Mathematical aspects of harmony in music
Müzikte armoninin matematiksel yönleri
- Tez No: 75058
- Danışmanlar: DOÇ. DR. EMANULLAH HIZAL
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1998
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 104
Özet
Gerek matematik tarihine, gerek klasik müziğin tek seslilikten başlayan gelişi mine bakıldığında, antik devirde müziğin astronomi, aritmetik ve geometri ile birlikte bir dörtlü oluşturduğu görülmektedir. Sesleri fiziksel açıdan incelemek, müziği anlamak için yeterli olamamaktadır. Bir müzik parçasının analizi, eserin müzikal yapısını incelemekle mümkündür. Müzikal yapı ise, sesin fiziksel tanımı ile değil, matematiksel tanımı ile açıklan malıdır. Hareket halindeki her cisim ses çıkarır. Günlük dilde, ses, kimi zaman gürültü, kimi zaman ise tını, ton ve benzeri yüklevler içeren bir sözcüktür. Gürültülü bir ortamda, insan kulağı, farklı ve anlamlı sesleri ayırd edebilmektedir. Bu farklı sesler arasında, nispeten daha basit olarak algılanan sese tını adı veril mektedir. Klasik müzik, düzeni ve kurallarından dolayı matematiksel incele meye en yatkın müzik türüdür. Yapısı gereği böyle bir çalışma için uygun dur ve dolayısıyla sesin ve müzikal aralıkların klasik batı müziğinde kullanılan biçimiyle ele alınıp incelenmesini de mümkün kılmaktadır. Bir saniyelik süre içinde oluşan titreşim sayısına frekans denir, insan kulağı 20 ile 20 000 Hz arasındaki titreşimlere duyarlıdır. Gürültü ise, birçok farklı güç ve frekanstaki tınının bir araya gelmesinden oluşmaktadır. Müzik dilinde belirli frekanstaki seslere ise nota adı verilmektedir. Doğada hiç bir ses (tını) saf halde duyulmaz. Ses karmaşık haldedir ve kendi frekansının tamsayı katı frekanslarını da bileşen olarak içermektedir. Doğuş- kan (harmonik veya kısmi-ton) adı verilen bu bileşenler, temel ses adı verilen kendi ilk bileşenin frekansının 2, 3, 4,... katı olan frekanslara sahiptir. Eğitilmiş bir kulak, sesi bileşenleri ile birlikte algılar ve bu bileşenleri de bir birinden ayırdedebilir. Farklı müzik aletleri, sesin bileşenlerini yani doğuşkan larını farklı güçte çıkarmaktadır. Örneğin içi farklı miktarlarda su ile doldu rulmuş şişelerden elde edilen sesler hiç kısmi ton içermezler, oysa yaylı çalgılar, çalmış tekniklerine bağlı olarak farklı sayıda doğuşkanları da duyururlar. Sesin içerdiği bu kısmi tonların gücü (volum) ses rengini oluşturmaktadır. Dolayı sıyla her çalgının kendine özgü ses rengi vardır ve bu renk çalış tarzına göre değişmektedir. Doğuşkanları, nispeten daha hafif şiddette duyulan sesler kulağayumuşak gelirken, daha yüksek şiddette duyulan sesler kulağa güzel ve anlamlı gelir. Hiç doğuşkan içermeyen ses ise kişide boş ses izlenimi yaratmaktadır. Öte yandan kısmi tonları hem çok sayıda hem de kuvvetli olan sesler, sert sesler diye nitelendirilmektedir. Müzik duygusu, farklı frekanstaki seslerin ardarda işitilmesi ile gerçekleşebil mektedir. Belirli frekansta bir ses sürüp giderken, o sesin içerdiği doğuşkanlar, müzik duygusunun oluşması için yeterli olamamaktadır. Müzikal açıdan önemli olan seslerin frekansları değil, bir frekanstan diğerine geçiş, diğer bir değişle frekansların hangi oranda değiştiğidir. Aynı orana sahip bütün ses