Herhangi bir pozitif N tamsayısının M parçaya ayrışımlarının sayısı için bazı formüller
Some formulas for the number of partitions of a positive integer N into M parts
- Tez No: 995431
- Danışmanlar: PROF. DR. ALİ BÜLENT EKİN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Ankara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Pozitif $ n $ tamsayısının bir ayrışımı, artmayan sırada doğal sayıların toplamı şeklinde yazılımıdır. Yani, $ \pi_{1}\geq \pi_{2}\geq \cdots \geq\pi_{m}>0 $ olmak üzere; $ n=\pi_{1}+\pi_{2}+\cdots+\pi_{m} $ toplamına $ n $ nin $ m $ parçalı bir ayrışımı denir ve $ P(n,m) $ ile gösterilir. Dört bölümden oluşan bu tezin birinci bölümünde pozitif bir $ n $ tamsayısının ayrışımlarına ilişkin temel kavramlar, ayrışım teorisi ile çarpımsallık arasındaki ilişki, üreteç fonksiyonu, Euler beşgensel sayı teoremi, asimptotik formül ve Ramanujan kongrüanslarına yer verilmiştir. Bu tezde, $ n $ pozitif tamsayısının tam olarak $m$ parçadan oluşan ayrışımlarının sayısı incelenmiştir. Bu kapsamda, $ P(n,m) $ polinomlarını quasi polinomlar cinsinden ifade eden Munagi'nin $ q $-kısmi kesir ayrışımı yöntemi, $ P(n,m) $ nin fraktal yapısını veren Srdanov'un dikey ve yatay toplama yöntemleri ve Mattson'un hibrit yöntemi örneklerle açıklanmıştır. Tezde kullanılan gösterimler ve hesaplama yöntemleri de tanıtılmıştır. Literatürde $ P(n,m) $ nin elde edilmesinde $ P(n,m-1) $ polinomlarının bilinmesinin kritik bir rol oynadığı görülmektedir. Bu nedenle ikinci bölümünde $ P(n,m) $ nin hesaplanmasında kullanılan yineleme bağıntısı, Bernoulli polinomları ve Faulhaber formülü ispatlarıyla sunulmaktadır. Üçüncü bölümünde, $ P(n,m) $ polinomları tam değer fonksiyonu ile ifade edilmiş ve $ m\leq 10 $ için bu polinomlar açık bir biçimde verilmiştir. Ayrıca $ P(n,m-1) $ bilindiğinde $ P(n,m) $ nin genel formu elde edilmiş ve bu form kullanılarak $ P(n,11) $ türetilirken; $ P(n,12) $ için sonuçlar doğrudan sunulmuştur. Son bölüm, bu çalışmanın bulgularını ve katkılarını özetlemektedir.
Özet (Çeviri)
A partition of a positive integer $ n $ is written as a sum of natural number in non-increasing order. That is, the sum $ n=\pi_{1}+\pi_{2}+\cdots+\pi_{m} $, for which $ \pi_{1}\geq \pi_{2}\geq \cdots \geq\pi_{m}>0 $, is called a partition of $ n $ into $ m $ parts and is denoted by $ P(n,m) $. In the first section of this four-chapter thesis, the fundamental concepts related to the partitions of a positive integer $ n $, the relationship between partition and multiplicativity, the generating function, Euler's penthagonal number theorem, the asymptotic formula, and Ramanujan congruences are presented. In this thesis, the number of partitions of a positive integer $ n $ into exactly $ m $ parts has been investigated. In this context, Munagi's $ q $-partial fraction partition method, which expresses the polynomials $ P(n,m) $ in terms of quasi-polynomials, Srdanov's vertical and horizontal methods, which give the fractal structure of $ P(n,m) $, and Mattson's hybrid method, have been explained with examples. The notations and calculation methods used the thesis are also introduced. In the literature, it is observed that knowledge of the polynomials $ P(n,m-1) $ plays a critical role in obtaining $ P(n,m) $. Therefore, the second section presents the recurrence relation, Bernoulli polynomials, and Faulhaber's formula used in calculating $ P(n,m), $ together with proofs. The polynomials $ P(n,m) $ are expressed as floor function and these polynomials are given explicitly for $ m\leq 10 $ in the third section. Furthermore, the general form of $ P(n,m) $ is obtained when $ P(n,m-1) $ is known, and using this form, $ P(n,11) $ is derived while the results for $ P(n,12) $ are presented directly. The final section summarizes the findings and contributions of this study.
Benzer Tezler
- Derin öğrenme ve büyük veri analitiği yöntemleriKullanarak Covid-19 yayılımının ileriye dönük tahmini
Forecasting the spread of covid-19 using deep learning and big data analytics methods
CYLAS KIGANDA
Yüksek Lisans
İngilizce
2023
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolGazi ÜniversitesiBilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUHAMMET ALİ AKCAYOL
- Defective Ramsey numbers and defective cocolorings
Kusurlu Ramsey sayıları ve kusurlu tam boyamalar
AHU AKDEMİR
Yüksek Lisans
İngilizce
2012
Endüstri ve Endüstri MühendisliğiBoğaziçi ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. TINAZ EKİM AŞICI
- Representation theory of the symmetric group
Simetrik grupların temsil teorisi
AYŞIN ERKAN GÜRSOY
Doktora
İngilizce
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. VAHAP ERDOĞDU
DR. KÜRŞAT AKER
- Determination of parameter regions for diagonal dominance and stability of MIMO systems
MIMO sistemlerin köşegen baskınlığı ve kararlılığı için parametre bölgelerinin belirlenmesi
İLHAN MUTLU
Doktora
İngilizce
2017
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET TURAN SÖYLEMEZ
- Prediction of COVID 19 disease using chest X-ray images based on deep learning
Derin öğrenmeye dayalı göğüs röntgen görüntüleri kullanarak COVID 19 hastalığının tahmini
ISMAEL ABDULLAH MOHAMMED AL-RAWE
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolGazi ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ADEM TEKEREK