A study on the condition number of the Vandermonde matrix with the Mock-Chebyshev nodes
Mock-Chebyshev noktalarında Vandermonde matrisinin nümerik durumu üzerine bir çalışma
- Tez No: 824123
- Danışmanlar: DOÇ. DR. BAYRAM ALİ İBRAHİMOĞLU
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Vandermonde matrisleri sayısal matematik alanında polinomların yakınsanmasını gerektiren problemlerde sıkça görülmektedir. Birbirinden farklı olan interpolasyon noktaları için verilen veriler kullanılmak suretiyle, polinom interpolasyon problemini monomial bazlar ile ifade etmek mümkündür. Elde edilen bu ifade, Vandermonde matrisi ile birlikte bir lineer denklem sistemi oluşturur. Reel sayıların kullanıldığı interpolasyon noktaları için bu noktaların sayısının çok küçük olmadığı durumlarda Vandermonde matrisi ile çalışılması konusunda bazı zorluklarla karşılaşılmaktadır. Genel olarak, bu zorluklardan biri Vandermonde matrisinin kötü durumlu olmasıdır. İnterpolasyon noktalarının dağılımı bu kötü durumluluğun derecesini çok farklı şekilde etkileyebilir. Bu bağlamda, noktalarının dağılımı eşit aralıklı olmaktan epey uzak olan Chebyshev nodlarının kullanılması önerilmektedir. Bu durumda ise, deneyde kullanılan verilerin sadece eşit aralıklı noktalarda yer aldığında ne yapılması gerektiği problemi meydana gelir. Böylece, polinom interpolasyonunda sıklıkla ortaya çıkan şu sorun meydana gelir: söz konusu fonksiyon interpolasyon aralığının her yerinde analitik olsa da eşit aralıklı noktaların kullanılmasıyla elde edilen interpolasyon polinomları yakınsamıyor olabilir. Bu sorun Runge olgusu olarak adlandırılır ve kötü durumlu olarak bilinir. İnterpolasyon işlemleri Chebysehv-Lobatto nodlarında en iyiye yakın sonucu verdiği bilindiğinden, bundan faydalanmak için Runge olgusunu ortadan kaldırmanın en iyi yollarından biri, eşit aralıklı noktaların genişçe bir kümesinden seçilen mock-Chebyshev noktalarını kullanmaktır. Bu çalışmada, Vandermonde matrisinin koşul sayısını sayısal olarak inceleyerek koşul sayısının, Chebyshev-Lobatto noktalarının kullanılması durumuna benzer şekilde, mock-Chebysev nodlarının kullanılması ile azaltılabileceği bulunmuştur. Bununla birlikte, incelemelerimizi Vandermonde benzeri matrisler üzerine genişleterek ve Chebyshev bazlarını kullanarak; sayısal olarak koşul sayısının önemli ölçüde azaltılabileceğini ortaya koymaktayız.
Özet (Çeviri)
Vandermonde matrices arise frequently in computational mathematics in problems that require polynomial approximation. The polynomial interpolation problem through data given at a set of distinct interpolation points can be expressed in the monomial basis. This gives rise to a linear system of equations with a Vandermonde matrix. This Vandermonde matrix, however, brings the difficulty that this matrix including real nodes is usually ill-conditioned. This is also a difficulty even for not very high orders. The distribution of the points may cause variations in this ill-conditioning in a reasonable way. In order to treat this ill-conditioning, the generally suggested method is to deploy the highly non-uniform Chebyshev nodes, but there is still a problem on what to do when the experimental data at hand are available only at equispaced points. In this situation, polynomial interpolation with equidistant nodes becomes unreliable owing to the well-known drawback called the Runge phenomenon and the polynomial interpolation is numerically ill-conditioned. Interpolation processes on Chebyshev-Lobatto nodes offer near-optimal solutions and defeating the Runge phenomenon by using the mock-Chebyshev subset interpolation proves to be one of the best strategies. In this study, we investigate the condition number of the Vandermonde matrix numerically and find out that the condition number can be reduced by using mock-Chebyshev nodes, as in the case of using Chebyshev-Lobatto nodes. Moreover, we extend our investigation to a Vandermonde-like matrix by using a basis of Chebyshev polynomials and show numerically that, in this case, the condition number of this matrix can be reduced significantly.
Benzer Tezler
- Hafif sıklet kriptografi için involutif mds matris uygulamaları
Involutory mds matrix applications for lightweight cryptography
TUĞÇE TUFANÇLI
- Ovulasyon indüksiyonu tedavisinde folliküler gelişimin ultrasonografik takibi
Başlık çevirisi yok
MERİH BAYRAM
- Bazı esterlerin kinetik incelenmesi ve termodinamik parametrelerin belirlenmesi
Kinetic study and detesmination of thermodnamic parameters of some esters
İBRAHİM TAŞ
- İzmir'de bazı yolların kapatılarak yaya bölgeleri oluşturma da kent peyzajını geliştirme açısından yeniden planlanması üzerinde araştırmalar
Başlık çevirisi yok
BAHAR TÜRKYILMAZ
