeri $\xi$ ise $\phi$ ye dik bir vektördür. Yani $\langle \phi, \xi \rangle = -1$ koşulunu sağlar. Normal bağlantı $\nabla^\bot$ kullanılarak,\\ $$\nabla^\bot_{C^T_4} \phi = \alpha \phi$$\\ şeklinde bir ilişki tanımlanmıştır. Burada $\phi$'nin normal kısmının ışık-benzeri olduğu gösterilmiştir.\\ Ayrıca bu demetlerin diferansiyel özellikleri Gauss ve Weingarten denklemleri kullanılarak incelenmiştir.\\ $$\quad A_\phi = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_\xi = \begin{pmatrix} -e_1(\alpha) - \alpha^2 & -e_2(\alpha) \\ -e_2(\alpha) & \beta \end{pmatrix} $$ şeklindeki şekil operatörleri, yüzeyin geometrik karakterizasyonunda önemli bir role sahiptir. Bu operatörler, yüzeyin ikinci temel formu ile bağlantılı olarak kullanılmıştır. Ayrıca, normal bağlantının $\phi$ ve $\xi$ vektörleri üzerindeki türevleri belirlenmiştir. $$\nabla^\bot_{e_1} \phi = \alpha \phi, \quad \nabla^\bot_{e_1} \xi = -\alpha \xi, \quad \nabla^\bot_{e_2} \phi = \nabla^\bot_{e_2} \xi = 0.$$ Çalışmanın ikinci kısmında, normal demeti düz olan, yani normal eğriliği $K^\perp = 0$ olan yüzeyler incelenmiştir. İlk olarak bu koşulun $$ e_2(\alpha) = 0 $$\\ olmasına denk olduğu gösterilmiştir. $M$'nin pozisyon vektörü, $$ x(u, v) = \gamma(u) \eta(v) + u C_4 $$\\ formunda elde edilmiştir. Burada $$ \gamma(u) = e^{\int \alpha(u) \, du} $$\\ ve $\eta(v)$, yine ışık-benzeri bir eğridir. Çalışmanın temel sonuçlarından biri, $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ ortamındaki bir yüzey ancak ve ancak $$x(u,v)=(u+a(v))\eta(v)+u(C_4)$$ şeklinde tanımlanan yüzeyle yerel olarak eşdeğerse düz olabilir. Çalışmanın temel sonuçlarından bir diğeri ise, $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ ortamındaki bir yüzeyin normal demeti düz ise, bu yüzey $$x(u,v)=\gamma(u)\eta(v)+uC_4$$ şeklinde ifade edilebilir. Geometrik analizde düz yüzeyler ve düz normal demetli yüzeyler, önemli bir sınıflandırma problemine işaret etmektedir. Bu çalışmada, $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ ortamında uzay-benzeri yüzeylerin diferansiyel geometrisi detaylı bir şekilde incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar, hem düz yüzeylerin hem de düz normal demetli yüzeylerin yapısal özelliklerini ortaya koymaktadır. Bu tür yüzeylerin diferansiyel geometrisi, Lorentz manifoldlarında ışık-benzeri yüzeylerin incelenmesi için temel bir çerçeve sunmaktadır.
Özet (Çeviri)
In the 19th century, Gauss' definition of curvature and his studies on the local properties of surfaces laid the foundations of differential geometry. Riemann's work on manifolds integrated the concept of curvature with a general metric structure, providing a new perspective on modern geometry. In the 20th century, Einstein's general theory of relativity opened the way for studying the light-cone structures of these manifolds. In such studies, Minkowski space has been a fundamental model, and the Lorentz metric structure serves as an ideal setting for examining the geometry of light-cones. In this context, the $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ manifold is defined as the Cartesian product of a light-cone and the real line, $\mathbb{R}$. The behavior of space-like surfaces in this environment is mathematically investigated. This study examines the $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ manifold, which represents the light-cone geometry in Minkowski space. A space-like surface is defined by the positive norm of the tangent space at each point under the semi-Riemannian metric. The fundamental structures and properties used in the study are expressed as follows. Let $M$ be a surface in $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ with the position vector $$ x(u, v) = (x_1(u,v), x_2(u,v), x_3(u,v), x_4(u,v)). $$ Then light-like vector field $\phi$ normal to the surface is defined as $$ \phi = (x_1, x_2, x_3, 0), \quad \langle \phi, \phi \rangle = 0. $$ In the analysis that begins with the decomposition of the vector $\mathbf{C}_4=(0,0,0,1)$ into its tangent and normal components, the decomposition is expressed as $$ C_4 = (C_4)^T + (C_4)^\perp. $$ The effect of the normal connection $\nabla^\perp$ and the definitions of various geometric quantities $(\alpha, A_\phi)$ are explored. It is shown