Genelleştirilmiş Weyl uzaylarında eğri şebekeleri teorisi
Theory of nets of curves in generalized Weyl spaces
- Tez No: 100725
- Danışmanlar: PROF.DR. ABDÜLKADİR ÖZDEĞER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Eğriler, Weyl uzayları, Curves, Weyl spaces
- Yıl: 1999
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
GENELLEŞTİRİLMİŞ WEYL UZAYLARINDA EGRI ŞEBEKELERİ TEORİSİ ÖZET Simetrik bir V konneksiyonuna ve V tarafından korunan simetrik, konform bir g metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda Vkgn ~2Tkgij = 0, (1) olacak şekilde bileşenleri Tk (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. Böyle bir Weyl uzayını Wn(V,g,T) ile gösterelim. T vektör alanına Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. r*-fc, V konneksiyonunun katsayılarını gösterrnek üzere (1) ile verilen uygunluk koşulundan elde edilir. Asimetrik bir V* konneksiyonuna ve V konneksiyonu tarafından korunan asimetrik, konform g* metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda genelleştirilmiş Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda, Vk*-2T^*. = 0, (2) olacak şekilde bileşenleri Tk* (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. T vektör alanına genelleştirilmiş Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. Böyle bir genelleştirilmiş Weyl uzayını W*(V*,#*, T*) ile gösterelim. W“(V, g,T) uzayına W*(V*,g',T) genelleştirilmiş Weyl uzayının eş-uzayı denir. Burada g, g tensörünün simetrik kısmıdır. ivDört bölüm içeren bu çalışmanın birinci bölümünde, genelleştirilmiş W*(W,g,T) Weyl uzayı ve bunun eş-uzayı ile ilgili temel tanım ve özellikler verilmiştir. g tensörünün g~ ' = A g konform dönüşümü altında A = Xp A şeklinde değişen A büyüklüğüne g tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir. A uydusunun V and V konneksiyonlarına göre, VA ve vA ile gösterilen kovaryant türevleri sırasıyla VkA = VkA-pTkA (3) ve VlA = VkA-PT*kA (4) ile tanımlanmıştır. n-boyutlu bir Weyl uzayında tanımlanmış lineer bağımsız ^, \, ??., vn vektör alanları tarafından oluşturulan sisteme bir şebeke denir ve 8 = ( vx, ^,..., vn ) ile gösterilir. Wn (W,g,T) uzayına ait 8 = (^, v2,..., vn) şebekesinin her bir vektör alanı geriye kalan vektör alanlarının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa 8 şebekesine birinci cins Chebyshev şebekesi denir. Eğer 8 şebekesine ait n - 1 boyutlu alan elemanları geriye kalan vektör alanının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa şebeke ikinci cins Chebyshev şebekesi adını alır. İ=T*? (r*s) > h = f»$ (r^5) > H&V* (*,c,r,' = l,2,...,n) şeklinde tanımlanan r, p, n fonksiyonlarına 8 şebekesinin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik eğrilikleri; ?: = t vfcr' = i;î. h = -&kvk% = pTvi, e^v^vi^vi vektör alanlarına da şebekenin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik vektör alanları denir. Burada (3) sembolü s indisi üzerine toplam alınmayacağını göstermektedir. n *. n. 8 şebekesi için Ş^ bi = 0 ise şebekeye b-şebekesi, ^ cl = 0 olması halinde s=l s=l * T ise şebekeye c-şebekesi adı verilir. Belirli bir r değeri için V [**>,-] = 0 ise, 8şebekesine r-metriksel Chebyshev şebekesi, r nin her değeri için V[kvi\ = O ise, şebekeye kuvvetli metriksel Chebyshev şebekesi denir. ikinci Bölümde, (2) uygunluk koşulunu kullanarak, asimetrik V* konneksiyonunun U-k katsayıları L)k = ^k + \i n« 9 w + nj» 9(hk) + n}* gfa } g*{H) = v)k + Q)k şeklinde elde edilmiştir. Burada f2*-fc, V konneksiyonunun burulma tensörünün bileşenleri, T%jk ise V konneksiyonunun katsayılarını göstermektedir. Genelleştirilmiş