Large-scale and nonconvex eigenvalue optimization
Büyük çaplı ve konveks olmayan özdeğer optimizasyonu
- Tez No: 528001
- Danışmanlar: DOÇ. DR. EMRE MENGİ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Koç Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 192
Özet
Bu tez çalışmasında bir takım parametrelere analitik olarak bağlı Hermit bir matrisin belirtilen bir özdeğerininin optimizasyonu üzerine yoğunlaşıyoruz. Bu yoğunlaştığımız çerçeve, sabit iz varsayımı altında doğrusal yarı belirgin programlama, şekil optimizasyonu ve yapısal tasarım problemleri, kontrol teorideki güçlü dengelilik ölçekleri gibi klasik uygulamalar tarafından motive ediliyor. Ana olarak ilgilendiğimiz bu tip büyük Hermit matrisler içeren özdeğer optimizasyonu problemleri, özellikle uygun alt uzaylara dik izdüşümler sayesinde bahsi geçen büyük Hermit matrislerinin boyutlarının indirgenmesi. Ama tez çalışmasında ek olarak bu özdeğer problemlerinin konveks olmayan doğaları ile de ilgileniyoruz. Çalışmaya iyi alt uzaylar üreten alt uzay çerçeveleri geliştirerek başlıyoruz. Her adımda dik izdüşümle elde edilen indirgenmiş ufak bir özdeğer optimizasyonu problemi çözülüyor, ardından alt uzaylar indirgenmiş problem ile orijinal büyük çaplı problem arasında indirgenmiş problemi optimize eden parametre değerlerinde bir takım Hermit özellikleri sağlanacak şekilde genişletiliyor. Alt uzay çerçeveleri için yakınsama analizini sonsuz boyutta, yani bu çerçevelerin parametrelere bağlı kendine eşlenik kompakt bir operatörün özdeğerlerinin optimizasyonu için uygulandığı durumda, gerçekleştiriyoruz. Bu sonsuz boyuttaki analizde (i) çerçevelerin Jinci en büyük özdeğerin mini- mizasyonu için uygulandığında boyut sonsuza yaklaştıkça global olarak en iyi çözüme yakınsadığını, (ii) yakınsama hızının alt uzayın boyutuna göre ve türevlenebilir durumda en az süper-doğrusal olduğunu kanıtlıyoruz. İkinci hızlı yakınsama sonucunun pratikteki etkisi önemli; büyüklüğü onbinler mertebesinde olan matrisler içeren özdeğer optimizasyonu problemleri, büyüklüğü onlar mertebesinde matrisler içeren indirgenmiş özdeğer optimizasyonu problemleri tarafından yaklaşık olarak ama yüksek doğruluk ile temsil edilebiliyor. Çalışmanın ikinci kısımını türevlenemeyen durumda, yani optimal parametre değerlerinde özdeğerin çoklu katsayıya sahip olduğu durumda, yakınsama hızı analizlerine adıyoruz. Buradaki analizler özel olarak tek bir parametreye bağlı bir Hermit matris fonksiyonunun en büyük özdeğerinin minimizasyonu problemi üzerinde gerçekleştiriliyor. İlk kısımdaki alt uzay çerçevelerinin genelleştirilmiş bir hali için kuadratik yakınsama sonucunu kanıtlıyoruz. Ayrıca, yine bu türevlenemeyen durumda, indirgenmiş problemlerin global çözümü için kullanılan ve parçalı kuadratik model fonksiyon tabanlı yöntemin hızlı yakınsadığını gösteriyoruz. Elde edilen teorik yakınsama hızı sonuçlarının, pratikte iç sayısal yarıçap hesabından kaynaklanan bir takım türevlenemeyen örnekler üzerinde sağlandığını gözlemliyoruz. En son olarak en büyük özdeğer fonksiyonunun amaç fonksiyonununda belirdiği minimum-maksimum türü optimizasyon problemlerinin üzerine yoğunlaşıyoruz. Ufak problemler için global olarak en iyi çözüme yakınsayan bir yöntem, ve büyük çaplı problemler için de, ilk kısımdaki çerçevelerden de ilham alarak, alt uzay çerçeveleri tasarlıyoruz. Tasarlanan alt uzay çerçevelerinin yine hızlı yakınsadığını kanıtlıyoruz. Bu teorik sonuçları pratikte sayısal yarıçapın minimizasyonu problemi üzerinde teyit ediyoruz.
