Hopf bifurcation in a generalized Goodwin model with delay

Gecikmeli genelleştirilmiş Goodwin modelinde Hopf çatallanması

PDF İndir

Tez No: 885481
Yazar: EYŞAN ŞANS
Danışmanlar: DOÇ. DR. CİHANGİR ÖZEMİR
Tez Türü: Yüksek Lisans
Konular: Matematik, Mathematics
Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
Yıl: 2024
Dil: İngilizce
Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
Sayfa Sayısı: 91

Özet

Dinamik sistemler teorisinde gecikmeli diferansiyel denklemler önemli bir yer tutar. Gecikmeli olmayan bir dinamik sistemde durum değişkenlerinin değişim oranı durum değişkenlerine anlık olarak bağlı iken, gecikmeli dinamik sistemlerde bu fonksiyonel bağlılık bir zaman gecikmesi ile olabilmektedir. Gerçek yaşam problemlerinde bu durum, örneğin, fiziksel bir sistemin uzaydaki farklı noktalarından sinyal toplayıp değerlendirme yapan işlemcisine iletilen sinyallerin yol farkından dolayı zaman farkı ile iletilmesinden meydana gelebilmektedir. Gecikmesiz olarak formüle edilmiş bir dinamik sistemin yerel olarak denge noktalarında veya global olarak stabilitesinin analizi için literatürde metotlar ve simülasyon yöntemleri mevcuttur. Stabilite analizinde karşımıza çıkan“kararlı”ve“kararsız”durumları, incelenen fiziksel modele göre hedeflenebilen durumlar olabilir. Örneğin, deprem etkisi altında titreşen bir yapı elemanının titreşimlerini yaklaşık olarak modelleyen bir dinamik sistemde titreşimlerin zamanla sıfır denge noktasına evrilmesi, sıfır denge noktasının kararlı olması istenir. Titreşimleriyle enerji üretmesi istenen bir mekanik sistemde ise titreşimlerin sönümlenmemesi hedef durum olacaktır. Stabilite analizi yapılarak denge noktalarının kararlı ve kararsız durumlarını verecek parametre koşulları belirlenir. Ancak, ilgili fiziksel sistemi modelleyen dinamik sistem gerçekte gecikmeli bir zaman dinamiğine sahip ise, sistemin bir denge noktasını kararlı olarak öngören bir parametre kümesinde sistem gerçekte kararsız olabilir. Bu nedenle, ilgili dinamiğin analizinin gecikmeli dinamik sistemler teorisinin formülasyonunda gerçekleştirilmesi gerekir. Goodwin modeli, kapalı bir ekonomide istihdam oranı ile ücret payı arasındaki mekanizmayı formüle eden, makroekonomide iyi bilinen dinamik sistemlerden biridir. Model, istikrarlı teknik ilerleme ve teknik güçte istikrarlı büyüme varsayımları altında formüle edilmiştir. Sadece iki üretim faktörü dikkate alınmaktadır: emek ve sermaye. İşçi sınıfı tüm ücretlerini tüketirken, tüm karlar sermaye sahipleri tarafından yatırılmaktadır. Sabit bir sermaye-çıktı oranı varsayılmakta ve enflasyon oranı ile işsizlik oranı arasındaki ilişki doğrusallaştırılmış bir Phillips eğrisi ile belirlenmektedir. Literatürde, enflasyon oranı ile işsizlik oranı arasındaki ilişkiyi ifade eden Phillips eğrisinin fonksiyonel bağımlılığının zaman gecikmeli bir bağlılık olduğuna ilişkin argüman bulunmaktadır. Bu bağlılığı gecikmeli olarak ele alıp Goodwin modelinin değiştirilmiş versiyonlarının dinamik analizini yapan az sayıda yayın mevcuttur. Goodwin modelinin varsayımları şöyle sıralanabilir: (i) İstikrarlı teknik ilerleme söz konusudur. (ii) İşgücünde istikrarlı büyüme bulunmaktadır, (iii) Sadece iki üretim faktörü dikkate alınmaktadır: emek ve sermaye. (iv) Tüm miktarların net ve gerçek olduğu varsayılmaktadır. (v) İşçi sınıfı tüm ücretlerini tüketirken, tüm karlar sermaye sahipleri tarafından yatırıma ayrılır. (vi) Sabit bir sermaye-çıktı oranı varsayılmaktadır. (vii) Tam istihdama yakın durumda reel ücret oranı yükselmektedir. Temel