Geri Dön

Control of Hopf and Bautin bifurcation in a modified Goodwin model of growth cycle

Değiştirilmiş Goodwin büyüme döngüsü modelinde Hopf ve Bautin çatallanmasının kontrolü

PDF İndir

  1. Tez No: 878663
  2. Yazar: MELİKE NUR ERDOĞAN
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. AYŞE PEKER
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2024
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 74

Özet

Goodwin büyüme döngüsü modeli ilk olarak Richard M. Goodwin tarafından 1967'de öne sürülmüş, yıllar boyunca bilhassa matematikçiler ve ekonomistler tarafından ilgi görmüş ve çeşitli analizlere konu olmuştur. Lotka-Volterra'nın klasik av-avcı modeli esas alınarak tasarlanmıştır. Lotka-Volterra modelinde, av ve avcı popülasyonları arası etkileşimin zamana göre değişimi değerlendirilirken, Goodwin modelinde, istihdam oranı ve ücret payı gibi ekonomik dinamikler araştırılmaktadır. Orijinal Goodwin modeli, emeğin milli gelirdeki payını ve işgücü istihdam oranını temsil eden iki diferansiyel denklemden oluşur. Sistemin çözümleri saat yönünde kapalı döngüler sergiler. Bu döngüler ortak bir noktada merkezlenir. Merkezin değerleri 1'den küçük olabileceği gibi 1'den büyük de olabilir ve bu, döngünün yörüngelerinin kısmi olarak veya tamamıyla birim alanın ötesine uzanabileceği anlamına gelmektedir. Yörüngelerin merkez noktası, alanın içinde yer alsa bile sistemin davranışını belirleyen yörüngelerin bir kısmı birim karenin sınırlarını aşabilir. Dolayısıyla, merkezin 1'i aşan değerleri, hem emek payı hem de istihdam oranı açısından elverişli olmayan sonuçlar doğurabilmektedir. Bu sorunu gidermek üzere literatürde çeşitli çalışmalar mevcuttur. Çalışmamızı Desai tarafından değiştirilmiş Goodwin modeli üzerinden yürüteceğiz. Desai'nin modeli bu gereksinimi sağlar ve tüm yörüngeler birim karenin içinde yer alır. Desai'nin Goodwin modeli, orijinde olmayan tek bir denge noktasına sahiptir. İlk olarak, sistemin denge noktası orijine taşınır ve Jacobian matrisinin orijindeki değeri hesaplanır. Bu matris bir çift tamamen imajiner özdeğere sahiptir. Bir çift karmaşık eşlenik özdeğer ile denge, parametrenin kritik değerinde kararlılığını kaybedebilir ve Hopf çatallanması adı verilen küçük genlikli bir limit döngüsüne geçiş yapabilir. Bu limit döngüsü, çatallanma parametresinin, kritik değerinden büyük veya küçük olduğu değerlerde görülebilir. Limit döngüsünün ortaya çıktığı bölge, parametrenin kritik değerindeki birinci Lyapunov katsayısının işareti ile saptanmaktadır. Birinci Lyapunov katsayısı sıfırlanır ve ardından ikinci Lyapunov katsayısı hesaplanırsa, sistemde başka bir çatallanma türü meydana gelir. Bu, bir arada var olan, biri diğerinin içinde yer alan, çarpışan ve sonunda bir eyer-düğüm çatallanması ile ortadan kaybolan kararlı ve kararsız limit döngülerini barındıran Bautin çatallanmasıdır. Bautin çatallanması, hem dengenin stabilitesinde hem de ortaya çıkan limit döngülerinin yönünde etkilidir. Bu tür sistemlerin davranışını belirleyebilmek çok önemlidir. Çünkü bu sistemler büyüleyici çatallanma diyagramları sergiler. Son yıllarda çatallanma özelliklerinin manipülesi üzerine bir dizi kontrol yasası geliştirilmiştir. Bu çalışmada, kontrol edilebilir Hopf ve Bautin çatallanmaları gözlemleyebilmek için 2010'da Braga tarafından önerilen kontrol yasasını takip edeceğiz. Bu kontrol yasası, iki çatallanma parametresi ve dört kontrol parametresine bağlı olacak şekilde tasarlanmıştır. Kontrol yasası uygulanmış yeni