Symmetry group classification of some problems in mathematical physics
Matematiksel fizikteki bazı problemlerin simetri grup sınıflandırmaları
- Tez No: 496449
- Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. MEHMET ALİ KARACA, PROF. TEOMAN ÖZER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematiksel Fizik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 97
Özet
Bir fonksiyonun türevleri arasındaki ya da fonksiyonun kendisi ve türevleri arasındaki ilişkiyi açık olarak belirten denkleme diferansiyel denklem denir. Diferansiyel denklemleri bağımsız değişkenlerin sayısına ve içerdikleri türevlerin türlerine göre sınıflandırabiliriz. Denklemin tek bir bağmsız değişkeni varsa denklem adi diferansiyel denklem, iki veya daha çok bağmsız değişken içeriyorsa kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellemesinde kullanılmaktadır. Doğa bilimleri ve mühendislikte önemli bir yere sahip olan ve fiziksel olayların bir modellemesi olarak elde edilen lineer olmayan diferensiyel denklemlerin integrallenebilirliği 1960'lardan beri uygulamalı matematiğin temel konularından biri olmuştur. Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin elde edilmesi her zaman mümkün olamamaktadır. Bu zorluktan dolayı öncelikli olarak bu tip denklemlerin integrallenebilirliği üzerinde çalışılmıştır. Bununla birlikte integrallenebilir lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak için bir çok yöntem geliştirilmiştir. Simetri grupları ve korunum kanunları, bu yöntemlerden bazılarıdır. Bu tezde simetri grupları kullanılarak, fizik ve matematikteki bazı önemli problemler incelenmiştir. Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerinin ve korunum kanunlarının bulunması problemi ele alınmıştır. Literatürde lineer olmayan diferansiyel denklemleri çözmek için bir çok yöntem geliştirilmiştir, simetri grupları bunlardan biridir. Öncelikle, analitik çözümlerin araştırılmasında en güçlü yöntemler arasında gösterilen Lie simetri grupları ele alınmıs¸tır. Sophus Lie, adi diferansiyel denklemler bir dönüs¸üm altında deg˘is¸mez kalırsa mertebelerinin bir derece düs¸ürülebileceg˘ini göstermis¸tir. Bu s¸ekilde, lineer olmayan diferansiyel denklemlere Lie cebrini uygulayıp denklemi deg˘is¸mez bırakarak mertebesini indirgeyip denklemin çözümünü elde edebiliriz. n. basamaktan bir diferansiyel denklemin Lie grubunu elde etmek için, bu Lie grubuna ait sonsuz küçük üreticin n. uzanımını diferansiyel denkleme uyguladıg˘ımız zaman sonuç sıfır çıkmalıdır. Bu uzanım diferansiyel denkleme uygulandıg˘ı zaman bulunan açılımdan çok belirli kısmi diferansiyel denklemler sistemi elde edilir ve bu denklemler belirleyici denklemler olarak adlandırılır. Lie grupları ile çalıs¸manın bir zorlug˘u, Lie grup teorisini uyguladıktan sonra elde edilen belirleyici denklemleri çözmektir, bu zorlug˘u as¸mak için bazı matematiksel programlar kullanılabilir, bunun için bu tezdeki problemleri incelerken Mathematica programı kullanılmıs¸tır. Bu tezde, Lie grup teorisi bazı fiziksel problemlere uygulanıp sonuçlar elde edilmis¸tir. Fakat, bazı durumlarda Lie grup teorisi yetersiz kalır. Her diferansiyel denklem Lie simetrilerine sahip olmayabilir. Bu durumda, simetrileri elde etmek ve sınıflandırmak için farklı yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden biri Noether Teoremi'dir. Noether Teoremi, Alman matematikçi Noether tarafından bulunmus¸tur. Bu teoremi uygulamak için öncelikle denklemin Lagrangian fonksiyonu elde edilir, Lagrangian fonksiyonu Euler-Lagrange denklemlerini sag˘lamalıdır. Daha sonra bu Lagrangian fonksiyonu yardımıyla denklemin ilk integralleri bulunur. Bu teorideki en önemli kısım Lagrangian fonksiyonunun belirlenmesidir. Standard Lagrangian'a sahip olmayan bir çok denklem vardır. Bu tür denklemler için kısmi Lagrangian yöntemi gelis¸tirilmis¸tir. Standart Lagrangian'a sahip olmayan denklemler için kısmi Lagrangian kullanılarak Noether simetrileri ve ilk integralleri bulunabilir. Tezin bir bölümünde kısmi Lagrangian yöntemi ele alınmıs¸tır. Bu yöntem yardımıyla standard Lagrangian fonksiyonuna sahip olmayan fiziksel bir denklem olan fin denklemi için kısmi Lagrangian