olarak popülasyon dinamiğindeki av-avcı sisteminin matematiksel ekonomideki bir karşılığı olan Goodwin modeli, basitliğine rağmen, belirli zaman aralıklarında gözlemlenen durum değişkenlerinin periyodik davranışını bir dereceye kadar açıklamaktadır. Modelin yapısına ilişkin varsayımlar, bir ekonomide meydana gelen daha karmaşık durumları dikkate alacak şekilde gevşetilebilir. Bu nedenle, model mevcut literatürde çeşitli değerlendirmelerle modifiye edilmiştir. Bu çalışmada, istihdam oranı ve ücret payı değişkenlerine ek olarak kapasite kullanımı ve sermaye katsayısı değişkenlerini de dikkate alan genelleştirilmiş, daha yüksek boyutlu bir Goodwin modeli ele alınmaktadır. Bir dinamik sistemde parametrelerin değişimiyle topolojik olarak eşdeğer olmayan bir faz portresinin ortaya çıkışı çatallanma olarak adlandırılır. Literatürde çeşitli çatallanma türleri mevcuttur. En az iki durum değişkenli bir dinamik sistemde, bir denge noktasının doğrusallaştırmasının kompleks bir özdeğer çifti bulunsun. Sistemin parametrelerinden seçilen bir çatallanma parametresinin özel bir değerinde (i) özdeğerin reel kısmı sıfır, (ii) özdeğerin reel kısmının çatallanma parametresine göre türevi sıfırdan farklı, (iii) birinci Lyapunov katsayısı olarak adlandırılan büyüklük sıfırdan farklı ise, dinamik sistem çatallanma parametresinin bu özel değerinin değişimi ile bir Hopf çatallanmasına uğrar. Faz diyagramlarında iki durumla karşılaşılır. Bunlardan birinde sistemde, çatallanma parametresi kritik değerine artarak ilerlerken ve kritik değerde denge noktası kararlıdır. Kritik değer sonrasında denge noktası kararsızdır ve kararlı bir limit çevrim orataya çıkar. Diğer durumda, çatallanma parametresi kritik değerine artarak ilerlerken denge noktası kararlıdır; ayrıca, denge noktasını içeren kararsız bir limit çevrim bulunur. Kritik değerde, limit çevrim kaybolur, denge noktası kararlıdır. Kritik değerden büyük değerlerde denge noktası kararsız hale gelir. Buradan da anlaşılabileceği gibi, Hopf çatallanması, bir denge noktasının doğrusallaştırmasının, parametrelerinin değişimi ile, bir pür imajiner özdeğer çiftine sahip olması durumunda gerçekleşebilir. Gecikmesiz dinamik sistemlerde bir denge noktası civarında doğrusallaştırmanın özdeğer denklemi bir polinom denklemi iken, gecikmeli dinamik sistemlerin doğrusallaştırmasının özdeğer denklemi bir üstel fonksiyon ve polinom içeren bir denklemdir. Gecikmeli dinamik sistemlerde de Hopf çatallanmasının varlığı araştırılırken, ilke olarak yine, bu denklemin bir pür imajiner köke sahip olma durumu ve diğer gerekli koşulların geçerliliği incelenir. Bu çalışmanın temel amacı, gecikmeli genelleştirilmiş Goodwin diferansiyel denklem sisteminin stabilite analizini yapmak ve Hopf çatallanma durumunun varlığını incelemektir. Bu analizler ile ekonomik değişkenlerin bir denge noktasının kararlılığı araştırılmıştır. Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin amacı, ilgili literatür araştırması sunulmuş ve yapılacak analizlerle ilgili araştırma soruları ifade edilerek bu soruların cevaplarının ne şekilde araştırılacağı ifade edilmiştir. İkinci bölümde gecikmeli dinamik sistemlerden bahsedilmiş ve bu sistemlerin yerel stabilite analizi hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca, Hopf çatallanması hakkında genel bilgiye yer verilmiştir. Sonrasında, Hopf çatallanması analizinin gecikmeli bir dinamik sisteme nasıl uygulandığına dair literatürden bir örnek verilmiştir. Devamında, bir dinamik sistemde başlangıç koşullarındaki küçük