sistemin orijindeki Jacobian matrisi, bir çift karmaşık eşlenik özdeğere sahiptir. Fakat özdeğerlerin reel kısmı sıfırdan farklıdır. Beklenen stabilite geçişi, özdeğerlerin reel kısmının çatallanma parametresine göre türevinin sıfırdan farklı olmasını gerektirir. Bu koşul ile Hopf çatallanmasına uğrayan bir sistemin tamamen imajiner özdeğere sahip olduğu gerçeği göz önüne alınarak, Lyapunov katsayıları hesaplanırken Hopf çatallanma parametresi sıfıra sabitlenir. Bu noktada, birinci ve ikinci Lyapunov katsayılarını hesaplarken Kuznetsov'un çatallanma teorisine dair kitabındaki adımları takip ettiğimizi belirtmek isteriz. Hopf çatallanması bir parametreye bağlıdır ve bu parametrenin sıfır olduğu noktada birinci Lyapunov katsayısı hesaplanır. Birinci Lyapunov katsayısını sıfırlayan değer, ikinci kontrol parametresinin kritik değeridir. Bautin çatallanması ise iki parametreye bağlı olarak gerçekleşir. Bautin çatallanma parametrelerinin sıfıra eşit olduğu yerde ikinci Lyapunov katsayısı hesaplanır. Benzer şekilde, üçüncü kontrol parametresinin kritik değeri, ikinci Lyapunov katsayısını sıfırlar. İkinci Lyapunov katsayısının elde edilebilmesi için öncelikle birinci Lyapunov katsayısının sıfırlanması gerekmektedir. Braga, birinci kontrol parametresinin sıfırdan ve ikinci kontrol parametresinin kritik değerinden farklı olacak şekilde belirlenerek Hopf çatallanmasının kontrol altına alınabileceğini belirtmektedir. Bautin çatallanmasının kontrolü için ise birinci kontrol parametresi sıfırdan ve üçüncü kontrol parametresi kritik değerinden farklı olacak şekilde seçilebilmektedir. Çalışmamızda kontrol parametrelerinin değerleri ve başlangıç koşulları özenle belirlenmiş ve çatallanma parametrelerinin çeşitli değerleri için tüm olası Hopf ve Bautin çatallanma diyagramları Mathematica'nın NDSolve komutu kullanılarak çizilmiştir. Parametre değerlerinde yapılan ufak değişiklikler, sistemin davranışında önemli değişimlere yol açabilmekte ve farklı çatallanma türlerinin oluşmasına sebep olabilmektedir. Bu çalışma, sınıf mücadelesinin dinamiklerini belirleyen Desai tarafından değiştirilmiş Goodwin büyüme döngüsü modelinde, denge noktasının kararlılığı ve limit döngülerinin kararlılığı/yönü gibi temel çatallanma özelliklerinin düzenlenmesine ilişkin kapsamlı bir analizi içermektedir. Ekonomik dinamikleri Hopf ve Bautin çatallanma diyagramlarında arzu edilen bölgelere konumlandırmak için model parametrelerinin sistematik manipülasyonuna odaklanmaktadır. Analiz, Goodwin modelinin kontrol edilebilirliğine ilişkin bulguları geliştirmiş ve genişletmiştir. Böylelikle, çatallanma teorisinin teorik temellerine ve ekonomideki uygulamalarına yönelik ileri araştırmalar gerçekleştirilebilecek, uygun politika kararları ve stratejik müdahaleler ile ekonomi yönetimindeki sorunlar iyileştirilebilecektir. Bölüm 1'de, tezin amacı belirtilmiş, literatür taraması yapılmış ve hipotez araştırma soruları belirlenmiştir. Bölüm 2'de, lineer olmayan dinamik sistemler için çatallanma teorisi ve stabilite analizi anlatılmaktadır. Bölüm 2.1'de Hopf ve Bautin çatallanmasına yol açan koşullar irdelenmektedir. Bölüm 2.2'de Braga tarafından önerilen kontrol yasası, Bölüm 2.3'te orijinal Goodwin modeli ve Desai tarafından değiştirilmiş versiyonu tanıtılmaktadır. Bölüm 3'te, değiştirilmiş modelin Hopf ve Bautin çatallanması analizi gerçekleştirilmiş ve ilgili simülasyonlar sunulmuştur. Son bölüm sonuç değerlendirmelerine ve gelecekteki potansiyel çalışmalara ayrılmıştır.