çiftleri, frekanslarından bağımsız olarak aynı izlenimi yaratırlar. Bir ezgiye hangi fre kansla başlanırsa başlansın, aynı frekans değişimleri aynı etkiyi yaratacaktır. Müzik ise, frekanslar arasındaki oranlar ve bir frekanstan diğerine geçişler yar dımıyla oluşmaktadır. Dolayısıyla, müzik ya da müzikal kompozisyon, ses lerin kendi bileşenleri ile biraraya geldiği kurallı bir ses topluluğudur. Müzikte yapılan transpozisyon, bir parçanın farklı tondan çalınması demektir ve frekans oranlarındaki değişimin sabit tutulması ile gerçekleştirilir. Bir melodi ürettiğimizi ve bunun için oluşturduğumuz D kümesinden notalar seçtiğimizi varsayalım, öyle ki D = {C, D, E, F, G, A, B, C, D', E',...} kümesinin elemanları sırasıyla do, re, mi, fa, sol, la, si,... notalarına karşı gelsin. Burada kullanılan C, D,... harfleri ingiliz müzik sisteminde ve do, re,... isimleri ise Fransız sisteminde kullanılmaktadır. D kümesinin ilk yedi elemanını içeren bir alt kümesi D7 : D7 = {C, D, E, F, G, A, B} olsun. Bu kümenin elemanları alçak frekanstan yüksek frekansa doğru sıra landığında müzikte gam adı verilen müzikal dizi elde edilir. Her nota farklı bir adla adlandırıldığından diatonik gam diye de nitelendirilmektedir. Major (büyük) ve minor (küçük) diye iki farklı gam kalıbı vardır. Aynı anda veya ardarda çalman bir ses çifti arasındaki uzaklığa bir müzik aralığı, kısaca aralık denir. Kavramsal olarak bir aralığın boyu ilk nota ile ikinci nota arasındaki konum farkı ile nitelendirilir. Kısaca, D7 dizisi için ilk nota ile birlikte ikinci notaya kadar olan notaların sayılması sonucunda elde edilen rakam, aralığın boyunu verecektir. Örnek olarak, D ile verilen dizide, CE veya EG üçlü aralığı, CG veya EB beşli aralığı ve C ile C' ise sekizli aralığı, yani oktavı oluşturur.Pisagor (MÖ. 586), değişen tel boyu ile sesler arasındaki ilişkiyi gözlemleyerek tek bir tel ile yeni sesler bulup müzikal bir dizi oluşturmuştur. Belirli bir sesi veren 12 birimlik bir telin boyunu ikiye bölmekle en uyumlu müzikal aralık olan oktavı bulmuştur. 6 birimlik telin ürettiği yeni ses, ilk sesin oktavıdır. Telin üçte ikisi ile (8 birim) beşli aralığı oluşturan sesi ve telin dörtte üçü (9 birim) ile dörtlü aralığı oluşturan sesi elde etmiştir. Buradaki 8 sayısı, 6 ile 12 nin harmonik ortalaması, 9 sayısı ise 6 ile 12 nin aritmetik ortalamasıdır. Pisagor, tel boyunu değiştirmek suretiyle yeni sesler elde edip, böylelikle müzikal bir dizi yaratmış ve müziğin armonisini, tel uzunluklarının ½, 2/3 ve 3/4oranları ile ifade ederek en önemli buluşunu gerçekleştirmiştir. Euclid (MÖ. 300), sesleri uyumlu ve uyumsuz diye ikiye ayırmış ve birbirleriyle kaynaşabilen sesleri uyumlu, diğerlerini uyumsuz diye tanımlamıştır. Leibniz (1646 - 1716), frekans kavramını ortaya atarak ve F frekanslı sesi üreten telin boyunun 1/F olduğunu göstermiştir. Herhangi bir sesin frekansı Fo ise bu sesin oktavının frekansı 2. Fo, beşlisinin frekansı 3/2. Fo dörtlüsünün frekansı ise 4/3. Fo olur. Differansiyel hesabın kurucusu olan Leibniz 'e göre dinleyici bu oranları algılamaktadır ve müzik ise ruhun hesap yapmasıdır. Euler (1707 - 1783),“Tentamen novae theoriae musicae”, isimli kitabında; sadece uyumlu seslere ait matematik