Optimal control theory of fourth order differential inclusions
Dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmelerin optimal kontrol teorisi
- Tez No: 868600
- Danışmanlar: PROF. DR. ELMKHAN MAHMUDOV
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 81
Özet
Optimal kontrol teorisi, istenilen bir sonucu elde etmek için bir sistemin kontrolünün en etkili yöntemini bulmaya odaklanan matematik ve mühendislik alanıdır. Bu süreç, sistemin matematiksel olarak modellendirilmesini, belirli bir objektif fonksiyonu optimize eden bir kontrol stratejisi tasarlamayı ve kontrol yöntemi uygulanmasını içerir. Optimal kontrol teorisi mühendislik, ekonomi, biyoloji ve finans gibi çeşitli disiplinlerde uygulanır. Optimizasyon zorlukları birçok araştırma ve mühendislik alanında yaygındır. İstenilen sonuçları elde etmek için kaynak kullanımını en üst düzeye çıkararak ve çabayı en aza indirerek sürekli olarak optimum çözümler için çalışıyoruz. Klasik mekanik alanında karşılaşabileceğimiz problemlerin bir örneği, gidilecek süreyi en aza indiren yolu bulmaktır. Bununla birlikte, geleneksel diferansiyel denklemler bazen gerçek dünya sistemlerinin karmaşıklığını doğru bir şekilde temsil etmede zorluklarla karşılaşmaktadır. Dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmeler, yüksek dereceli dinamikleri içeren optimizasyon sorunlarını çözmek için güçlü bir araç olarak tanıtılmıştır. Optimizasyon için dördüncü mertebeden dahil etmeler (DFIs) kullanımının ardındaki temel kavram, belirli bir fonksiyonel maliyeti en aza indiren durum yörüngesini (bir fonksiyonla ifade edilen) tanımlamaktır. Optimallik kriterlerini ortaya çıkarmak için yerel eşlenik fonksiyonlar kavramını kullanıyoruz. Bu fonksiyonlar, sistemin durumundaki değişiklikler ile maliyet fonksiyonelindeki dalgalanmalar arasında bir bağlantı kurar. Biz bu bağlantıları inceleyerek bir yörüngenin optimum olması için gerekli ve yeterli koşulları belirliyoruz. Optimizasyonda dördüncü mertebeden dahil etmeler kullanımı mekanikle sınırlı değildir. Mühendislerin dinamik süreçler için kontrol sistemleri geliştirdiği optimal kontrol teorisi gibi alanlarda kullanılırlar. Bu bağlamda“dahil etme”terimi, bir sistemin farklı kontrol girdilerine tabi tutulduğunda nasıl davrandığının açıklamasını ifade eder. Dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmeler, daha yüksek dereceli dinamikleri içeren optimizasyon konularını ele almak için bize iyi bir çerçeve sunar. Belirsizlikleri yönetme ve karmaşık sistemleri simüle etme kapasiteleri nedeniyle hem mühendisler hem de matematikçiler için kullanışlı bir araçtır. Bu tezde, Lagrange denklemininin (PFD), özel sınır koşullarına sahip dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmeler kullanarak nasıl optimize edileceği incelenmiştir. Yerel eşlenik fonksiyonları kullanarak dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmeler için yeterlilik şartlarını tanımlamak amaçlanmıştır. Ayrıca, yeterlilik koşullarını yaratmak için Euler-Lagrange tipi diferansiyel dahil etmeler kullanılmıştır. Hedeflerimizi ilerletmek için, küme değerli fonksiyonların argmaximum kümelerini ve Hamiltonian fonksiyonunu kullanılmıştır. Yerel eşlenik fonksiyonlarını Hamiltonian fonksiyonunun subdiferansiyeli alınarak elde edilmiştir. Daha sonra, Euler-Possion ve lineer optimal kontrol gibi denklemlere uygulanmıştır. Aşağıdaki problem, Lagrangian fonksiyonuyla özel sınır koşulları sahip sınır değer problemidir. Bu problem (PFD) olarak etiketlenmiştir. \begin{equation*} \begin{gathered} \operatorname{minimize} J[s(\cdot)]=\int_{0}^{T} h(s(t), s^{\prime}(t), s^{\prime\prime}(t), s^{\prime\prime\prime}(t), t) \mathrm{d} t \end{gathered} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} (\mathrm{PFD}) \qquad \frac{d^{4} s(t)}{\mathrm{d} t^{4}} \in G(s(t), s^{\prime}(t), s^{\prime\prime}(t), s^{\prime\prime\prime}(t),t), \text { a.e. } t \in[0, T], \\ \end{gathered} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} s^{(k)}(0)-s^{(k)}(T)=\psi_{k}, (k=0,1,2,3) \end{gathered} \end{equation*} Burada $h(\cdot, t): \mathbb{R}^{4n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ fonksiyonu has(proper) konveks fonksiyon ve $G(\cdot, t): \mathbb{R}^{4n} \rightrightarrows \mathbb{R}^{n}$ fonksiyonu ise küme değerli bir konveks fonksiyondur. Ayrıca, $\psi_{k} \in \mathbb{R}^{n}(k=0,1,2,3)$ sabit vektörler ve $T$ ise herhangi bir pozitif sayıdır. $G$ ve $h$ fonksiyonları konveks olduğu için verilen problem(PFD) konveks bir problemdir. Birinci bölümde, tezde ele alınan problem ile neyi hedeflediğimiz ve problemi nerelere uygulayacağımız ile alakalı gerekli bilgiler verilmiştir. Ayrıca, tezin amacı açıklanmıştır. Daha sonra diferansiyel dahil etmeler ilgili literatür taraması verilmiştir. Son olarak tezin hipotezi sunulmuştur. İkinci bölümde, optimizasyon teorisinde önemli bir rol oynayan konveks kümeler ve fonksiyonlar ile koniler hakkında gerekli temel bilgiler verilmiştir. Konveks kümeler ve fonksiyonlar ile koniler optimizasyon teorisinde temel unsurlardır. Optimizasyon problemlerini tanımlamak ve çözmek için sistematik bir çerçeve sağlarlar. Özellikle, has(proper) konveks fonksiyonlar çok önemlidir. Biz de problemimizdeki fonksiyonu has seçerek küresel minima ve kapalı epigraf gibi belirli nitelikleri garanti altına alınmıştır. Koniler ve eş(dual) koniler optimallik koşullarını anlamak için geometrik anlayış ve teorik temelleri sunar. Problemimizin optimal çözümünü ispatlamak için yararlandığımız yerel eşlenik fonksiyonlar eş koniler yardımıyla tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde, subdifferansiyel tanıtılmış ve ve onunla ilgili tanımlar ve teoremleri verilmiştir. Konveks analiz ve optimizasyon teorisinde önemli bir konu olan subdiferansiyel fikri, matematiksel çalışma alanında büyük ilgi gördü. Subdiferansiyel, türev kavramını türevlenemeyen fonksiyonlara genişleten, konveks optimizasyon problemlerinin analizinde çok önemli bir rol oynar. Türevlenebilirlik söz konusu olmadığında bile optimallik için hem gerekli hem de yeterli kriterlerin türetilmesinde subdiferansiyel kavramından yararlanılmıştır. Özellikle bizim çalışmamızda kritik role sahip yerel eşlenik fonksiyonları elde etmek içim Hamiltonian fonksiyonunun subdiferansiyelini alarak Pontryagin'in maksimum esası ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde, küme değerli fonksiyonları ve onların özellikleri incelenmiştir. Küme değerli fonksiyonlar, karmaşık optimizasyon sorunlarını modellemek, analiz etmek ve çözmek için çok yönlü bir perspektif sunar. Argmaksimum kümesini küme değerli fonksiyonlar üzerinden tanımlanmıştır. Daha sonra, eş koniler yardımıyla, problemimizin optimalliğini göstermek için kilit rol oynayan, yerel eşlenik fonksiyonlarını ve onların özellikleri ele alınmıştır. Beşinci bölümde, özel sınır değer kısıtlarına sahip dördüncü mertebeden diferansiyel dahil etmeleri içeren problemin(PFD) yeterlilik koşullarını türetmek için Mahmudov tipi dahil etmeler ve yerel eşlenik fonksiyonlardan yararlanılmış ve daha sonra problemimizin optimalliği ispatlanmıştır. Altıncı bölümde, sınır değer problemimizi dahil etmeler olmadan ele aldığımızda yerel eşlenik fonksiyonunun {0} vektörü olduğu gösterilmiştir. Bu bulgumuzu problemimize(PFD) uyguladığımızda Euler-Possion denklemi: \begin{equation*} \frac{\partial \tilde{h}}{\partial s}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \tilde{h}}{\partial s^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{\partial \tilde{h}}{\partial s^{\prime \prime}}\right)-\ \frac{d^{3}}{d t^{3}}\left(\frac{\partial \tilde{h}}{\partial s^{\prime\prime\prime}}\right)=0 . \end{equation*} elde edilmiştir. Ardından, lineer optimal control problemine ek bir şart koyarak kontrol parametresini tanımlanmıştır. Son olarak bir yarı-lineer küme değerli ve yerel eşlenik fonksiyonlar yardımıyla Weierstrass-Pontryagin maksimum esası: $$\langle N \tilde{w}, s^{*}(t)\rangle =\max _{w}\left\{\left\langle N w, s^{*}(t)\right\rangle: w \in D\right\}, \enspace $$ ispatlanmıştır.
