On alltop functions
Alltop fonksiyonları üzerine
- Tez No: 476739
- Danışmanlar: PROF. DR. FERRUH ÖZBUDAK
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Uygulamalı Matematik Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Kriptografi Ana Bilim Dalı (disiplinlerarası)
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
q herhangi bir tek asal sayının kuvveti ve Fq da sonlu cisim olsun. Fq'de tanımlanan f fonksiyonunun bütün a 2 F q noktalarındaki türevi, Da f (x) = f (x+a) f (x) birebir ve örtense, f fonksiyonuna düzlemsel fonksiyon denir. E˘ger bütün a 2 F q noktalarında türev fonksiyonu kendisi düzlemselse, fonksiyona Alltop fonksiyonu denir. Alltop fonksiyonlarının kriptografi ve ilgili alanlarda özel önemi var. Mesela, bu fonksiyonlar kuantum bilgi teorisinde MUB-kar¸sılıklı tarafsız bazlar in¸sa etmek için kullanılır. x3 ba˘gıntısı Alltop tarafından 1980'de bulunan bir fonksiyon olup aynı zamanda bilinen oto ve çapraz korelasyon sınırlarına göre en ideal ve bütün karakteristi˘gi 3 olmayan sonlu cisimlerde Alltop fonksiyonudur. Daha sonralar, bu fonksiyonların p=3'de varolmadı˘gı gösterilmi¸stir (Hall, Rao, Donovan). ¸Simdiye kadar xq+2 fonksiyonunun da 3-ün q+1-i bölmedi˘gi durumlarda Fq2 sonlu cismi üzerinde Alltop oldu˘gu ve bunun da x3-e EA-e¸sde˘ger olmadı˘gı, ama türevinin düzlemsel olup x2-e EA-e¸sde˘ger oldu˘gu gösterilmi¸stir. Günümüzde de yeni EA-e¸sde˘ger olmayan Alltop fonksiyonlarının olup olmadı˘gı veya yeni Alltop fonksiyonu üretme yöntemleri bilinmemektedir. Bu tezde Fq2 sonlu cisminde olan q-kübik Alltop tek terimli ve iki terimli fonksiyonlarının sınıflandırılması yapılmı¸stır. Özellikle, Fq2 üzerinde ve u 2 F q2 için x3 + ux2q+1 fonksiyonu incelenmi¸s ve bu durum için uygun u de˘gerlerinde L1 x3 L2 = x3+ux2q+1 ve L1 xq+2 L2 = x3 +ux2q+1 ¸sartlarını sa˘glayan L1(x) = ax+bxq ve L2(x) = cx+dxq lineer permütasyonları bulunmu¸stur. Böylece, u-nun uygun de˘gerlerinde fonksiyonun x3 ve xq+2-ye EA-e¸sde˘ger oldu˘gu kanıtlanmı¸stır. ˙Ilaveten, x3 ve e¸sde˘ger klasları hariç Fq3 'de ba¸ska Alltop kübik q-monomialların (tek terimli) varolmadı˘gı kanıtlanmı¸stır. Ek olarak, Fpn 'den Fp'e“p-li Alltop fonksiyonları”kavramı tanımlanmı¸s ve sonlu cisim üzerinde Alltop fonksiyonları ve p-li Alltop fonkisyonları arasındaki ba˘glantı verilmi¸stir. Aynı zamanda bazı bilindik ve bilinmeyen örnekler bulunup verilmi¸stir.
Özet (Çeviri)
Let q be a power of an odd prime p and let Fq be a finite field. A map f is called planar on Fq if for any a 2 F?q , the di erence map (or derivative of f at a point a) Da(x) = f (x + a) f (x) is bijective. The definition of Alltop function is that, the di erence map at point a in the given field of odd characteristic is itself planar for any a 2 F q. Alltop functions have special importance in cryptography and related areas. For example, they are used to construct mutually unbiased bases (MUB) in quantum information theory. The map x 7! x3 is an Alltop function in all finite fields found by Alltop in 1980 which is an optimal function with respect to the known bounds on auto and crosscorrelation. Since then it was shown that these kind of functions do not exist when p = 3 (Hall, Rao, Donovan). So far, it has been found that xq+2 is also an Alltop function over finite field Fq2 where 3 does not divide q + 1 and this is EA-inequivalent to x3 whereas its di erence function (derivative), which is planar, is EA-equivalent to x2 (Hall, Rao, Gagola). It is still an open problem whether there exist another EA-inequivalent Alltop functions or any method to construct new Alltop functions. In this thesis classification of q-cubic Alltop binomials over Fq2 is given. Specifically, x3 + ux2q+1 in Fq2 for u 2 F q2 is analyzed and for this case permutation polynomials L1(x) = ax + bxq and L2(x) = cx + dxq are found that satisfy L1 x3 L2 = x3 + ux2q+1 and L1 xq+2 L2 = x3 + ux2q+1 for suitable values of u. Hence, by finding suitable values of u, it is shown that this class of functions are EA-equivalent to x3 and xq+2. Moreover, except x3 and the ones in its equivalence class, it is shown that there is no Alltop cubic q-monomials in Fq3 . In addition, new notion“p-ary Alltop functions”are defined from Fpn to Fp and the relation between Alltop functions and p-ary Alltop functions over finite fields is given. Furthermore, some trivial and non-trivial p-ary Alltop functions are found and given.
Benzer Tezler
- İnsan kaynakları ve halkla ilişkiler işlevlerinin görev sınırları üzerine karşılaştırmalı bir araştırma
A Comparative study on functions of human resources and public relations duty boundries
CANAN UZAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1999
İşletmeYıldız Teknik Üniversitesiİşletme Yönetimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. GÜNGÖR ÖNAL
- Modelling prefrontal cortex functions by using neural networks
Korteks işlevlerinin yapay sinir ağları ile modellenmesi
GÜLAY KAPLAN BÜYÜKAKSOY
Doktora
İngilizce
2003
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CÜNEYT GÜZELİŞ
YRD. DOÇ. DR. NESLİHAN ŞENGÖR
- Advanced energy and exergy analysis on aircraft jet engines
Havacılık jet motorlarında ileri enerji ve ekserji analizi
SARA FAWAL
Doktora
İngilizce
2023
Havacılık ve Uzay Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ KODAL
- Efficiency in rehearsal: A study on choral conducting methodology
Prova verimliliği: Koro şefliği metodolojisi üzerine bir çalışma
BURAK ONUR ERDEM
Doktora
İngilizce
2020
Müzikİstanbul Teknik ÜniversitesiMüzik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. YELDA ÖZGEN ÖZTÜRK
- A comparison of loss functions in deep embedding
Derin gömme yitim fonksiyonlarının karşılaştırılması
CENK BİRCANOĞLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolBahçeşehir ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NAFİZ ARICA