Süpereliptik kuaterniyonlar ve uygulamaları
Superelliptic quaternions and applications
- Tez No: 1004113
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ZEHRA ÖZDEMİR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Amasya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tezde, literatürde ilk kez süpereliptik kuaterniyonlar tanıtılarak bu yapıların cebirsel, geometrik ve kinematik özellikleri sistematik biçimde incelenmi¸stir. Tezin temel motivasyonu, Gielis süperfor mülü aracılı˘gıyla do˘gada ve tasarımda gözlenen karma¸sık biçimlerin tek bir parametrik çatı altında modellenebilmesi ve bu esnekli˘gin kuaterniyon geometrisine ta¸sınmasıdır. Bu kapsamda, süperelip tik kuaterniyonlara ba˘glı dönme matrisleri türetilmi¸s; klasik kuaterniyon temsillerini genelleyen yeni bir süpereliptik dönme modeli elde edilmi¸stir. Ardından, yapı dual uzantıya geni¸sletilerek süpereliptik dual kuaterniyonlar tanımlanmı¸s ve buna kar ¸sılık gelen süpereliptik vida hareketi (aynı eksen etrafında dönme ile aynı eksen boyunca ötelemenin birle¸simi) süpereliptik çerçevede formüle edilmi¸stir. Bu yakla¸sımın diferansiyel geometriyle ba˘glantısını güçlendirmek amacıyla süpereliptik e˘griler ve yüzeyler ele alınmı¸s; hareketli çatılar, e˘grilik–burulma analizleri ile Gauss ve ortalama e˘grilik hesap larına uzanan bir kuramsal hat kurulmu¸stur. Tez boyunca geli¸stirilen sonuçlar, örnekler ve yazılım destekli görselle¸stirmelerle do˘grulanarak önerilen kuramın uygulanabilirli˘gi gösterilmi¸stir. Bu tez çalı¸sması sekiz bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölümde, süperelips kavramının tarihsel arka planı ve Gielis'in süper formülü üzerinden problem motivasyonu ile literatür çerçevesi verilerek ça lı¸smanın amacı ortaya konulmu¸stur. ˙ Ikinci bölümde, tez boyunca kullanılacak temel tanım ve kav ramlar (Öklid uzayı temelleri, kuaterniyonlara ili¸skin ön bilgiler) ile birlikte süpereliptik geometri ve bu geometrinin do˘gal bir parçası olarak süpereliptik dönme matrisleri tanıtılmı¸stır. Üçüncü bö lümde, literatürde ilk kez ele alınan süpereliptik kuaterniyonlar tanımlanmı¸s; bu yeni kuaterniyon sınıfının cebirsel yapısı ve dönme temsilleri geli¸stirilerek çe¸sitli uygulamalarla desteklenmi¸stir. Dör düncü bölümde, süpereliptik dual sayı ve vektör kavramları (Plücker koordinatlar dâhil) kurularak süpereliptik dual kuaterniyonlar tanımlanmı¸s; bu çerçevede süpereliptik vida hareketi modellenmi¸s tir. Be¸sinci ve altıncı bölümde, süpereliptik e˘griler ile yüzeyler, bunların hareketli çatılarının ku rulması, e˘grilik–burulma analizleri, ayrıca silindir/koni/dönel/regle yüzey gibi örnek yüzey sınıfları verilmi¸sitr.Yedinci bölümde, süpereliptik kuaterniyonlar kullanılarak süpereliptik e˘gri-yüzey üretimi ile ilgili teoremler ve örnekler verilip Gauss–ortalama e˘grilik hesapları ayrıntılı biçimde incelenmi¸s tir. Sekizinci bölümde ise elde edilen sonuçlar topluca de˘gerlendirilmi¸s; süpereliptik kuaterniyonların kuaterniyon geometrisini nasıl geni¸sletti˘gi, sa˘gladı˘gı esneklik ve ileride farklı problemlere/alanlara geni¸sletilebilecek ara¸stırma yönleri sonuç ve öneriler ba¸slı˘gı altında tartı¸sılmı¸stır; ayrıca tez boyunca teorik bulguların örnekler ve yazılım destekli görselle¸stirmelerle do˘grulandı˘gı vurgulanmı¸stır.
Özet (Çeviri)
This thesis introduces superelliptic quaternions for the first time in the literature and systematically investigates their algebraic, geometric, and kinematic properties. The primary motivation is to model complex forms observed in nature and design within a unified parametric framework via the Gielis superformula and to transfer this flexibility to quaternion geometry. In this setting, rotation matrices associated with superelliptic quaternions are derived, leading to a novel superelliptic rotation model that generalizes classical quaternion representations. The structure is then extended to dual formulations by defining superelliptic dual quaternions, and the corresponding superelliptic screw motion—combining rotation about and translation along a com mon axis—is formulated within this generalized framework. To strengthen the connection with differential geometry, superelliptic curves and surfaces are exa mined. A comprehensive theoretical framework is developed, including movable frames, curva ture–torsion analyses, and Gaussian and mean curvature computations. The applicability of the pro posed theory is demonstrated through illustrative examples and software-assisted visualizations. The thesis consists of eight chapters. Chapter 1 presents the motivation of the study, including the his torical background of superellipses and a literature review centered on Gielis's superformula. Chapter 2 introduces the fundamental concepts used throughout the thesis, covering Euclidean space, preli minary quaternion theory, and superelliptic geometry, together with superelliptic rotation matrices. Chapter 3 defines superelliptic quaternions—introduced here for the first time—and develops their algebraic structure and rotational representations, supported by various applications. Chapter 4 estab lishes superelliptic dual numbers and vectors, including Plücker coordinates, and defines superellip tic dual quaternions, within which superelliptic screw motion is modeled. Chapters 5 and 6 focus on superelliptic curves and surfaces, their movable frames, curvature–torsion properties, and represen tative surface classes such as cylindrical, conical, rotational, and ruled surfaces. Chapter 7 presents theorems and examples on the generation of superelliptic curve–surfaces via superelliptic quaterni ons, with detailed analyses of Gaussian and mean curvature. Finally, Chapter 8 summarizes the main results, highlights how superelliptic quaternions extend classical quaternion geometry, discusses their f lexibility and potential applications, and outlines possible directions for future research, emphasizing that the theoretical findings are validated through examples and software-based visualizations.
Benzer Tezler
- Süpereliptik eğriler ile çarpanlara ayırma yöntemi
Integer factorization method with superelliptic curves
KÜBRA NARİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiBilişim Uygulamaları Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ENVER ÖZDEMİR
- Non-linear analysis of superelliptic panel and tubular structures
Süpereliptik panel ve tüp yapıların doğrusal olmayan analizi
GÖKÇE AKGÜN
Doktora
İngilizce
2019
Makine MühendisliğiGebze Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN KURTARAN
- Character sums, algebraic function fields, curves with many rational points and geometric Goppa codes
Karakter toplamları cebirsel fonksiyon cisimleri, fazla rasyonel noktalı eğriler ve geometrik Goppa kodları
FERRUH ÖZBUDAK
Doktora
İngilizce
1997
Matematikİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SERGUEİ A. STEPANOV
- Static and dynamic analysis of super-elliptical plates
Süper-eliptik plaklarınstatik ve dinamik analizi
MURAT ALTEKİN
Doktora
İngilizce
2005
İnşaat MühendisliğiBoğaziçi Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF.DR. GÜLAY ALTAY