fonksiyonu belirlenmis¸tir. Sonrasında Noether teoremi kullanılarak, denklemin Noether simetrileri ve ilk integralleri elde edilmis¸tir. Bu simetriler fin denkleminin ısı-sıcaklık katsayılarına göre sınıflandırılmıs¸tır. Daha sonra bu ilk integraller kullanılarak denklemin deg˘is¸mez çözümleri elde edilmis¸tir. Lie simetrisine sahip olmayan denklemlerin simetrilerini elde etmek için dig˘er bir yöntem Muriel ve Romero tarafından 2001 yılında tanımlanmıs¸tır. Yeni bir vektör alanı tanımlayarak, yeni bir uzanım formu elde etmis¸ler ve elde ettikleri simetrileri λ-simetrileri olarak adlandırmıs¸lardır. Muriel ve Romero, bu yeni teoride Lie simetrilerinden farklı olarak tanımladıkları yeni vektör alanını kullanarak elde edilen belirleyici denklemlerin çözümünü sonsuz küçük fonksiyonlar ve λ fonksiyonu cinsinden belirlemis¸lerdir. Bir diferansiyel denklemin λ -simetrileri, integrasyon çarpanları ve ilk integralleri arasında önemli bir ilis¸ki vardır. Özellikle, λ -simetrileri, Lie simetrisi olmayan lineer ve lineer olmayan denklemler için integrasyon çarpanlarının ve ilk integrallerinin bulunmasında etkili bir yöntemdir. Bu tezde ele alınan bir dig˘er önemli ilis¸ki Lie simetrilerinden λ-simetrilerinin elde edilmesidir. Daha sonrasında λ-simetrileri kullanılarak integrasyon çarpanı ve ilk integraller elde edilebilir. Bu simetrileri bulmamızı sag˘layan dig˘er bir yöntem Prelle-Singer yöntemidir. Bu yöntem, Prelle ve Singer tarafından 1993 yılında ele alınmıs¸tır ve zaman içinde Duarte yöntemi gelis¸tirmis¸tir. Prelle-Singer yönteminde R ve S fonksiyonları ile ifade edilen üç adet belirleyici denklem vardır, bu denklemler çözülerek simetriler elde edilmeye çalıs¸ılır. Muriel ve Romero 2009 yılında Prelle-Singer yöntemi ile λ-simetrileri arasında bir ilis¸ki kurmus¸lardır. Bu ilis¸kiye göre, λ-simetrisi ve µ integrasyon çarpanı olmak üzere R = µ ve S = λ es¸itlikleri elde edilir. Bu yöntem kullanılarak, bazı fiziksel denklemlerin λ -simetrileri, integrasyon çarpanları, ilk integralleri ve sırası ile çözümleri elde edilmis¸tir. Lie, λ ve Prelle Singer yöntemleri arasında önemli bir ilis¸ki söz konusudur. λ-simetrileri kullanılarak Lie simetrileri, Prelle Singer yöntemi kullanılarak öncelikle λ-simetrileri ve λ-simetrileri kullanılarak sonrasında Lie simetrileri elde edilebilir. Tezde kullanılan dig˘er bir yöntem ise lineerles¸tirmedir. Verilen denklem önce bazı fonksiyonlara gore sınıflandırılıp daha sonrasında ait oldug˘u sınıfa dair kullanılan algoritma ile farklı ilk integralleri elde edilmis¸tir. Lineeles¸tirme problemleri altında inceledig˘imiz dig˘er bir dönüs¸üm Sundman dönüs¸ümüdür. Duarte tarafından ortaya atılan bu dönüs¸üm ile lineer olmayan bir denklem lineerles¸tirilebiliniyorsa, bu denklem Muriel ve Romero tarafından S-lineerles¸tirilebilir olarak adlandırılmıs¸tır. Tezde S-dönüs¸ümleri kullanılarak ilk integrallerin ve λ-simetrilerinin nasıl bulundug˘u açıkca gösterilmiştir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, some problems in physics and engineering sciences are examined by symmetry methods. In the literature, there are a lot of methods to solve nonlinear differential equations and these methods play an important role. One of these methods is to use symmetry groups. We consider some symmetry group related methods to solve problems in mathematical physics. Firstly, we deal with the Noether symmetry classification of the nonlinear fin equation, in which thermal conductivity and heat transfer coefficient are assumed to be functions of the temperature. This classification includes Noether symmetries, first integrals and some invariant solutions with respect to different choices of thermal conductivity and heat transfer coefficient functions. In this thesis, Noether symmetries of the fin equation are investigated using the partial Lagrangian approach. Secondly, we consider Lienard II-type harmonic nonlinear oscillator equation as a nonlinear dynamical system. Firstly, we examine the first integrals in the form A(t; x)x˙+B(t; x) and corresponding exact solutions, the integrating factors. In addition, we analyze other types of the first integrals