GL_{h,h'}(1|1) süper grubunun diferansiyel geometrisi
The differential geometry of the supergroup GL_{h,h'}(1|1)
- Tez No: 935502
- Danışmanlar: PROF. DR. SALİH ÇELİK
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu çalışmada, iki ranklı ikisi çift ve ikisi tek elemandan oluşan 2x2 süper matrislerin bir grubu olan GL(1|1) matris süper grubunun iki parametreli standart olmayan deformasyonu üzerine değişmeli olmayan bir geometri kurulacaktır. Bir cebirsel veya geometrik yapının bir parametreyle sürekli bozulması işlemine yapının deformasyonu denilmektedir. Ortaya çıkan yeni yapılara“kuantum yapılar”diyoruz. Kuantum diferansiyel geometri, klasik diferansiyel geometrideki birçok yapıyı cebirsel olarak değerlendirip onların deforme edilmesini amaçlar. Burada amaç, deformasyon parametresinin bazı özel değer(ler)i için klasiğe dönmektir. Bu bağlamda kuantum yapıların, klasik yapıların bir genelleştirilmesi olduğu düşünülebilir. Dolayısıyla, klasiğe göre çok daha karışık yapılar meydana gelir. Durum, süper yapılar klasik yapılara bazı eklemelerle elde edildiğinden -ki deforme edilmemiş halde bile- şüphesiz daha karmaşık hale gelmektedir. GL(1|1) matris süper grubunun GL_{h,h'}(1|1) ile gösterilen standart olmayan (h,h')-deformasyonunun koordinat cebiri olan O(GL_{h,h'}(1|1)) cebiri bir Hopf süper cebiridir. Bu tez iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda, O(GL_{h,h'}(1|1)) Hopf süper cebiri üzerine bir ikili-kovaryant diferansiyel hesap kurulacaktır. İkinci kısımda ise bu diferansiyel hesaba, süper iç türevler ve süper Lie türevler eklenerek çok daha geniş bir diferansiyel hesap elde edilecektir. Bu hesaba Cartan hesabı denilmektedir. Standart deformasyonda, birinci mertebe diferansiyel hesap için cebirin jeneratörlerine etki eden bir \sigma cebir homomorfizmi mevcuttur. Bu tezde, standart olmayan (h,h')-deformasyonda da cebirin jeneratörlerine etki eden {\mathbb Z}_2-dereceli bir \sigma: O(GL_{h,h'}(1|1)) \to M_4(O( GL_{h,h'}(1|1))) mevcut olduğu gösterilmektedir. Bu süper cebir homomorfizmi, süper cebirin jeneratörlerinin 4x4-tipindeki temsillerinin bulunmasını ve ortaya çıkan bütün komutasyon bağıntılarının kompakt formda ifade edilmesini sağlaması açısından oldukça önemlidir. Ayrıca O(GL_{h,h'}(1|1)) cebiri üzerine yüksek mertebe diferansiyel hesap kurulurken ortaya çıkacak olan Cartan-Maurer 1-formlarını içeren bağıntılarda mevcuttur. Bu bağıntılar ise cebirin jeneratörleri üzerine etki eden bir $\mu$ cebir homomorfizmi ile kompakt formda ifade edilebilecektir. Bu \mu cebir homomorfizmi de son derece önemli olup, genişletilmiş diferansiyel hesabın bileşenleri ile olan bağıntıları kompakt formda ifade edebilmemize imkan tanıyacaktır.
Özet (Çeviri)
In this study, a non-commutative geometry will be constructed on the two-parameter non-standard deformation of the matrix supergroup GL(1|1), which is a group of 2x2 supermatrices of rank two, two even and two odd elements. The process of continuous distorting an algebraic or geometric structure with a parameter is called deformation of the structure. In this case, we call the new structures that emerge“quantum structures”. Quantum differential geometry aims to algebraically evaluate and deform many structures from classical differential geometry. The aim here is to return to classical for certain special value(s) of the deformation parameter. In this context, quantum structures can be considered as a generalization of classical structures. Therefore, much more complicated structures are formed compared to classical ones. Since superstructures are formed by adding to classical structures, the situation inevitably becomes much more complex, even in the undeformed state. The coordinate algebra of the non-standart (h,h')-deformation GL_{h,h'}(1|1) the matrix supergroup GL(1|1), denoted by O(GL_{h,h'}(1|1)), is a Hopf superalgebra. This thesis consists of two parts. In the first part, a bicovariant differential calculus will be constructed on the Hopf superalgebra O(GL_{h,h'}(1|1)). In the second part, super inner derivatives and super Lie derivatives will be added to this differential calculus to obtain a extended differential calculus. This calculus is called the Cartan calculus. In the standard deformation, there exists an algebra homomorphism \sigma acting on the generators of the algebra for first-order differential calculus. In this thesis, we show that there exists a {\mathbb Z}_2-degree \sigma:O(GL_{h,h'}(1|1)) \to M_4(O(GL_{h,h'}(1|1))) acting on the generators of the algebra in the non-standard (h,h')-deformation as well. This superalgebra homomorphism is extremely important in that it allows finding 4x4-type representations of the generators of the superalgebra and expressing all the resulting commutation relations in compact form. There are also relations containing Cartan-Maurer 1-forms that will arise when higher-order differential calculus is constructed on the algebra O(GL_{h,h'}(1|1)). These relations can be expressed in compact form by an algebra homomorphism \mu acting on the generators of the algebra. This algebra homomorphism \mu is also extremely important and will allow us to express the relations with the components of the extended differential calculus in compact form.
Benzer Tezler
- GLp.q (1/1) kuantum süper grubunun özellikleri
The properties of the quantum supergroup GLp.q (1/1)
SULTAN ÇELİK
- Bulanık kontrolör ile yeni bir global eniyileme yöntemi
A New method of global optimization by using fuzzy controller
BURAK BERK ÜSTÜNDAĞ
- Sayısal arazi modellerinde eğri yerleştirme yöntemleri
Curve fitting methods in digital terrain models
ERGİN TARI
- Epoksi polimer harç ve betonlarının işlenebilme özellikleri
The Workability properties of polymer concrete and mortars
CEM ERCAN
- Büzülme yoluyla GL_h(2|1) kuantum süper grubu
GL_h(2|1) quantum super group by contraction
MELTEM ARIKAN