Özet (Çeviri)
We deal with the optimization of a prescribed eigenvalue of a Hermitian matrix that depends on several parameters analytically. This setting is motivated by classical problems such as a linear semidefinite program under a constant trace assumption, shape optimization and structural design problems, robust stability measures in control theory. Our primary interest is in the problems involving large Hermitian matrices, in particular reducing their sizes by means of orthogonal projections onto appropriate subspaces. But some attention is also paid to the nonconvex nature of these problems. We start by devising subspace frameworks that yield good subspaces for orthogonal projections. At every step, a projected eigenvalue optimization problem is solved, then the subspaces are expanded so that Hermite interpolation properties are attained between the projected problem and the original large-scale problem at the optimizer of the projected problem. Convergence analyses are conducted in the infinite dimensional setting when the eigenvalues of a self-adjoint compact operator dependent on parameters are optimized, specifically (i) convergence to a global minimizer is proven for the minimization of the $J$th largest eigenvalue as the subspace dimension goes to infinity, (ii) a superlinear rate-of-convergence result is deduced in the smooth setting with respect to the subspace dimension. We observe the dramatic effects of the latter result in practice; problems on the order of tens of thousands are approximated accurately with projected problems in terms of matrices of sizes on the order of tens. The second part is devoted to rate-of-convergence analyses in the nonsmooth setting when the eigenvalue is not simple at the optimal parameter value. The analyses here are restricted to the minimization of the largest eigenvalue of a Hermitian matrix dependent on one parameter. We establish a quadratic rate-of-convergence for a generalized version of the subspace framework from the first part. Additionally, for an algorithm to solve the projected problems that is guaranteed to converge to globally optimal solutions and that is based on piece-wise quadratic model functions, a rapid convergence result is proven in this nonsmooth setting. The rate-of-convergence results are illustrated on several nonsmooth examples arising from the computation of the inner numerical radius, the modulus of the point on the boundary of the field of values closest to the origin. The third and the final part concerns the minimax problems with the largest eigenvalue in the objective. We tailor a globally convergent algorithm for small problems, and a subspace framework inspired by the ones from the first part for large-scale problems. Once again we prove the rapid convergence of the subspace framework. The theoretical results proven are confirmed in practice on an application, namely the minimization of the numerical radius, which is the modulus of the point in the field of values furthest away from the origin.
Benzer Tezler
- Derivative free algorithms for large scale non-smooth optimization and their applications
Türevi kullanmayan optimizasyon yöntemlerinin, çok boyutlu türevi olmayan optimizasyon problemlerine uygulanması
ALİ HAKAN TOR
Doktora
İngilizce
2013
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN
DOÇ. DR. ADİL BAGİROV
- Konvansiyonel ve mikro şebeke içeren güç sistemlerinde dinamik ekonomik yük ve emisyon dağıtımının sezgisel yöntemlerle analizi
Dynamic economic emission dispatch in power systems with and without microgrids by using heuristic algorithms
ESRA AYDIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektrik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BELGİN TÜRKAY
- Learning in extreme conditions: Online and active learning with massive, imbalanced and noisy data
Başlık çevirisi yok
ŞEYDA ERTEKİN
Doktora
İngilizce
2009
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolThe Pennsylvania State UniversityBilgisayar Bilimleri ve Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. C. LEE GILES
- Hybridization of probabilistic graphical models and metaheuristics for handling dynamism and uncertainty
Değişimin ve belirsizliğin ele alınması için olasılıksal çizgesel biçelerin ve sezgi-üstlerinin melezleştirilmesi
GÖNÜL ULUDAĞ
Doktora
İngilizce
2021
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYŞE ŞİMA UYAR
- Tabu araştırma ve karınca koloni optimizasyon algoritmaları ile anten dizilerinde demet şekillendirme ve diyagram sıfırlama
Beam shaping and pattern nulling of antenna arrays using tabu search and ant colony optimization algorithms
ALİ AKDAĞLI
Doktora
Türkçe
2002
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiErciyes ÜniversitesiElektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF.DR. KERİM GÜNEY