Geri Dön

Stability analysis of delay dynamic equations

Gecikmeli dinamik denklemlerin karalılık analizi

PDF İndir

  1. Tez No: 926225
  2. Yazar: NOUR H.M. ALSHARIF
  3. Danışmanlar: PROF. DR. BAŞAK KARPUZ
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Zaman skalası, Time scale
  7. Yıl: 2025
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Dokuz Eylül Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

Bu tez, zaman skalaları üzerindeki lineer gecikmeli dinamik denklemlerin çözümlerinin kararlılığını incelemekte ve global çekicilik, üniform kararlılık ve global asimptotik kararlılık için yeni ve özgün yeterli koşullar türetmeye odaklanmaktadır. Bu çalışmanın temel katkıları, her biri gecikme fonksiyonu $\tau(t)$ üzerinde belirli koşullar getiren ve kararlılık analizinin önemli yönlerini vurgulayan iki yeni kararlılık testinin geliştirilmesidir. Bu testler, gecikmeli diferansiyel ve fark denklemlerine ilişkin mevcut sonuçları, zaman skalalarının daha genel çerçevesine genişleterek, önemsiz çözümün global asimptotik kararlılığını sağlayan kesin koşullar sunmaktadır. İlk özgün sonuç, Lyapunov fonksiyonel yöntemine dayanmaktadır. Lineer gecikmeli dinamik denklem \begin{equation} x^{\Delta}(t)+p(t)p\bigl(\tau(t)\bigr)=0\quad\text{for}\ t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}, \end{equation} \noindent{}burada $\mathbb{T}$ üstten sınırsız bir zaman skalası, $p(t)$ bir katsayı fonksiyonu ve $\tau(t)$ bir gecikme fonksiyonudur. Bu denklem için global çekicilik için aşağıdaki yeterli koşulu türetiyoruz \begin{equation} \limsup_{t\to\infty}\Biggl\{\int_{t}^{\tau^{-2}(\sigma(t))}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}<2.\nonumber \end{equation} Burada, gecikme fonksiyonu $\tau(t)$ iki temel koşulu sağlamalıdır, $\tau(t)$, $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$ için artan olmalı ve $\tau(\mathbb{T})=\mathbb{T}$ şartını sağlamalıdır. Bu ikinci koşul, $\tau(t)$'nin tersinirliğini garanti eder ve integral formüllerinde yerine koyma işleminin kullanılmasına olanak tanır, bu da ispatın merkezinde yer alır. İspatta oluşturulan Lyapunov fonksiyoneli, çözümler boyunca azalan olduğu gösterilerek, tüm çözümlerin $t\to\infty$ iken sıfıra yakınsamasını sağlar. Test, belirli zaman skalaları üzerinde sunulan sayısal örneklerle gösterilerek, uygulanabilirliği ve etkinliği kanıtlanmıştır. İkinci özgün sonuç, Yoneyama'nın kararlılık testini zaman skalalarına genellemekte ve üniform kararlılık ile global asimptotik kararlılık için yeni yeterli koşullar sunmaktadır. Gecikme fonksiyonu $\tau(t)$'nin $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$ için artan ve $\tau(t)<\sigma(t)$ koşulunu sağladığı varsayımı altında, sıfır çözümünün üniform kararlı olması için \begin{equation} \sup_{t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}}\Biggl\{2\sup_{\eta\in[\tau(t),t]_{\mathbb{T}}}\biggl\{\int_{\tau(\eta)}^{\sigma(\eta)}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}-\frac{1}{\mathrm{n}\bigl(\sigma(t),\tau(t)\bigr)}\Biggr\}\leq3, \end{equation} burada $\mathrm{n}(t,s)$ bir sayma fonksiyonudur, ve global asimptotik kararlı olması için bu eşitsizliğin katı şekilde sağlanması gerekmektedir. $\tau(t)<\sigma(t)$ koşulu, gecikmenin ileri sıçrama operatörünü aşmamasını sağlar, bu da kararlılık analizi için kritik bir öneme sahiptir. İspatlar, çözümlerin davranışının ayrıntılı analizini içerir ve zaman skalaları üzerinde ara değer teoremleri ile Gronwall eşitsizliğinin kullanımını kapsar. Teorik sonuçlar, sayısal örneklerle doğrulanmış olup, yeni koşulların önceki yöntemlere kıyasla daha iyi üst sınırlar sunduğu gösterilmiştir. Bu tez, Lyapunov fonksiyonel yöntemi kullanılarak global çekicilik için yeni yeterli koşullar sunarak ve Yoneyama'nın kararlılık testini zaman skalalarına genelleştirerek, gecikmeli dinamik denklemlerin kararlılık teorisine önemli katkılar sağlamaktadır. Bu sonuçlar, gecikmeli diferansiyel ve fark denklemlerine ilişkin mevcut kararlılık teorilerini genişletmekle kalmaz, aynı zamanda daha karmaşık fonksiyonel dinamik denklemlerin analizi için sağlam bir çerçeve sunar. Bu çalışma, zaman gecikmelerinin sistem davranışında kritik bir rol oynadığı kontrol teorisi, popülasyon dinamikleri ve mühendislik gibi alanlarda yeni uygulama alanları açmaktadır.