via λ-symmetry approach. It is shown that the equation can be linearized by means of nonlocal transformation, which is called Sundman transformation. Using the modified Prelle-Singer approach, time independent first integrals are derived for the Lienard II-type harmonic nonlinear oscillator equation. The modified Prelle-Singer procedure is used for a class of second order nonlinear ordinary differential equations and several physically interesting nonlinear systems are solved. Prelle and Singer have proposed an algorithmic procedure to find the integrating factor for the system of first order ordinary differential equation. Once the integrating factor for the equation is determined then it leads to a time independent integral of motion for the first order ordinary differential equation. The Prelle-Singer method guarantees that if the first order ordinary differential equation has a first integral in terms of elementary functions then this first integral can be found. This method has been generalized to incorporate the integrals with non-elementary functions. Recently, this theory is generalized to obtain general solutions for second order and higher order ordinary differential equations without any integration. Moreover, it is possible to consider some feasible algorithm to obtain first integral, integrating factor and invariant solution and one can apply this algorithm to nonlinear equation. The another method for application to nonlinear differential equation is the transformation method. Considering this transformation procedure, a nonlinear equation can be converted to a linear differential equation whose solutions are known. It is well-known that Lie proves the general algorithm that all second order nonlinear differential equations can be converted to second order linear differential equations by the method of change of variables, which is called Lie linearization test. In fact, the mathematical procedure of linearizing transformation is quite diffucult work and this can be applied to only second order ordinary differential equations that have a eight-dimensional Lie algebra. Therefore, it is necessary to consider other type of transformation techniques of nonlinear differential equations for linearization of larger classes of equations. One of nonlocal transformations is of the form X = F(t;x); dT = G(t;x)dt, which is called the generalized Sundman transformation. This transformation is also called S-transformation and the equations that can be linearized by means of S-transformations are called S-linearizable. In the second problem, λ-symmetries via Lie symmetries, integrating factors, first integrals and invariant solutions of Lienard II-type harmonic nonlinear oscillator equation are obtained. In third problem, we examine first integrals, transformation pair and invariant solutions of fin equation by linearization methods. And we apply nonlocal transformation to fin equation. The important relations λ-symmetry with Lie point symmetry, Prelle Singer method with λ-symmetry and Lie symmetry are examined. The first integrals, integrating factors, Sundman transformation pair and invariant solutions of fin equation are found.
Benzer Tezler
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- Leech örgüsünün bir E8 x E8 x E8 kuruluşu
An E8 x E8 x E8 construction for the leech lattice
BAHRİ GÜLDOĞAN
- Yerel olmayan elastisite denklemlerinin simetri grupları
Symmetry groups of equations of nonlocal elasticity
TEOMAN ÖZER
- Sayısal arazi modellerinden hacim hesaplarında en uygun enterpolasyon yönteminin araştırılması
Research of the most suitable interpolation method for volume determination in digital terrain models
MUSTAFA YANALAK
Doktora
Türkçe
1997
Jeodezi ve Fotogrametriİstanbul Teknik ÜniversitesiJeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ORHAN BAYKAL
- Non-Newtonyen akışkanlar mekaniğinde bazı akış problemlerine ait analitik çözümler
The Analytical solutions of some flow problems of non-newtonian fluids mechanics
MUHAMMET YÜRÜSOY
Doktora
Türkçe
2000
Makine MühendisliğiCelal Bayar ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET PAKDEMİRLİ