Özet (Çeviri)
Optimal control theory is a field of study in mathematics and engineering that focuses on finding the most effective method of controlling a system in order to accomplish a desired result. The process involves mathematically modeling the system, devising a control strategy that optimizes a specific objective function, and implementing the control method. Optimal control theory is applied in various disciplines such as engineering, economics, biology. Optimization challenges are prevalent in several fields of research and engineering. We consistently strive for optimal solutions, maximizing resource utilization and minimizing effort to get desired results. In the field of classical mechanics, one example of a problem we may encounter is finding the path that minimizes the amount of time it takes to go. Nevertheless, traditional differential equations sometimes encounter difficulties in accurately representing the intricacy of real-world systems. Fourth-order differential inclusions are introduced as a strong tool to address optimization issues that include higher-order dynamics. The fundamental concept behind the use of fourth-order (DFIs) for optimization is to identify the state trajectory (expressed by a function) that minimizes a certain cost functional. We use the notion of locally adjoint mappings (LAMs) to deduce optimality criteria. These mappings establish a connection between changes in the system's condition and fluctuations in the cost functional. Mathematicians may determine the necessary and sufficient conditions for a trajectory to be optimum by examining these links. The use of fourth-order (DFIs) in optimization is not limited to mechanics. They are used in fields such as optimal control theory, where engineers develop control systems for dynamic processes. In this context, the term“inclusion”refers to the description of how a system behaves when subjected to different control inputs. The objective of the optimization issue is to find the control strategy that minimizes a certain cost, such as fuel consumption. Fourth-order differential inclusions provide a good framework for addressing optimization problems that include dynamics of higher order. Due to their capacity to manage uncertainties and simulate complex systems, they are a handy instrument for both engineers and mathematicians. As research progresses, we anticipate that this technique will have even wider applicability in improving other real-world systems. In this thesis, we deal with the Lagrange problem of fourth-order differential inclusions with special boundary conditions. We label it as (PFD) and denote: \begin{equation*} \begin{gathered} \operatorname{minimize} J[s(\cdot)]=\int_{0}^{T} h(s(t), s^{\prime}(t), s^{\prime\prime}(t), s^{\prime\prime\prime}(t), t) \mathrm{d} t \end{gathered} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} (\mathrm{PFD}) \qquad \frac{d^{4} s(t)}{\mathrm{d} t^{4}} \in G(s(t), s^{\prime}(t), s^{\prime\prime}(t), s^{\prime\prime\prime}(t),t), \text { a.e. } t \in[0, T], \\ \end{gathered} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} s^{(k)}(0)-s^{(k)}(T)=\psi_{k}, (k=0,1,2,3) \end{gathered} \end{equation*} where $h(\cdot, t): \mathbb{R}^{4n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ is a proper convex function and $G(\cdot, t): \mathbb{R}^{4n} \rightrightarrows \mathbb{R}^{n}$ is a convex set-valued function. Further,$\psi_{k} \in \mathbb{R}^{n}(k=0,1,2,3)$ are constant vectors and $T$ is any positive number. This problem is one of the most difficult and interesting optimization problem with fourth-order differential inclusions and special boundary value constraints. Indeed, the obstacle in the problem with fourth-order (DFIs) is rather to establish the optimality conditions which are in general Euler-Lagrange type higher-order adjoint inclusions and the transversality conditions. In contrast to Euler-Langrange type adjoint inclusions which are used to derive sufficient conditions for first order DFIs, we use Mahmudov's adjoint inclusions to obtain sufficient conditions for $4$-th order DFIs. Obviously, if $k = 1$ Mahmudov's and Euler-Lagrange adjoint inclusions coincide. Although our problem problem is convex, without loss of generality we can extend our results to the non-convex case. We study how to optimize the Lagrange equation using differential inclusions of the fourth order with some special boundary constraints. We aim to identify sufficient conditions for fourth order DFIs using locally adjoint mappings and Mahmudov's inclusion. To further accomplish our objectives, we use of the argmaximum sets of set-valued functions and Hamiltonian function. In fact, we take the subdifferential of Hamiltonian function to obtain LAMs. Then, we have proven the optimality of the problem (PFD). Later, we derive the Euler-Poisson equation by using the problem (PFD) in the absence of differential inclusion. Subsequently, we applied the fourth-order“linear”optimal control problem to (PFD) in order to identify a controlling parameter $\Tilde{w}(t)$. Lastly, the Weierstrass-Pontryagin maximum principle and the transversality conditions have been proven for the fourth order optimal control problem via a semilinear map and a locally adjoint mapping.
Benzer Tezler
- Kontrol sistemlerinin durum uzayında incelenmesi
Analysis of control system in state space
SELÇUK ATİŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiMarmara ÜniversitesiElektrik Eğitimi Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. İSMAİL DEMİR
- A4 uçağı için geliştirilmiş otopilot tasarımı
Autopilot design for A4 aircraft
İBRAHİM CAN KARAGÖZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ELBRUS CAFEROV
- Sınırlandırılmış yol-hız-zaman uzayında lineer bir katar seyir modeli için optimal enerjili hız yörüngelerinin belirlenmesi
Başlık çevirisi yok
HALUK GERÇEK
- Tedarik zinciri sistemlerinin çoklu ölü zamanlı modellenmesi ve kararlılık analizi
Modeling supply chain systems with multiple time delays and stability analysis
GÖRKEM ARASIL
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ
- Networked computing-based system identification and control of electromechanical systems with industrial IoT
Endüstriyel IoT ile elektromekanik sistemlerin ağ hesaplama tabanlı sistem tanıma ve kontrolü
RAMAZAN KAYA
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