değişimlerin yörüngeler arasında nasıl farklılığa yol açtığının bir ölçüsü olan Lyapunov üsteli ile ilgili gecikmesiz dinamik sistemler durumunda temel bilgiler verilmiştir ve bilinen bir model üzerindeki uygulamasının sonuçları sunulmuştur. Ardından, orijinal Goodwin modeli ile ilişkisini göstermek açısından popülasyon dinamiğinin av-avcı modelinden bahsedilmiş ve sonrasında Goodwin modelinin varsayımları not edilerek türetilişi yapılmıştır. Goodwin modelinde istihdam değişkeni av, emeğin payı da avcı ile karşılık bulur. Bu nedenle, Goodwin modeli sınıf çatışması olarak da tanınmaktadır. Modelin içerdiği fonksiyonel bağlılıklardan olan Phillips eğrisine ayrıca bir alt bölüm ayrılarak kısa bir genel bakış sunulmuştur. Son olarak, üzerinde çalışılan esas model olan ve gecikmeli versiyonu incelenen bir genelleştirilmiş Goodwin modeli ile ilgili yayında mevcut sonuçlar bütünlük açısından verilmiştir. Üçüncü bölüm, tez çalışmasında yapılan özgün analizlerin sunulduğu bölümdür. İncelenen modeller, ele alınan dört dinamik değişkenli genelleştirilmiş Goodwin sisteminin özel alt durumlarıdır. Birinci alt bölümde, değişken hızlı teknik ilerleme ve iş yoğunluğu durumunda ana sistemin, diğer iki değişkene bağlı olmayan iki bilinmeyen fonksiyonlu alt sistemi ele alınmıştır. Burada, Phillips eğrisine karşılık gelen istihdam fonksiyonunda bir zaman gecikmesi varsayılmıştır. Hopf çatallanmasının gerek koşullarından ikisi, pür imajiner özdeğere sahip olma ve reel kısmın türevinin sıfırdan farklı olma koşulu çalışılarak Hopf çatallanmasını gerçekleyebilecek kritik gecikme değeri formüle edilmiştir. Sistemin sıfır olmayan denge noktasında (i) gecikme parametresinin her değeri için kararlı, (ii) gecikme parametresinin kritik bir değerine kadar kararlı, sonrasında kararsız olmasını ve Hopf çatallanmasına uğramasını sağlayan parametre koşulları ayrı ayrı bulunmuştur. Hopf çatallanmasına ilişkin koşulların belli bir parametre ailesi için sağlandığı gösterilmiş ve sonuçlar sayısal çözüm sonucu elde edilen görsellerle desteklenmiştir. İkinci alt bölüm benzer bir analiz içerir. Üçüncü alt bölümde, ana dört bilinmeyen durum değişkenli sistem için denge noktasının kararsız olduğu bir durumda, Lyapunov üstelleri bir Matlab kodu ile bulunmuş ve hiperkaotik davranışa işaret etme potansiyeli olan iki pozitif Lyapunov üsteli gözlenmiştir. Son alt bölümde, Hopf çatallanması için yön analizi yapılarak Hopf çatallanmasının tipi belirlenmiştir. Son bölümde ise sonuçlar özetlenmiş ve olası açık problemler üzerinde durulmuştur. Bu tez çalışmasında yapılan analiz ile, literatürde mevcut orijinal Goodwin modeli ve genelleştirmelerine gecikmeli analiz açısından yaklaşım sağlanmaya çalışılmıştır. Belli bir ülke ekonomisi için, literatürde mevcut, gerçek verilerle oluşturulan istihdam-ücret payı döngüleri incelendiğinde, oluşan döngülerin belli bir zaman aralığı için geçerli olduğu, bu zaman aralığı sonrasında döngünün faz düzleminin başka bir denge noktasına sıçradığı gözlenmektedir. Bu durumun bir açıklaması, denge noktasının konumunu veren, ilgili ülkeye ilişkin sistemde mevcut parametrelerin değerlerinin değişmesi olabilir. Bu duruma ilişkin, bu tez çalışmasının sonuçlarından elde edilebilecek başka bir açıklamanın, sistemde dinamiğin gecikme ile gerçekleşmesi nedeniyle ilgili denge noktasının belli bir noktada kararsız hale gelmesi ve çizilen faz eğrisinin denge noktasından uzaklaşarak faz uzayında başka bir döngüyü gerçekleştirmeye yönelmesi şeklinde ifade edilebileceği düşünülmektedir.

