Geri Dön

Jet schemes and resolutions of surface singularities

Jet şemaları ve yüzey tekilliklerinin çözümlemeleri

PDF İndir

  1. Tez No: 901102
  2. Yazar: BÜŞRA KARADENİZ ŞEN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. MERAL TOSUN, DOÇ. DR. CAMILLE PLENAT
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2024
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Gebze Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 152

Özet

Bu tez, $\mathbb{C}^4$ içinde gömülü $S$ cebirsel yüzeylerinin rasyonel üçlü nokta tekilliklerinin minimal gömülü torik çözümlemesini araştırmaktadır. Özellikle, normalizasyonu $\mathbb C^4$'deki bir $S$ yüzeyinin rasyonel üçlü nokta tekilliği olan, izole olmayan tekilliklere sahip $\mathbb{C}^3$'teki bir $X$ hiperyüzeyine odaklanıyoruz. $X := V(f)$ ve $f\in \mathbb{C}[x,y,z]$ olsun. $1963$ yılında, $X$'in yay uzayını $J_{\infty}(X) := \{\gamma : Spec\mathbb{C}[[t]] \to X\}$ tanıtarak, J. Nash $X$'in tekil yerinde merkezlenmiş yay uzayının indirgenemez bileşenlerinin sayısının, $X$'in tekilliklerinin bir çözümlemesindeki istisnai bölgenin esas indirgenemez bileşenlerinin sayısına eşit olup olmadığını sordu. Bu soru Nash Problemi olarak adlandırılmaktadır. $X$'in tekilliklerinin bir çözümlemesinde istisnai bölgenin indirgenemez bir bileşeni, başka herhangi bir çözümlemede de istisnai bölgenin indirgenemez bir bileşeni olursa, bu bileşen esas olarak adlandırılır. Nash, tekillik noktasından geçen yaylar uzayının indirgenemez bileşenleri ile bir çözümlemenin esas bileşenleri arasında bir dönüşüm tanımladı. Bu dönüşüm, tekillik bölgesinden geçen yaylar uzayındaki her $C$ bileşenine, çözümlemedeki genel bir yay yükselmesinin kesiştiği isnisnai bölgenin esas bileşenini atar. Nash, bu dönüşümün bire bir olduğunu kanıtladı ve haritanın örten olup olmadığını sorguladı. Rasyonel çift nokta tekillikleri için Nash problemi, $A$, $D$, $E$ durumlarında farklı makalelerde ayrı ayrı çözülmüştür. Nash problemi, J. Fernández de Bobadilla ve M. Pe Pereira tarafından iki boyutta olumlu bir şekilde çözülmüş olmasına rağmen, bazı istisnalar dışında daha yüksek boyutlar için hâlâ açık bir sorudur: S. Ishii ve J. Kollár, Nash dönüşümünün bijektif olmadığına dair 4 boyutlu bir örnek sunarken, tüm torik tekillikler için her boyutta bijektiviteyi kanıtladılar; De Fernex ise $3$ boyutta bir karşı örnek verdi. Bu tez, rasyonel üçlü nokta tekilliğinin gömülü bir torik çözümlemesini oluşturmayı ve Nash problemini çözmeyi amaçlamaktadır. 2013 yılında, H. Mourtada, M. Lejeune-Jalabert ve A. Reguera, Ters Nash Problemi'ni ortaya atarak“$X$'in $\mathbb{C}^n$ 'deki jet uzayları verildiğinde, tekilliklerin bir çözümlemesini inşa edebilir miyiz?”sorusunu sordular. Buna dayanarak, şu temel soruya cevap vermeyi hedefliyoruz:“$J_m(X)$'in bazı indirgenemez bileşenlerini kullanarak $\mathbb{C}^3$'te bir hiperyüzeyin minimal gömülü torik çözümlemesini inşa edebilir miyiz?”Bunun için, M. Lejeune-Jalabert, H. Mourtada, C. Plenat ve A. Reguera'nın yaklaşımını takip ediyor ve $X$'in $J_{m}(X):=\{\gamma_{m}:Spec\frac{\mathbb{C}[[t]]}{\langle t^{m+1}\rangle} \to X\}$ jet şemalarının ayrışımını kullanıyoruz. Hatırlatmak gerekirse, $J_{\infty}(X)$ yaylar uzayı, $J_m(X)$'in bir limitidir. Burada, önceki çalışmalardan farklı olarak normal olmayan hiperyüzeyleri ele alıyor ve Nash dönüşümünün bijektif olduğu $X$'in minimal gömülü torik çözümlemesini inşa etmek için sistematik bir yöntem sunuyoruz.