W*(V,g*,T) Weyl uzayına ve Wn(V,g,T) eş-uzayma ait 8 şebekesini gözönüne alalım. Once, 6 şebekesinin W*(V,g*,T) ve Wn(W,g,T) uzaylarına göre birinci cins Chebyshev eğrilikleri, ikinci cins Chebyshev eğrilikleri ve geodezik eğrilikleri. arasındaki ilişkiler bulunarak Wn(V,g,T) uzayına göre birinci cins, ikinci cins Chebyshev veya geodezik şebeke olan 6 şebekesinin W*(S7,g*,T) uzayına ait aynı cinsten bir şebeke olması için gerek ve yeter koşullar, sırasıyla, Vt <?i* = 0 (r^s), %&kQjik = 0, vjfQ)k = 0 şeklinde ispat edilmiştir. 6 şebekesi Wn(V,g,T) ve W*(V :g*,T) uzaylarına göre 6-şebekesi veya c-şebekesi ise, sırasıyla, bağıntıları geçerlidir. Burada fî;, V konneksiyonunun Vranceanu vektörüdür. V konneksiyonunun burulma tensörü ^ = 1737(^-4%) koşulunu sağlarsa, V konneksiyonuna yarı-simetrik konneksiyon denir. Eğer koşulu sağlanırsa V konneksiyonu i?-konneksiyonu adını alır. vı8 şebekesi Wn(V,#,T) ve W*(V,g*,T) uzaylarına göre birinci cins Chebyshev şebekesi olsun ve V konneksiyonunun yarı-simetrik olduğunu kabul edelim. Bu durumda, V konneksiyonunun Vranceanu vektörü cos £ g*{ji) îîj - ttı vl VJ = 0. (r ^ s) denklem sisteminin çözümüdür. Eğer 8, Wn(V,g,T) ve W*ÇV,g*,T) uzaylarının her ikisine göre metriksel bir Chebyshev şebekesi ise ”jftjw = 0 ihj,k = l,2,...,n) koşulları sağlanır. Burada fj, 8 şebekesinin karşıt şebekesine ait v vektör alanının bileşenleridir. Bu bölümde, son olarak, yarı-simetrik E konneksiyonuna sahip genelleştirilmiş Weyl uzayında birinci Bianchi Özdeşliğinin geçerli olduğu gösterilmiştir. Üçüncü Bölümde, önce, Wn+1(V 7, g*ap,Ts) (a, /3,j,8 = l,2,...,n+l) uzayının WnÇVk,g*j,Tı) (i,j,k,l = l,2,...,n) hiperyüzeyinin temel denklemleri elde edildikten sonra bazı şebeke cinslerinin örneğin, Wn (Vfc, g*j,Tı) uzayına ait birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev şebekeleri, geodezik şebekeler, b-şebekeleri, c-şebekeleri ve metriksel Chebyshev şebekelerinin teorisi verilmiştir. Metriksel Chebyshev şebekeleri ile ilgili olarak aşağıdaki teorem elde edilmiştir: 8 şebekesi Wn(Vk,g*j,Tı) ve Wn+1(V^} g^iTs) uzaylarına göre r-metriksel Chebyshev şebekesi ise vi[O^xtx]x}l-(l\k] = 0 koşulları sağlanır. 8 kuvvetli metriksel Chebyshev şebekesi ise, Wn(Vk,g*j,Tı) hiperyüzeyi ile Wn+1(V7,5*yö, Ts) uzayının burulma tensörleri arasında fyfc - ^-ya xk xı xp ilişkisi mevcuttur. vııHiperyüzeye ait C eğrisinin VT teğet vektörü doğrultusundaki n normal vektör alanının mutlak türevi vr ye paralel, yani T ı T A T ise, C eğrisine W^(Vk,g*j,Tı) hiperyüzeyinin bir eğrilik çizgisi denir. Eğer n normal vektör alanının VT doğrultusundaki mutlak türevi v ye dik, yani ( V V; ntt ) <7M) f = f ( V; n° ) ^ f = 0 ise, Wn ( Vfc, 5*-, Ti) hiperyüzeyine ait Ç eğrisine hiperyüzeyin bir asimptotik çizgisi denir. Bu bölümde son olarak, n eğrilik çizgileri ailesi ve n asimptotik çizgileri ailesinin Wn+lCV^,g*p,Tg) uzayına göre birinci cins Chebyshev veya geodezik şebeke oluşturma koşulları elde edilmiştir. Dördüncü Bölümde, simetrik bir metrik tensöre sahip Norden uzaylarında Chebyshev şebekeleri, geodezik şebekeler, 6-şebekeleri ve c-şebekeleri incelenmiştir. vııı
Özet (Çeviri)