Özet (Çeviri)

In the theory of dynamical systems, delay differential equations have an important place. While in a non-delayed dynamical system the rate of change of state variables depends instantaneously on the state variables, in delayed dynamical systems this functional dependence can be with a time delay. In real life problems, this may occur, for example, when the signals transmitted to the processor of a physical system that collects and evaluates signals from different points in space are transmitted with a time difference due to the path difference. Methods and simulation tools are available in the literature for analysing the stability of a dynamic system formulated without delay, either locally at equilibrium points or globally. The“stable”and“unstable”conditions that we encounter in stability analysis can be target conditions according to the physical model under investigation. For example, in a dynamic system that approximately models the vibrations of a structural element vibrating under the effect of an earthquake, it is desired that the vibrations evolve to zero equilibrium point over time and that the zero equilibrium point is stable. In a mechanical system which is desired to generate energy with its vibrations, it will be the target condition that the vibrations are not damped. Stability analysis is performed to determine the parameter conditions that will give the stable and unstable conditions of the equilibrium points. However, if the dynamical system modelling the relevant physical system actually has a delayed time dynamics, the system may actually be unstable in a parameter set that is predicted as a stable equilibrium point by the non-delayed analysis. Therefore, the analysis of the relevant dynamics needs to be carried out in the formulation of the theory of delayed dynamical systems. Goodwin's model is one of the well-known dynamical systems in macroeconomics which formulates the mechanism between the employment ratio and the wage share in a closed economy. The model is formulated under the assumptions of steady technical progress and steady growth in technical force. Only two factors of production are considered: labour and capital. Working class consume all their wages, whereas all profits are invested by the capital holders. A constant capital-output ratio is assumed, and the relation between the inflation rate and unemployment rate is determined by a linearized Phillips curve. There is an argument in the literature that the functional dependence of the Phillips curve, which expresses the relationship between the inflation rate and the unemployment rate, depends on the time delay. There are only a few publications that consider this dependence with a delay and dynamically analyse modified versions of the Goodwin model. The Goodwin model, which is essentially a mathematical economics analogue of the predator-prey system of population dynamics, despite its simplicity, explains to some extent the periodic behaviour of state variables observed at certain time intervals. Assumptions about the structure of the model can be relaxed to take into account more complex situations occurring in an economy. For this reason, the model has been modified with various evaluations in the existing literature. In this work, we consider a generalised, higher dimensional Goodwin model that takes into account capacity utilisation and capital coefficient variables in addition to the employment rate and wage share variables. The emergence of a topologically non-equivalent phase portrait with the change of parameters in a dynamical system is called bifurcation. There are various types of bifurcations in the literature. Let a dynamical system with at least two state variables have a complex eigenvalue pair of the linearisation of an equilibrium point. If at a particular value of a bifurcation parameter chosen from the parameters of the system (i) the real part of the eigenvalue is zero, (ii) the derivative of the real part of the eigenvalue with respect to the bifurcation parameter is non-zero, (iii) and if the quantity referred to as the first Lyapunov coefficient is nonzero, the dynamical system undergoes a Hopf bifurcation with the variation of this particular value of the bifurcation parameter. Two conditions are encountered in phase diagrams. In one of them, the bifurcation parameter increases to its critical value and the equilibrium point is stable at the critical value. After the critical value, the equilibrium point is unstable and a stable limit cycle emerges. In the other case, as the bifurcation parameter increases to its critical value, the equilibrium point is stable; there is also an unstable limit cycle containing the equilibrium point. At the critical value, the limit cycle disappears and the equilibrium point is stable. At values greater than the critical value, the equilibrium point becomes unstable. As can be seen from this, Hopf bifurcation can occur when the linearisation of an equilibrium point has a pair of purely imaginary eigenvalues with variation of its parameters. While the eigenvalue equation of linearisation around an equilibrium point in non-delayed dynamical systems is a polynomial equation, the eigenvalue equation of linearisation of delayed dynamical systems is an equation containing an exponential function and a polynomial. When investigating the existence of Hopf bifurcation in delayed dynamical systems, in principle, the validity of the other necessary conditions for this equation to have a purely imaginary root is also examined. The main objective of this study is to perform stability analysis of a generalised delayed Goodwin system and to investigate the existence of Hopf bifurcation. With these analyses, the stability of an equilibrium point of economic variables is investigated. This thesis consists of four Chapters. In the first Chapter, the purpose of the thesis, the related literature research is presented and the research questions related to the analyses to be made are expressed and how the answers to these questions will be investigated are stated. In the second Chapter, delay dynamical systems are discussed and information about local stability analysis of these systems is given. Also, general information about Hopf bifurcation is given. Then, an example from the literature on how Hopf bifurcation analysis is applied to a delay dynamical system is given. Afterwards, the Lyapunov exponent, which is a measure of how small changes in initial conditions in a dynamical system lead to differences between trajectories, is given in the case of delay-free dynamical systems and the results of its application to a known model are presented. Further, the predator-prey model of population dynamics is mentioned to show its relationship with the original Goodwin model, and then the assumptions of the Goodwin model are noted and its derivation is presented. In the Goodwin model, the employment variable corresponds to the prey and the share of labour to the predator. For this reason, the Goodwin model is also known as class conflict. The Phillips curve, which is one of the functional dependencies of the model, is given a brief overview in a separate sub-section. Finally, a generalised Goodwin model, which is the main model under study and whose delayed version is analysed, is presented for completeness. The third Chapter presents the original analyses carried out in this thesis. The models considered are special sub-cases of the generalised Goodwin system with four dynamic variables. In the first subsection, in the case of variable speed technical progress and labour intensity, the subsystem of the main system with two unknown functions that do not depend on the other two variables is considered. Here, a time delay in the employment function corresponding to the Phillips curve is assumed. Two of the necessary conditions of Hopf bifurcation, having a purely imaginary eigenvalue and the condition that the derivative of the real part is different from zero, are studied and the critical delay value that can realise Hopf bifurcation is formulated. The parameter conditions that allow the system to be (i) stable at the non-zero equilibrium point for each value of the delay parameter, (ii) stable up to a critical value of the delay parameter and then unstable and undergo Hopf bifurcation are found separately. It is shown that the conditions for Hopf bifurcation are fulfilled for a certain family of parameters and the results are supported by figures obtained from the numerical solution. The second subsection contains a similar analysis. In the third subsection, the Lyapunov exponents for the system with the main four unknown state variables, in a case where the equilibrium point is unstable, are found with a Matlab code and two positive Lyapunov exponents are observed, potentially indicating hyperchaotic behaviour. In the last subsection, the type of Hopf bifurcation is determined by performing directional analysis for Hopf bifurcation. The last Chapter summarizes the results and highlights possible open problems. With the analysis conducted in this thesis, we attempt to provide an approach to the original Goodwin model and its generalisations in the literature in terms of delayed analysis. When the employment-wage share cycles constructed with real data available in the literature for a particular country's economy are analysed, it is observed that the cycles are valid for a certain time interval, after which the cycle jumps to another equilibrium point of the phase plane. One explanation for this situation may be the change in the values of the parameters in the system of the relevant country that give the position of the equilibrium point. Another explanation for this situation, which can be obtained from the results of this thesis, is that the related equilibrium point becomes unstable at a certain point due to the realisation of the dynamics in the system with a delay and the drawn phase curve moves away from the equilibrium point and tends to realise another cycle in the phase space.