Özet (Çeviri)

This thesis investigates a minimal embedded toric resolution of rational triple point singularities of algebraic surfaces $S$ embedded in $\mathbb C^4$. In particular, we focus on a hypersurface $X$ in $\mathbb{C}^3$ with non-isolated singularities whose normalization is a rational triple point singularity of a surface $S$ in $\mathbb C^4$. Let $X:=V(f)$ with $f \in \mathbb{C}[x, y, z]$. In 1$963$, by introducing the arc space $J_{\infty}(X):=\{\gamma:Spec \mathbb{C}[[t]]\to X\}$ of $X$, J. Nash asked whether the number of irreducible components of the arc space centered at the singular locus of $X$ equals the number of essential irreducible components of the exceptional divisor in a resolution of singularities of $X$. This problem will be referred to as the Nash Problem. An irreducible component of the exceptional divisor of a resolution of singularities of $X$ is called essential if, in any other resolution, that component is an irreducible component of the exceptional divisor. Nash defined a map between the set of irreducible components of the space of arcs passing through the singular locus to the set of essential components of a resolution. The map assigns to each component $C$ of the space of arcs through the singular locus the unique component of the exceptional divisor which meets the lifting of a generic arc of $C$ to the resolution. Nash proved that this map is injective and posed the question whether the mapping is surjective. The Nash problem for rational double point singularities has been solved in $A,D, E$ cases separately in different articles. While the Nash problem has been solved affirmatively in dimension two by J. Fernández de Bobadilla and M.Pe Pereira, it remains an open question in higher dimensions except for some cases: S. Ishii and J. Kollár provided an example in dimension $4$ where the Nash map is not bijective while they proved the bijectivity for all toric singularities in any dimension; De Fernex also gave a counterexample in dimension $3$. This thesis focuses on building an embedded toric resolution of a rational triple singularity and prove the Nash Problem. In 2013, H. Mourtada, M. Lejeune-Jalabert and A. Reguera introduced the Inverse Nash Problem asking 'Given the jet scheme of $X$ in $\mathbb{C}^n$ can we construct a resolution of the singularities?'. Based on this, our goal is to answer the key question“Can we construct a minimal embedded toric resolution of a hypersurface in $\mathbb{C}^3$ using some irreducible components of $J_m(X)$?”For this, we follow the approach of M. Lejeune-Jalabert, H. Mourtada, C. Plenat and A. Reguera and, use the decomposition of the jet schemes $J_{m}(X):=\{\gamma_{m}:Spec\frac{\mathbb{C}[[t]]}{\langle t^{m+1} \rangle} \to X\}$ of $X$. Recall that the space $J_{\infty}(X)$ of arcs is a limit of $J_m(X)$. Here, unlike previous works, we consider non-normal hypersurfaces and provide a systematic method to construct a minimal embedded toric resolution of $X$ for which the Nash map is bijective.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    495024

    Jet schemes of non-isolated hypersurface singularities

    İzole olmayan hiperyüzey tekilliklerinin jet şemaları

    BÜŞRA KARADENİZ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2017

    MatematikGalatasaray Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MERAL TOSUN

  2. Tez No

    335903

    Kapalı otoparklarda taşıt yangınının sayısal benzetimine yönelik k-epsilon, LES ve DES çalkantı modellerinin karşılaştırılması

    Comparison of k-epsilon, LES and DES turbulence models towards numerical simulation of automobile fires in enclosed car parks

    BARIŞ ELBÜKEN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2013

    Kazalarİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. İLYAS BEDİİ ÖZDEMİR

  3. Tez No

    439543

    An ALE approach for free surface simulations

    Serbest yüzey simülasyonları için ALE yaklaşımı

    ÇAĞATAY GÜVENTÜRK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2016

    Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MEHMET ŞAHİN

  4. Tez No

    304952

    Contribution to the development of implicit large eddy simulations methods for compressible turbulent flows

    Sıkıştırılabilir ve tepkimeli türbülanslı akımlar için zımni büyük girdap benzetimi yöntemleri geliştirilmesine katkı

    MEHMET KARACA

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2011

    Havacılık MühendisliğiOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Havacılık ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. I. SİNAN AKMANDOR

    YRD. DOÇ. DR. IVAN FEDİOUN

  5. Tez No

    142705

    Computational analysis of external store carriage in transonic speed regime

    Harici yük taşımanın transonik sürat bölgesinde hesaplamalı analizi

    İ. CENKER ASLAN

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2003

    Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. AYDIN MISIRLIOĞLU

    PROF. DR. OKTAY BAYSAL

Geri Dön