kurallarını değil, kompozisyon öğretisinin bakış açısını da incelemiştir. Kendisinden öncekilerden; Mersenne, Descartes ve Leibniz'den etkilenerek sayılar teorisi kapsamında ele aldığı konsonanslık derecesi üzerinde çalışmıştır. Seslerin uyumluluğu hakkında bir kriter olan ve“gradus suavitatis”ya da“kabul edilebilirlik derecesi”diye bilinen T fonksi yonunu tanımlamıştır: Z pozitif tamsayılar kümesine ait bir a sayısı ele alalım. Pi asal sayı olmak üzere p1 < p2 0, e; e Z, i=l,2,...,n ve a = ple1. p2e2. pen“ için T(a) = 1 + £ | e* | (pfc - 1) fc=l şeklinde tanımlanır, a/b pozitif rasyonel sayısı için T(a/b) = T(a. b) eşitliği gerçeklenir. Bu fonksiyon; aralıklara olduğu gibi akorlara uygulandığında da, uyumlu sesler için bir kriter verir. D'Alembert ve Rameau: D'Alembert ve Rameau uyumlu aralık ve akor Iarın, belli bir temel (bas) nota hakkında bilgiler taşıdığını bulmuşlardır. Bir sesin frekansının 1, 2, 3, 4,... katı frekansa sahip olan seslerin, harmonikleri (doğuşkan) oluşturduğu ve temel ses ile bu temel sesin frekansının 1, 2, 4, 8,... katı frekansa sahip oktavların önemini ortaya koymuşlardır. Böylelikleakorlar, parçanın tonalitesini belirledikleri için, tonal anlamlar kazanmışlar dır. Çok sesli müzikteki günümüz armoni kurallarının oluşmasına neden olan bu bulgular, Rameau' nun; ”armoni (ahenk, uyum) ile müzik birbirinden ayrı düşünülemez, melodi armoninin sonucudur" görüşünden kaynaklanır. Ona göre müzik, seslerin bilimidir. D' Alembert ve Rameau' nun önemli buluşlarından biri de müzikteki aralıkların toplamını, seslerin frekanslarının çarpımı ile ifade etmeleridir. Temel ses adını verdiğimiz, dizinin ilk sesini veren tel ilk ses için 8 salınım yaparken, dizinin ikilisi, yani ikinci sesi için 9 salınım yapar. Benzer şekilde ilk ses için 4 salınım yaparken üçlü için 5 salınım, ilk ses için 3 salınım yaparken dörtlü için 4 salınım, ilk ses için 2 salınım yaparken beşli için 3 salınım, ilk ses için 3 salınım yaparken altılı için 5 salınım, ilk ses için 8 salınım yaparken yedili için 15 salınım, ilk ses için 1 salınım yaparken sekizli için 2 salınım yapar. Öte yandan, fo ve fı frekanslı iki ses arasındaki müzik aralığı, bu iki frekansın oranları ile de belirlenir ve aralığın frekans cinsinden gösterimi f1 : fo oranı ile verilir. Temel sesin frekansı fo = 1 seçilirse, ikili aralığın, kısaca ikilinin frekansı 9/8, üçlünün frekansı 5/4, dörtlünün frekansı 4/3, beşlinin frekansı 3/2 olur. Böylece D7 dizisinin elemanları, frekans katsayıları, 1 ile 2 arasında kesirli sayılardan oluşacak biçimde sıralanmış olur. Bu dizinin frekanslar cinsinden gösterimi ise f7= (1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2)' ' şeklindedir. Sesler arasındaki frekans farkları ise şöyle gösterilebilir: fo fi /2 /3 fi fs f& fj 5 4 3 5 15 3 2 3 8 16 9 10 9 15 8 9 8 15 19543 2. 