Özet (Çeviri)

In this thesis, we conduct a comprehensive analysis of regulating key bifurcation features, such as the stability of the equilibrium and the stability and orientation of the limit cycles, in Desai et al.'s modified Goodwin model of growth cycle, which elucidates the dynamics of class struggle in controlling economic systems. The study systematically manipulates model parameters to position the economy within the desired regions of both the Hopf and Bautin bifurcation diagrams. The original Goodwin model comprises two dynamic equations representing the share of labour in national income and the proportion of labour force employment. Solutions of the system exhibit clockwise closed cycles, each centered at the singular point. Values of this point may exceed one. It implies that the singular point may extend beyond the unit area, leading to trajectories that partially or entirely exist outside that area. Even if the singular point remains within the unit box, trajectories could extend partially outside its boundaries. As a result, values surpassing one produce impractical outcomes for both the labour share and the employment rate. The modified Goodwin model proposed by Desai et al. satisfies this requirement, and all trajectories lie inside the unit square. The Jacobian matrix of the modified system at the origin has a pair of purely imaginary eigenvalues. An equilibrium with a pair of complex conjugate eigenvalues may lose its stability at a parameter exceeding a threshold value and transition to a small amplitude limit cycle called Hopf bifurcation. In the supercritical Hopf bifurcation, the limit cycle emerges at the bifurcation parameter greater than its critical value. In the subcritical Hopf bifurcation, the limit cycle is observed at the parameter values less than its critical value. The sign of the first Lyapunov coefficient at the critical value of the bifurcation parameter determines the type of the Hopf bifurcation. The second Lyapunov coefficient is evaluated where the first Lyapunov coefficient vanishes. The system undergoes another bifurcation, incorporating families of stable and unstable limit cycles coexisting, with one nested within the other, colliding, and eventually disappearing through a saddle-node bifurcation. It is called Bautin bifurcation, and it influences the stability of the equilibrium and the orientation of the resulting limit cycle. Understanding the behaviour of such systems is crucial, as they often exhibit fascinating bifurcation diagrams. Recently, a range of control laws were proposed to manipulate the bifurcation features. In this study, we will utilise the control law offered by Braga et al. in 2010 to generate controllable Hopf and Bautin bifurcation. The control law depends on two bifurcation parameters and four control parameters. If we evaluate Desai et al.'s modified system with this control law, the system's Jacobian matrix at the origin gives a pair of complex conjugate eigenvalues with a non-zero real part. The transversality condition of the Hopf bifurcation indicates that the derivative of the eigenvalue's real part with respect to the Hopf bifurcation parameter is non-zero. Considering that the Hopf bifurcation necessitates a pair of purely imaginary eigenvalues and the transversality condition, we fix the Hopf bifurcation parameter to zero when evaluating the Lyapunov coefficients. We calculate the first and second Lyapunov coefficients as presented by Kuznetsov et al. and then determine the critical values of the control parameters where the Lyapunov coefficients vanish. Following Braga et al.'s control law, the control parameter values and the initial conditions are carefully selected to regulate the stability and the direction of the limit cycles emerging near the origin. For various values of the bifurcation parameters, all possible Hopf and Bautin bifurcation diagrams are plotted using NDSolve command of Mathematica, with a specified accuracy and precision goal of 10 digits. We observe that minor alterations in parameter values lead to variations in the behaviour of the modified model, resulting in different types of bifurcations. Through this interdisciplinary analysis, we have advanced and expanded the findings regarding the Goodwin model's controllability and aimed to bridge theoretical insights with practical applications, thereby offering valuable contributions to policy decisions and strategic interventions to navigate the complexities of economic management. This thesis is organised as follows. Chapter 1 includes the purpose of the study, literature review, and hypothesis research questions. In Chapter 2, bifurcation theory and stability in nonlinear dynamical systems are explained. The theorem and accompanying proof of both Hopf and Bautin bifurcation are given in Section 2.1 and Section 2.2, respectively. Section 2.3 introduces Braga et al.'s control law, and Section 2.4 presents the original Goodwin model and Desai et al.'s modified version. In Chapter 3, we perform the bifurcation analysis of the modified model for Hopf in Section 3.2 and Bautin in Section 3.3. Numerical simulations are also presented in this chapter. The last chapter is devoted to some concluding remarks and potential future studies.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    490311

    Control of bifurcations in the Fitzhugh-Nagumo nerve cell dynamics

    Fitzhugh-Nagumo nöron dinamiği için çatallanma denetleyicisi tasarımları

    HAMZA IHNISH

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2017

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiAtılım Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. REŞAT ÖZGÜR DORUK

  2. Tez No

    661636

    Biyomimetik bir yılansı robotun tasarımı ve gerçeklemesi

    Design and implementation of a biomimetic serpentine robot

    SERKAN KARAÇÖL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2021

    Mekatronik MühendisliğiFırat Üniversitesi

    Mekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ GONCA ÖZMEN KOCA

    DR. ÖĞR. ÜYESİ DENİZ KORKMAZ

  3. Tez No

    293784

    Hopf bifurcations in a power system susceptible to subsynchronous resonance and a novel controller for damping torsional oscillations

    Senkronaltı rezonansa duyarlı bir güç sisteminde Hopf çatallanmaları ve burulma salınmılarının sönümlendirilmesi için yeni bir kontrolör

    YAŞAR KÜÇÜKEFE

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2009

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektrik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ADNAN KAYPMAZ

  4. Tez No

    212249

    Gerilim kararlılığı iyileştiricilerinin çatallaşma ve kaotik analizleri

    Bifurcation and chaotic analysis of the line conditioners for voltage stability

    KADİR ABACI

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2007

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiSakarya Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET ALİ YALÇIN

  5. Tez No

    745026

    Çırpan Kanatlı İnsansız Hava Aracı Tasarımı ve uzaktan kontrolü

    Design and remote control of a Flapping Wing Unmanned Aerial Vehicle

    YALÇIN OLGAÇ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2022

    Savunma ve Savunma TeknolojileriFırat Üniversitesi

    Savunma Teknolojileri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. AYŞEGÜL UÇAR

Geri Dön