Benzer Tezler

Tez No
356192
Essays on nonlinear dynamics in optimal growth models
Optimal büyüme modellerinde doğrusal olmayan dinamikler üzerine makaleler
MUSTAFA KEREM YÜKSEL
Doktora
İngilizce
2014
Ekonomi İhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi
İktisat Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. HÜSEYİN ÇAĞRI SAĞLAM
Tez No
237610
Differential equations with discontinuities and population dynamics
Süreksizlikleri olan diferensiyel denklemler ve popülasyon dinamiği
DUYGU ARUĞASLAN ÇİNÇİN
Doktora
İngilizce
2009
Matematik Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Matematik Bölümü
PROF. DR. MARAT AKHMET
PROF. DR. MERYEM BEKLİOĞLU
Tez No
591872
Gecikmeli diferansiyel denklemlerde Hopf çatallanma analizi
Hopf bifurcation analysis of a delayed differential equations
YONCA YALÇİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Matematik Adıyaman Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ÖZLEM AK GÜMÜŞ
Tez No
878663
Control of Hopf and Bautin bifurcation in a modified Goodwin model of growth cycle
Değiştirilmiş Goodwin büyüme döngüsü modelinde Hopf ve Bautin çatallanmasının kontrolü
MELİKE NUR ERDOĞAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Matematik İstanbul Teknik Üniversitesi
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AYŞE PEKER
Tez No
637228
Stability analysis and HOPF bifurcation in a delay-dynamical system
Gecikmeli bir sistemin kararlılık analizi ve HOPF çatallanması
YASEMİN ÇALIŞ
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Matematik İstanbul Teknik Üniversitesi
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. CİHANGİR ÖZEMİR
DR. ALİ DEMİRCİ

Geri Dön