Özet (Çeviri)

This thesis investigates the stability of solutions to linear delay dynamic equations on time scales, with a focus on deriving new and original sufficient conditions for global attractivity, uniform stability, and global asymptotic stability. The primary contributions of this work are the development of two novel stability tests, each of which imposes specific conditions on the delay function $\tau(t)$ and highlights important aspects of the stability analysis. These tests generalize and extend existing results for delay differential and difference equations to the more general framework of time scales, providing precise conditions under which the trivial solution is global asymptotic stability. The first original result is based on the Lyapunov functional method. For the linear delay dynamic equation \begin{equation} x^{\Delta}(t)+p(t)x\bigl(\tau(t)\bigr)=0\quad\text{for}\ t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}},\nonumber \end{equation} where $\mathbb{T}$ is unbounded above time scale, $p(t)$ is a coefficient function, and $\tau(t)$ is a delay function, we establish the following sufficient conditions for global attractivity, one which sates if \begin{equation} \limsup_{t\to\infty}\Biggl\{\int_{t}^{\tau^{-2}(\sigma(t))}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}<2. \end{equation} Here, the delay function $\tau(t)$ must satisfy two key conditions, it must be increasing for all $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$ and $\tau(\mathbb{T})=\mathbb{T}$, which ensure the invertibility of $\tau(t)$ and allows for the use of substitution in integration formula, which is central to the proof. The Lyapunov functional constructed in the proof is shown to be nonincreasing along solutions, ensuring that all solutions tend to zero as $t\to\infty$, and the test is illustrated with numerical examples on specific time scales, demonstrating its applicability and effectiveness. The second original result generalizes Yoneyama's stability test to time scales, providing new sufficient conditions for uniform and global asymptotic stability. Under the assumption that the delay function $\tau(t)$ is increasing with $\tau(t)<\sigma(t)$ for all $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$, the zero solution is uniformly stable if \begin{equation} \sup_{t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}}\Biggl\{2\sup_{\eta\in[\tau(t),t]_{\mathbb{T}}}\biggl\{\int_{\tau(\eta)}^{\sigma(\eta)}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}-\frac{1}{\mathrm{n}\bigl(\sigma(t),\tau(t)\bigr)}\Biggr\}\leq3, \end{equation} where $\mathrm{n}(t,s)$ is counting function, and globally asymptotically stable if the inequality is strict. The condition $\tau(t)<\sigma(t)$ ensures that the delay does not exceed the forward jump operator, which is critical for the stability analysis. The proofs involve detailed analysis of the behavior of solutions, including the use of intermediate value theorems and Gronwall's inequality on time scales. Numerical examples are provided to validate the theoretical results, showing that the new conditions offer better upper bounds compared to previous methods. This thesis makes significant contributions to the stability theory of delay dynamic equations on time scales by introducing new sufficient conditions for global attractivity using the Lyapunov functional method and generalizing Yoneyama's stability test to time scales. These results not only extend and unify existing stability theories for delay differential and difference equations but also provide a robust framework for analyzing more complicated functional dynamic equations in future research. The work opens new avenues for applications in fields such as control theory, population dynamics, and engineering, where time delays play a critical role in system behavior.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    716272

    Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri

    Stability and bifurcation analysis of some HIV/AIDS models

    GAMZEGÜL KARAHİSARLI

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2021

    MatematikTobb Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HÜSEYİN MERDAN

  2. Tez No

    612435

    Finite-time control of switched linear systems with time-delay

    Zaman gecikmeli ve anahtarlamalı doğrusal sistemlerin sonlu zaman denetimi

    GÖKHAN GÖKSU

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2020

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ULVİYE BAŞER ILGAZ

  3. Tez No

    660783

    Burun iniş takımı sisteminde shimmy davranışının modellenmesi, analizi, testi ve kontrolü

    Modelling, analysis, test, and control of the shimmy behavior in nose landing gear system

    SENA KOÇAK

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2021

    Mekatronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Mekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ

  4. Tez No

    782512

    F-16 jet uçağı için açık model izleme tabanlı boylamsal kontrolör tasarımı ve hücum açısı kestirimi

    Explicit model following based longitudinal controller design and angle of attack estimation for F-16 jet aircraft

    GÜLŞAH KESGİN ERTÜRK

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2023

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. İLKER ÜSTOĞLU

  5. Tez No

    885481

    Hopf bifurcation in a generalized Goodwin model with delay

    Gecikmeli genelleştirilmiş Goodwin modelinde Hopf çatallanması

    EYŞAN ŞANS

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2024

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. CİHANGİR ÖZEMİR

Geri Dön