12. O 8432 3 8 9 10 16 9 10 9 16 Burada alt satırda yer alan her kesir, ardışık iki frekansın farkını oran olarak göstermektedir. Örneğin, f3:f2=- 16/15 tir. Aralıklar frekans oranları nedeniyle, kendi aralarında büyük, küçük veya artmış şeklinde sınıflandırılır. Minor gam ise en basit anlamda, yukarıdaki dizinin 6. notadan başlaması ile elde edilen bir dizi olup, ötelenmiş D7 dizisi olarak nitelendirilebilinir. Aynı anda çalman ve en az üç notadan oluşan ses grubuna akor denir. Örnek olarak C E G major akorunu ele alalım. Bu akor, C:E:G = 1:5/4 :3/2 oranına sahiptir. Doğada her ses bileşenlere sahiptir ve bu bileşenlerin frekansları harmoniktir. Bir ilk sesin frekansının 1, 2, 3,... katı frekanslara sahip olan bu doğuşkanlara n E N için n'inci doğuşkan denir. Yukarıdaki C E G major akoru frekansı f0= 1 olan C ilk sesinin 4'üncü, 5'inci ve 6'mcı doğuşkanları ile kurulmuştur. Ma jor akorunun 1: 5/4:3/2 = 4:5:6 frekans oranı, seslerin frekanslarının doğuşkanlarla olan ilişkisini de göstermektedir. Tarih boyunca müzik, doğayı gözlemlemek için daima uygun bir ortam sunmuş tur. Bir müzik eseri, tını ile tınının kendi bileşenleri arasındaki etkileşimden doğar. Armoni ise bu bileşenlerin biraraya gelmesinin sonucudur. Bir müzisyen, yarattığı veya yorumladığı müzik eserini akustik ortam içinde kurgular. Buna karşın bir matematikçi ise aynı müzik eserinin kurgusunu matematik modellere dayandırır. Bu çalışma, bir ilk ses tarafından üretilen yeni seslerin müziğe katkısını ince lemek ve müzikteki armoni kurallarına matematiksel yöntemlerle açıklık ka zandırmak amacını taşımaktadır. Yapılan çalışmada, tarih boyunca, matema tikçilerin ve müzisyenlerin sesleri nasıl kurgulayıp, ele aldıkları araştırılmış ve doğuşkanların çok sesliliğe etkisi açıklanmıştır. Doğal sayılar üzerinde modüler aritmetik kullanılarak, her notaya bir doğal sayı karşı getirilmiş ve Fibonacci dizisi ile melodi elde edilmeye çalışılmıştır. Bir müzik parçasının bitiş kuralları altında, fark denklemleri yardımıyla üretilen melodiler incelenmiştir. Birinci bölümde, sayılar teorisi kapsamında bazı tanım ve teoremler verilmiş ve müzikte kullanılan terimler tanımlanmıştır. Pisagor'un yaylı çalgılar üzerinde yaptığı denemelere dayanarak, değişen tel boyu ve ses ile müzikal aralıklar arasındaki ilişkinin nasıl kurgulandığı anlatılmıştır. Pisagor aralıkları, Pisagor bölünüşü ve Pisagor dizisi tanımlanmıştır. ikinci bölümde, bu tezin hazırlanma aşamasında incelenen makale ve kitaplar dan söz edilmiştir. Entropinin, fraktal geometrinin, matematiksel simetrinin ve kategori teorisinin müzik ve akustik ile olan ilişkisi özetlenmiştir. Üçüncü bölümde, üst- ve alt-doğuşkanlar ile bu doğuşkanlar yardımıyla oluş turulan doğuşkanlar zinciri tanımlanmıştır. Bir müzik eserinin armonik bitişi olan kadans ile kadansın doğuşkanlar ile ilişkisi açıklanmıştır. Öte yandan doğuşkanlar zincirinde gözlemlenen ve farklı müzikal kurgular sonucu ortaya çıkan akorların, birbirinden farklı frekans oranlarına açıklık kazandırmak ama cıyla CHI- kare yöntemine benzer bir yöntem oluşturulmuştur. Klasik armonide yer aldığı biçimiyle, kadanstaki notaların birbirlerine bağlantıları matrisler yar dımıyla gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, Rameau ve D'Alembert tarafından ortaya atılan, her sesin kendi oktavı ile özdeş kabul edilebilirliği ile Euler kriteri birleştirilmiş, böylelikle modifiye edilmiş bir V fonksiyonu tanımlanmıştır. Minor akor için 10:12:15 frekans oranı yerine 6:7:9 frekans oranının da kullanılabilineceği önerilmiş ve temel sesleri karşılaştırılmıştır. Beşinci bölümde ise Z12, Z5, Z7 