that the normal component $$ (C_4)^\perp = -\alpha \phi $$ is also light-like. Moreover, the vector $ (C_4)^T $ is defined as a unit-length vector. This structure allows the derivation of the fundamental formulas for $M$, namely the connection $\nabla$ and the second fundamental form $h$. In the first main part of the study, Gaussian curvature of $M$ is considered. The Gauss equation and properties of the second fundamental form are examined for the case when the Gaussian curvature is zero. It is concluded that a surface is flat if and only if it can be locally parametrized as $$ x(u, v) = (u + a(v)) \eta(v) + u C_4, $$ where $\eta(v)$ is a light-like curve satisfying $$ \langle \eta, \eta \rangle = 0 \quad \text{and} \quad \langle \mathbf{C}_4, \eta \rangle = 0. $$ For such surfaces, the fundamental metric coefficients $E, F, G$ are computed, and the Gaussian curvature is confirmed to be zero. The structures of the tangent and normal bundles play a fundamental role in the geometric analysis of the surface. The tangent vector fields $e_1, e_2$ form an orthonormal basis for the tangent bundle, while the normal vector fields $\phi, \xi$ form a pseudo-orthonormal basis. Here, $\phi$ is light-like, and $\xi$ is orthogonal to $\phi$, satisfying $\langle \phi, \xi \rangle = -1$. Using the normal connection $\nabla^\perp$, a relationship is defined as $$ \nabla^\perp_{C_4^T} \phi = \alpha \phi, $$ showing that the normal part of $\phi$ is light-like. The differential properties of these bundles are analyzed using Gauss and Weingarten equations. The shape operators $$ A_\phi = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_\xi = \begin{pmatrix} -e_1(\alpha) - \alpha^2 & -e_2(\alpha) \\ -e_2(\alpha) & \beta \end{pmatrix} $$ play an important role in the geometric characterization of the surface. These operators are used in connection with the second fundamental form. Moreover, the derivatives of the normal connection on $\phi$ and $\xi$ are determined: $$ \nabla^\perp_{e_1} \phi = \alpha \phi, \quad \nabla^\perp_{e_1} \xi = -\alpha \xi, \quad \nabla^\perp_{e_2} \phi = \nabla^\perp_{e_2} \xi = 0. $$ The local curvature properties of space-like surfaces are explained in terms of geometric quantities such as the Gaussian curvature $K$ and the mean curvature $H$. The eigenvalues $\lambda_1, \lambda_2$ of the shape operator represent the principal curvatures of the surface. The average of these eigenvalues gives the mean curvature $H$, and their product gives the Gaussian curvature $K$. Moreover, the classification of flat surfaces and surfaces are completed. Namely, it is proved that a surface in the $\mathcal{LC}^2 \times \mathbb{R}$ is flat if and only if it is locally congruent to the surface parametrized by $$x(u,v)=(u+a(v))\eta(v)+u(C_4).$$ Further surfaces with flat normal bundle are considered. It is obtained that a surface with flat normal bundle must necessarily be locally congruent to the surface parametrized by $$ x(u,v)=\gamma(u)\eta(v)+uC_4.$$
Benzer Tezler
- Ovulasyon indüksiyonu tedavisinde folliküler gelişimin ultrasonografik takibi
Başlık çevirisi yok
MERİH BAYRAM
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
1987
Kadın Hastalıkları ve DoğumGazi ÜniversitesiKadın Hastalıkları ve Doğum Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MÜLAZIM YILDIRIM
- Çimentonun sertleşmesi üzerinde kimyasal komponentlerin etkisi
Başlık çevirisi yok
NACİYE TÜRKEL
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
Kimya MühendisliğiUludağ ÜniversitesiKimya Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA CEBE
- İzmir'de bazı yolların kapatılarak yaya bölgeleri oluşturma da kent peyzajını geliştirme açısından yeniden planlanması üzerinde araştırmalar
Başlık çevirisi yok
BAHAR TÜRKYILMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1985
Şehircilik ve Bölge PlanlamaEge ÜniversitesiŞehir ve Bölge Planlama Ana Bilim Dalı
- Atherosklerotik kalp hastalıklarında risk faktörleri
Risk factors in the coronary artery disease
MURAT SUHER
- Diesel motorları yakıt püskürtme sistemlerinin dinamik simülasyonu
Başlık çevirisi yok
İRFAN KARAGÖZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
Makine MühendisliğiUludağ ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. OĞUZ BORAT