THEORY OF NETS OF CURVES IN GENERALIZED WEYL SPACES SUMMARY An n- dimensional differentiable manifold having a symmetric connection V and a symmetric conformal metric tensor g preserved by V is called a Weyl space. In local coordinates we have the compatibility condition ykgij-2Tkgij = 0, (1) where Tk(k = 1, 2,..., n) are the components of the covariant vector field T called the complementary vector field of the Weyl space. Such a Weyl space will be denoted by Wn(V,g,T). Let Tljk denote the coefficients of the connection V. Then, from the compatibility condition given by (1) we get ^k^[jk]-{SiiTh + SihTj--gligikTl). An n-dimensional differentiable manifold having an asymmetric connection V and an asymmetric conformal metric tensor g* preserved by V is called a generalized Weyl space. In local coordinates, we then have v;^--2r^*. = o, (2) where Tk (k = 1,2,...,n) are the components of the covariant vector field T* called the complementary vector field of the generalized Weyl space which will be denoted by W*(V*, g*,T*). The Weyl space W“(V, g, T) is called the associate space to the generalized Weyl space W*(V*,g',T), where g is the symmetric part oig'. IXThis work contains four chapters. In Chapter I, the fundamental definitions and properties concerning the generalized Weyl space W*(V*,g*,T) and its associate Weyl space are given. An object A is called a satellite with weight {p} of the fundamental tensor g, if under a renormalization of g of the form 'g - X2 g it changes according to the rule A = Xp A. The prolonged covariant derivatives of the satellite A relative to V and V denoted respectively by V A and V A are defined by VkA = VkA-pTkA (3) and VlA = VkA-pT*kA. (4) A set of n linearly independent vector fields v,v,...,v defined on an n- dimensional Weyl space is called a net which will be denoted by S = (v v v ) u - \ 1 ) 2 ' ”' ' n ). The net 8 in WnÇV,g, T) is said to be a Chebyshev net of the first kind if every vector field belonging to 8 is parallelly translated along the integral curves of the remaining field of the net. The net 8 in Wn(V,g,T) is said to be a Chebyshev net of the second kind if every (n - l)-dimensional area element belonging to 8 is parallelly translated along the integral curves of the remaining field of the net. 3 The vector fields a1, b{, d defined respectively by are called the first Chebyshev, the second Chebyshev and the geodesic vector fields of the net 8 relative to W^Vj^T), where the symbol (s) indicates that the summation on s will not be made. The net 8 is said to be a b-net or a c-net if its Chebyshev vectors of the n s second kind and the geodesic vectors satisfy the respective conditions y^ b- = 0 s=land S3 c% - 0. If for a fixed r, the condition Vj* v^ = 0 holds, 6 is said to be a 8=1 ' metrically r-Chebyshev net where the bracket indicates the antisymmetrization. If this condition holds for all r = 1, 2,..., n the net is named as a strongly-metrically Chebyshev net. In Chapter II, by using the compatibility condition (2) we first obtain the coefficients LXjk of the asymmetric connection V in the form L)k = r)k + \ [ nhkl g*Uh) + n* 9ihk) + n% 5(*w) ] gw = rjk + Q)k where n*-fe and Vjk are, respectively, the components of the torsion tensor of the connection V and the coefficients of the Weyl connection V. We next consider the net 6 belonging to the generalized Weyl space W*(V,g*,T) and its associate Weyl space Wn(V,g,T) and find the relations between the first, the second Chebyshev curvatures and the geodesic curvatures of 6 relative to W*(V*, g*, T) and W“(V, g, T). Then we prove that, if the net 6 is a Chebyshev net of the first kind, the second kind or a geodesic net relative to Wn(V,<7, T) it will also be a net of the same kind for W*(V,g*,T) if and only if, the respective conditions vjfQ)k = 0 (r^s), ®&kQjik = 0, vJtQ)k = 0 are satisfied. Furthermore, if the net 8 is a b- net or a c-net relative to WnÇV,g, T) and W*(V,g*, T) we have the