Geri Dön

Chamber kompleks üzeri̇ne bi̇r çalişma

A study on the chamber complex

PDF İndir

  1. Tez No: 593266
  2. Yazar: BÜŞRA SERT
  3. Danışmanlar: PROF. DR. SEFA FEZA ARSLAN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2019
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 67

Özet

Bu tezde, verilen bir A matrisi için matrisin satırlarının vermiş olduğu dış normal vektörlerin tanımladığı yarı düzlemleri oynatarak elde edebileceğimiz chamberlerin bir koleksiyonu olan chamber kompleksi tanıtıp onu hesaplamak için McMullen, Beck, Sturmfels, Henk et. al., Emiris et. al. ve diğerleri tarafından yapılan önceki çalışmalardan esinlenerek elde ettiğimiz bir algoritma sunmaktayız. Sunduğumuz algoritma rankı iki olan matrisler için hızlı çalışmak ile birlikte, rankı üç olan matrislerin chamber kompleksini hesaplamada çok yavaştır. Ayrıca bu tezde, algoritmaya ek olarak, algoritmayı geliştirmek adına ve chamber kompleksin yapısını daha iyi anlayabilmek için torik varyete perspektifini kullanarak chamber kompleksin kendisinin ve chamberleri ile eşleşen normal fanların torik varyetelerini inceleyerek, bir chamber kompleksdeki komşu chamberlerin torik varyetelerindeki değişimi gözlemleyerek elde ettiğimiz bazı teoremleri ve ispatını sunmaktayız. Bir politopun chamber'i ilk olarak McMullen'ın $1973$'de yayımladığı makalede, tanımlandı ve verilen bir politopun ayrıştırılabilir olup olmadığı sorusunu cevaplamak için kullanıldı. İlerleyen yıllarda chamber'in kombinatorik ve integral programlama alanlarında uygulamaları yapıldı. Özellikle, verilen bir politopun latis noktalarının sayısını veren vektör ayırma fonksiyonu üzerindeki çalışmalarda chamber yapısı kullanılmaktadır. Verilen bir matris için o matrisin chamber kompleksini bulmak demek, verilen bir yarı düzlemler kümesinin elemanlarını kullanarak elde edebileceğimiz tüm kombinatorik sınıfları bulmak demektir öyle ki elde edilebilecek her kombinatorik sınıf için chamber komplekste o sınıfa iliştirilmiş bir chamber vardır. Burada kombinatorik sınıf ile, eşitlik sisteminin çözüm kümesi olarak elde edebileceğimiz politopların kombinatorik sınıfı kastedilmektedir. Eğer matrisin chamber kompleksinde sadece bir tane en büyük boyutlu chamber bulunuyorsa, önceki çalışmaların verdiği algoritmalar kullanılarak chamber kompleks elde edilebilir. Ancak çalışmalarımız sırasında, üç boyutta, chamber komplekste birden fazla en büyük boyutlu chamberin bulunabileceğini gözlemlemiş bulunmaktayız. Bu tezde, chamber kompleksi bulmadan önce komplekste kaç tane en büyük boyutlu chamberin bulunabileceği sorusunu cevaplayabilmek için chamber kompleksin chamberlerine iliştirilen normal fanların torik varyetelerini ve chamber kompleksi bir fan olarak görüp onun torik varyetesini incelemekte ve gözlemlerimizi sunmaktayız.

Özet (Çeviri)