ve Z17 sonlu halka ve cisimlerinin her ele-manına bir nota karşı getirilerek müzikal diziler oluşturulmuştur. Bu diziler kullanılarak modüler aritmetik ve fark denklemleri ile melodiler üretilmiştir. Lineer ve nonlineer fark denklemlerine ait başlangıç koşullan, çeşitli müziksel motiflerle özdeşleştirilmiştir. Sonlu matematiksel yapılar kullanılarak üretilen melodiler periyodiktir. Bu periyodlardan yararlanılarak oluşturulan melodi dizisi, aynı başlangıç değerine ulaştığında ilk değerler yeni matematiksel kural lar yardımıyla değiştirilip, periyodlar uzatılabilinmektedir. Bu bölümde ayrıca sonlu cisimlerde, fark denklemlerinin katsayıları, müzikteki kadans, bitiş, kural ları ile belirlenerek yeni melodiler üretilmiştir. Bu melodilerin müzikal yapıları ve özellikleri incelenmiştir. xııı
Özet (Çeviri)
This thesis investigates the mathematical structure of music. Its emphasis is the role played by harmonics and subharmonics in relation to various musical scales. The first chapter contains some number theoretical concepts and definitions which are used in later chapters. An explanation of music terminology includ ing concepts such as musical scale, musical interval, musical chord are given. The Phythagorean scale, the just diatonic major and minor scales and the even-tempered scale are introduced. Their relationship with each other is dis cussed. This chapter concludes with a section stating the objective and scope of this thesis. The second chapter is a review of papers investigated during the preparation of this thesis. It gives the perspective of current the practice of mathematics as applied to music and acoustics. The third chapter introduces the chain of harmonics and subharmonics and the equivalence relation among frequencies which differ by octaves. A criterion for approximation of frequencies by the even tempered scale is given. Musical cadence is explained in terms of matrices. The harmonic scale is constructed. Chapter Four is about the Euler consonance function and contains two modi fications of this function. The first modification is motiviated by the musical importance of harmonics as compared to the subharmonics. The second mo dification is inspired by the definition of a distance function in mathematics. The fifth chapter investigates melodies produced by difference equations. Cer tain mathematical properties of the equations are interpreted from a musical point of view.
Benzer Tezler
- Şehir morfolojisi ve kültür: Urfa ve Trabzon'da karşılaştırmalı olarak şehir dokusu ve yöresel müziğin ilişkilerinin araştırılması
Urban morphology and culture: Comparative research between urban pattern and vernacular music in case of Urfa and Trabzon
SEZEN CİN ÖZDEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Şehircilik ve Bölge Planlamaİstanbul Teknik ÜniversitesiKentsel Tasarım Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYŞE SEMA KUBAT
- Mimarlıkta armoni kavramı ve modern mimaride değerlendirilmesi
Notion of harmony in architecture and its evaluation in modern architecture
ÖZLEM ERDEMCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
MimarlıkMimar Sinan Güzel Sanatlar ÜniversitesiMimarlık Ana Bilim Dalı
PROF.DR. NESRİN DENGİZ