respective relations s=l where fi,- is the Vranceanu's vector of the connection V. If the components of the torsion tensor of the connection V are given by n - 1 then V is called a semi-symmetric connection. If, the condition v;a-v;nfc = o XIis satisfied, V is named as an jE-connection. Let 8 be a Chebyshev net of the first kind relative to WnÇV,g,T) and W*(V,g*,T) and suppose that the connection V is semi-symmetric. In this case, the Vranceanu's vector of V is a solution of the system of equations cos £ g<ji) ilj - 0/ vTl VJ = 0 (r ^ s). If the net 8 is a metrically Chebyshev net relative to both Wn(V,g,T) and W*(V',g*,T), then the conditions ”iîî{.-=0 (i,;,fc = l,2,...,n) are satisfied where the vector vj are components of the vector field v belonging to the net conjugate to 8. Finally, it is shown that the first Bianchi identity is valid for a generalized Weyl space having a semi-symmetric ^-connection. In Chapter III, we first obtain the fundamental equations for a hypersurface Wn(V k,g*j,Ti) (i,j,k,l = 1,2,...,n) of the generalized Weyl space Wj+1(V^, glp,Ts) (a,j3,i,8 = l,2,...,n + 1) and then give the theory of nets of several kinds, i.e. Chebyshev nets of the first, the second kind, geodesic nets, b-nets, c-nets and metrically Chebyshev nets belonging to Wn(Vk,g*j,Ti). Concerning the metrically Chebyshev nets we have the theorem: If 8 is an r-metrically Chebyshev net relative to W^(V^,^-,T{) and W^+1(V^,glp,Ts) then the conditions vi[^axtx-J4-n}k} = o are satisfied. Moreover, if 8 is strongly metrically Chebyshev net, then we obtain the relation fyk = ^-ya Xt xl x0 between the torsion tensors of Wn(Vk,g*j,Ti) and Wn+l(V^,g^p,Ts), respectively. xnIf the absolute derivative of the normal vector field na in the direction of the tangent vector field v of the curve C belonging to the hypersurface is parallel to f, i.e..pi 7*“. T ' then Ç is called a line of curvature of Wn (Vfc, g*j,Ti). A curve Ç belonging to Wn(Vfc,$£,T/) is called an asymptotic line of Wn(Vk,g*j,Ti) if the absolute derivative of the normal vector field n”in the direction of v is orthogonal to v, i.e. ( V V; na ) g\aP) f = f (V'k n° ) g*{ap) f = 0. We close this chapter by finding the conditions for the nets formed by n-families of lines of curvature or by n-families if asymptotic lines to be Chebyshev nets of the first kind or geodesic nets relative to W/n+i(V7,5'*/3,T5). In the fourth Chapter, we consider the Norden spaces having a symmetric metric tensor and study the Chebyshev nets, geodesic nets, 6-nets and c-nets belonging to such as spaces. xm
Benzer Tezler
- Çoklu amaçların çözümlemesinde amaç programlaması ile genelleştirilmiş ters yaklaşımı ve yem sanayiinde bir uygulama
Goal programming and generalieed inverse approaches in the multi-objective analysis and application in feed industry
HASAN BAL
- Ampirik dağılımlar ve genelleştirilmiş lambda dağılımının M/M/1 kuyruk modeli simülasyonunda kullanımı
Başlık çevirisi yok
BERNA DENGİZ
Doktora
Türkçe
1986
İstatistikGazi ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. YALÇIN EROL
- İzometriler ve diferansiyel geometri
Başlık çevirisi yok
NEJAT EKMEKÇİ
Yüksek Lisans
Türkçe
1987
MatematikGazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU
- Bertrand eğri çiftleri üzerine genelleştirmeler
Başlık çevirisi yok
NAZMİ ERDOĞAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1986
MatematikGazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU
- Regresyon denklemlerinde varyansların eşitsizliği ve düzeltme yöntemleri
Başlık çevirisi yok
E.ŞEBNEM YOLSAL