In this thesis, we define the chamber complex of a given matrix A that is the collection of the chambers we could obtain by moving the halfspaces whose outer normal vectors are given by the rows of A. Moreover we present an algorithm inspired by the previous works of McMullen, Sturmfels, Henk et. al., Emiris et. al., Beck and the others on the chamber of a polytope and the vector partition function. The algorithm works fast for the matrices that have rank two, but it is too slow for the matrices of rank three. In order to have a fist step that could help for the future work on improving the algorithm, we consider the chamber complex and its chambers with toric variety aspect, and for a given chamber complex, we examine the toric variety of the normal fan associated to each chamber and also the toric variety of the chamber complex. In this thesis we present the observations we obtain during our studies via theorems we have. A polytope P could be expressed as the intersection of halfspaces whose outer normal vectors are given by a matrix A and their positions are given by a vector b. The chamber (or type cone, or Minkowski cone) of a given polytope P was first defined by McMullen in the paper he published in 1973 presenting a way to answer the question asking, for a given d-dimensional polytope P, whether there exist two polytopes R,S (called summands), that are not obtained by dilating or shrinking or translating P, and whose Minkowski sum R+S gives P. If such polytopes exist, then P is called decomposable, if not, P is called indecomposable. The chamber of the polytope is the cone of all vectors for which polytopes we obtain by the intersection of halfspaces that are located by the vectors are strongly combinatorially equivalent to P, i.e., they have the same normal fan (collection of the cones generated by the normal vectors of the faces). McMullen stated that a polytope P is indecomposable if and only if the chamber of P is one dimensional. Moreover, the generating rays of the chamber give information about the indecomposable summands of P, i.e., for a point d, taken from one of the generating rays of the chamber of P, the polytope given by the same half spaces as P, but with different positioning given by the point d, is an indecomposable summand of $P$. Since then, Emiris et. al., Henk et. al., Brion et. al., Beck and others worked on the chamber and its applications to integer programming and combinatorics. Sturmfels in 1994 proved that for each chamber, there exists a vector partition function that gives the number of lattice points of the polytope P whose halfspaces are located by any point c taken from the chamber of P. The vector partition function became a very useful tool in Ehrhart theory as the vector partition function of a chamber is indeed an Ehrhart polynomial. A given matrix A of rank d corresponds to the set of outer normal vectors of the defining half spaces. changing the vector b that changes the positions of the halfspaces given by A with another vector c corresponds to moving the halfspaces along the directions given by A. Each such replacement gives another polytope that may have different combinatorial type, i.e., they have different relations between their faces. Being given a polytope indeed corresponds to having a fixed matrix A and a right hand side vector b that fixes the polytope P, i.e., the combinatorial type. The chamber of P is the cone of those vectors b, such that the movement of hyperplanes preserves the combinatorial type. The chamber complex of a given matrix A is the collection of all chambers we could obtain by moving the halfspaces whose outer normal vectors are defined by A. When the chamber complex of a given matrix A has only one top-dimensional cone, the chamber complex of A coincides with the closure of the chamber of the polytope P whose chamber is the top-dimensional cone in the chamber complex. However, we observed that for some matrices A, there can be more than one top-dimensional chambers in the chamber complex of A (We present an example of this case in the thesis). There are some cases for which the algorithm we present is too slow, although the algorithm from previous works would be fast for some of them. We also know that the algorithm from previous works is not enough to get the chamber complex when it has more than one top dimensional chambers as we cannot realize the chamber complex as the closure of the chamber of a polytope. In order to understand the structure of the chamber complex, we follow the following algebraic geometric aspect. One of the classical objects of algebraic geometry is toric varieties. We mentioned above that for each chamber in the chamber complex, there is one associated combinatorial type. Moreover, we have that for each chamber $C$, there is one associated normal fan such that all polytopes P defined by b taken from the chamber, have the same normal fan. Let us consider the toric varieties of the normal fans associated to the chambers. When we move in the chamber complex from one chamber to another, the toric varieties of the associated normal fans change and when two chambers have a common face, the toric varieties have a common sub-variety. In the chapter on the chamber complex and toric varieties, we focus on the change on of the toric varieties associated to the chambers of a given chamber complex and provide theorems on our observations on the change. As each chamber itself is a strictly convex rational polyhedral cone, we can also consider the toric variety of the chamber complex. Moreover, every toric variety $X_{\Sigma}$ has a natural torus action on it, and the number of fixed points is the number of top dimensional cones of a given fan . this yields us to have the observation that the number of top dimensional chambers of the chamber complex of a given matrix A is the number of the fixed points of the torus action on the toric variety of the chamber complex of A.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    181424

    Plazma nitrürleme ile çelikler üzerine kompleks kaplamaların oluşturulması

    Forming of complex coatings on the steels by plasma nitriding

    İBRAHİM GÜNEŞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2006

    Metalurji MühendisliğiAfyon Kocatepe Üniversitesi

    Metal Eğitimi Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ŞÜKRÜ TAKTAK

  2. Tez No

    233137

    İçten yanmalı motorlarda yanma odası basıncı ölçme sisteminin tasarımı

    Designing of the combustion chamber pressure measurement system on internal combustion engines

    REHA OĞUZ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2008

    Makine MühendisliğiKocaeli Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ZAFER DÜLGER

  3. Tez No

    524152

    Epigenetik bir baskılayıcı olan RNF2 genini hedefleyen miRNA' ların belirlenmesi ve metastaz ve invazyona etkisinin araştırılması

    Identification of miRNAs that target an epigenetic supressor RNF2 gene and its effect on metastasis and invasion

    CEYDA OKUDU

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    Tıbbi BiyolojiGaziantep Üniversitesi

    Tıbbi Biyoloji Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SİBEL OĞUZKAN BALCI

  4. Tez No

    609928

    Dönel detonasyon motorlarında eşlenik ısı transferi analizi

    Conjugate heat transfer analysis of rotating detonation combustors

    ÜMİT YELKEN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2019

    Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ONUR TUNÇER

    DR. BAYINDIR HÜSEYİN SARACOĞLU

  5. Tez No

    883409

    Non-reacting flow characteristics of a novel bluff body and swirl-stabilized partially premixed combustor

    Yeni geliştirilen kısmi karışımlı bir yakıcının soğuk akış karakteristikleri

    YUNUS EMRE KARASU

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2023

    Havacılık ve Uzay Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. AYŞE GÜL GÜNGÖR

Geri Dön