Stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri
Numerical solutions of stochastic differential equations
- Tez No: 542386
- Danışmanlar: PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 88
Özet
Bu tez çalışmasında stokastik diferansiyel denklemlerin (SDD) türleri tanımlanarak analitik (kesin) ve nümerik çözüm yöntemlerine çalışılmıştır. Tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde SDD ile ilgili literatür özeti, tezin amacı ve hipotez verilmiştir. İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel kavramlardan, tanımlardan bahsedilmiş ve deterministik diferansiyel denklemlerden SDD'e geçiş anlatılmıştır. Üçüncü bölümde SDD'in genel hali tanıtılarak çözümleri için varlık teklik şartları verilmiştir. Lineer, lineere indirgenebilir SDD ve stokastik diferansiyel denklem sistemleri (SDDS), bu denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilişinden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde Ito Taylor açılımı ve bu açılımdan EM, Milstein şemalarının elde edilişi verilmiştir. Yaklaşık çözümler bulmamıza yardımcı olacak diğer nümerik metodların şemaları üzerinde durulmuştur. Beşinci bölümde ise gecikmeli stokastik diferansiyel denklemler (GSDD) tanıtılmış ve gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklemlerden (GLSDD) bahsedilmiştir. Bu denklemlerin analitik çözümünün elde edilişi verilmiştir. Altıncı bölüm uygulamalardan oluşmaktadır. Bölümün ilk uygulamasında 10000 yol üzerinden lineer olmayan SDD'in analitik ve nümerik çözümü elde edilerek ortalaması alınmıştır. Bu ortalama çözüm, 50 örneklem yol üzerinden bulunan çözümlerle aynı grafikte çizilmiştir. Farklı adım uzunlukları için modelin analitik ve nümerik çözümleri MATLAB programlama dilinde yazmış olduğumuz kodlar yardımıyla hesaplanmıştır. Çözümlerin ortalama karesel hata tablosu, hata grafikleri verilmiştir. Bunun dışında lineer SDD'e indirgenebilir, SDDS, Stratonovich SDD'i ile ilgili birer problem analitik ve nümerik olarak çözülmüştür. Son olarak gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklem modeli analitik ve nümerik olarak hesaplanmıştır. Bütün çözümler grafiklerle ve hata tablolarıyla desteklenmiş ve yorumlanmıştır. Yedinci bölümde ise bu çalışmadan çıkan sonuçlar özetlenmiştir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, the types of stochastic differential equations are defined and analytical (exact) and numerical solution methods are studied. The thesis consists of seven chapters. In the first chapter, the literature summary, the purpose and the hypothesis of the thesis are given. In the second chapter, the basic concepts, definitions and the transition from deterministic differential equations to stochastic differential equations are explained. In the third chapter, the general form of stochastic differential equations is introduced and the existence, uniqueness conditions for their solutions are given. Linear, reducible stochastic differential equations, systems of stochastic differential equations and their analytical solutions are mentioned. In the fourth chapter, Ito Taylor expansion is given and EM, Milstein schemes are obtained from this expansion. Schemes of other numerical methods are given. In the fifth chapter, delayed stochastic differential equations are introduced and delayed linear stochastic differential equations are mentioned. The analytical solutions of these equations are given. The sixth chapter consists of applications. In the first application of the chapter, analytical and numerical solutions of non-linear stochastic differential equations are obtained over 10000 sample paths and averaged. This average solution is plotted in the same graph as the solutions found over 50 sample paths. The analytical and numerical solutions of the model for different step size are calculated by using the codes written in MATLAB programming language. Mean square error table and error graphs of the solutions are given. In addition, reducible stochastic differential equations, problems related to Stratonovich system of stochastic differential equations are solved analytically and numerically. Finally, the model of the delayed linear stochastic differential equation is calculated analytically and numerically. All solutions are supported and interpreted with graphs and error tables. In the seventh chapter, the results of this study are summarized.
Benzer Tezler
- Some weak convergence analysis results of the semi-implicit split-step methods for the non-linear stochastic differential equations
Lineer olmayan stokastik diferansiyel denklemler için yarı-kapalı bölünmüş-adım metotlarının bazı zayıf yakınsaklık analiz sonuçları
BERİVAN ARI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ BURHANEDDİN İZGİ
- Behavioral classification of stochastic differential equations in mathematical finance
Matematiksel finanstaki stokastik diferensiyel denklemlerin davranışsal sınıflandırması
BURHANEDDİN İZGİ
Doktora
İngilizce
2015
Ekonomiİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET DURAN
- Kısmi diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri ve sayısal çözümlerinin karşılaştırılması
A Comporision of the analytic and numerical solutions for the partial differantial equations
TAYFUN TUTAK
- Linearization of stochastic differential equations driven by levy processes
Levy süreçleriyle sürülmüş stokastik diferansiyel denklemlerin doğrusallaştırılması
İSMAİL İYİGÜNLER
