Genelleştirilmiş kovaryant türevin weyl geometrisinde bazı uygulamaları
Some application of prolonged covariant derivative in weyl geometry
- Tez No: 46489
- Danışmanlar: PROF.DR. ÖZDEĞER ABDULKADİR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1995
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 22
Özet
GENELLEŞTİRİLMİŞ KOVARYANT TÜREVİN WEYL GEOMETRİSİNDE BAZI UYGULAMALARI ÖZET Burulmasız bir konneksiyoııa sahip n-boyutlu bir Wn manifoldunda, gij metrik tensörü ile Vk koııneksiyonu arasında Vfctfij - 2gijTk = O uygunluk koşulu varsa, Wn maııifolduna bir Weyl uzayı denir ve Wn(gij,Tk) şeklinde gösterilir. Burada Tk bir kovaryant vektör alanı olup Weyl uzayının komplemanter vektörü veya normalizatörü adını alır[l]. A bir skaler fonksiyon olmak üzere Wn(gij,Tk) uzayında metrik tensörün ğij = A2Sij şeklindeki bir dönüşümü altında, Tk kovaryant vektör alam fk = Tk + dkln\ şeklinde değişmektedir. gij tensörünün ğij = X2gij şeklindeki bir normlaması altında bir A büyüklüğü A = XPA şeklinde değişiyorsa, A ya QİJ tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir[2]..A, gij nin {p} ağırlıklı bir uydusu olmak üzere, dkA = dkA-pTkA şeklinde tanımlanan dkA ifadesine.A'nın genelleştirilmiş türevi denir. VfeA = VkA - PTkA şeklinde tanımlanan VkA büyüklüğüne, A'nın genelleştirilmiş kovaryant türevi denir. Burada VkA alışılmış kovaryant türevdir[2]. vGenelleştirilmiş türev ve genelleştirilmiş kovaryant türev bir uydunun ağırlığım korur. Fiziksel problemlerin ele alındığı bazı çalışmalarda[3], belirli bir metrik seçilmekte ve bu kısıtlama altında bazı teoriler geliştirilmektedir. Bu çalışmada ise bu kısıtlama ortadan kaldırılarak, incelemeler tüm metrik sınıflan için doğru olacak şekilde yapılmıştır. Riemann geometrisinde metrik tensörüıı kovaryant türevinin sıfır olma sına karşılık, Weyl geometrisinde metrik tensörün genelleştirilmiş kovaryant türevi sıfırdır. Bu nedenle hesaplarda genelleştirilmiş kovaryant türevi kullanmak kolaylık sağlamaktadır. Çalışmada, genelleştirilmiş türev ve genelleş tirilmiş kovaryant türevin uyduların ağırlığını koruma özelliklerinden büyük ölçüde yararlanılmıştır. ikinci bölümde, genelleştirilmiş geodezik koordinatlar tanımlanmış, ve bundan yararlanarak, Weyl geometrisi için birinci ve ikinci Bianchi özdeşlikleri ispatlanmıştır. Bilindiği gibi, Riemann geometrisinde konneksiyon katsayıları metrik ten sor ve bileşenlerinin kısmi türevleri cinsinden ifade edilmektedir. Bu çalışmada, rljk Weyl konneksiyon katsayılarının dk9ij - dkgij - 2Tkgij olduğu gözönüne alınarak, metrik tensör ve onun genelleştirilmiş türevleri cinsinden r}fc = 29%l \pkgil + ®igkl ~ dt9jk) şeklinde ifade edilebileceği gösterilmiştir. Verilen bir P0 noktası için, (dkgij) P0 = 0 olacak şekilde bir koordinat sistemi seçilmiş ve bunun sonucu olarak (Tljk)p0 = 0 elde edilmiştir. Bu şekilde tanımlanan koordinat sistemi genelleştirilmiş geodezik koordinat sistemi olarak adlandırılmıştır. Genelleştirilmiş geodezik koordinatlar yardımıyla Riemann geometrisin- dekine benzer şekilde, sırasıyla, birinci Bianchi ve ikinci Bianchi özdeşlikleri R-ijk + Rjki + -Rfcij = o V,Jîfiife + V*J*fy + V;i&, = 0 şeklinde elde edilmiştir. Metrik tensörün genelleştirilmiş kovaryant türevinin sıfır olduğu gözönüne alınırsa, ikinci Bianchi özdeşliği, VtRmijk + Vfc-Rmi/j + VjRmikl = 0 vişekline girer. Weyl uzaylarında, seçilen p, q vektörlerinin belirlediği yönlerdirmedeki K kesitsel eğriliği R = RhijkPhqipjqk (ghjgik - 9hk9ij)phqipjqk ' şeklinde tanımlannııştır[4]. ikinci bölümün sonunda, Rienıann geometrisindeki Schur Teoremi Weyl uzayları için aşağıdaki şekilde ifade edilmiş ve ispatlanmıştır. Teorem (Schur). Kesitsel eğrilik Wn in her noktasında seçilen yönlerdirmeden bağımsız ise Wn bir Riemann uzayıdır. Koordinatları ara(a = l,2,---,n + l) olan Wn+ı(gab,Tc) Weyl uzayının, koordinatları ul{i = 1,2,...,ra) olan Wn(gij,Tk) hiperyüzeyini gözönüne alalım. Wn ve Wn+ı in metrikleri arasında gij=gabxaix) (i,j = l,2,---,n ; a, b = 1,2,...,n + 1) bağıntıları mevcuttur. Burada xf, xa nın ul ye göre kovaryant türevini göstermektedir. Wjt-i-i e ait ve gabnanb = 1 olacak şekilde normlanmış olan, normal vektörün kontravaryant bileşenleri na olsun. Wn de tanımlı {xf, na} hareketli Çatısı ile, {xla,na} karşıt hareketli çatısı arasında nax1 = 0 nax\ = 0 x\x{ = 8) bağıntıları vardır[l]. Çalışmanın üçüncü bölümünde, Reküran Weyl uzaylarımn tanımı verilmiş ve Reküran Weyl uzaylarının hiperyüzeyleri incelenmiştir. Bu nedenle ön çalışma olarak, Weyl hiperyüzeyleri için, sırasıyla, Gauss ve Mainardi- Codazzi denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilmiştir. ?ttpijk == »'pijk 4“ ?tidbcexpxixjxk VjfcWy - Vjü>ik + RdbcexbixCjxtnd = ° Burada Qpijk hiperyüzeyin oj{j ile gösterilen ikinci esas formunun Sylveste- rianım göstermektedir [5]. Reküran Riemann uzayları, herhangi bir kovaryant vektör alanı k için Vfeiîftjj/ = 4>kRhijl olarak tammlanmıştır[6]. Enghiş[7] makalesinde Reküran Riemann uzaylarım çeşitli açılardan incelemiştir. » viiBu çalışmada ise Riemann geometrisine paralel bir yol izlenerek, Reküran- Weyl uzayları aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. Sıfırdan farklı herhangi bir (j)k{^ Tfc) kovaryant vektör alanı için, VkRhijl = kRhijl şartını sağlayan Weyl uzaylarına Reküran-Weyl uzayları denir. Burada k rekürans vektörü olarak adlandırılır. Teorem. Eğrilik tensörünün genelleştirilmiş türevi sıfır ise Wn Riemann uzayıdır. Reküran Weyl uzayları için aşağıdaki teorem ispatlanmıştır. Teorem. Reküran- Weyl uzaylarında k + 2Tfe bir gradient vektördür. Üçüncü bölümün sonunda, Reküran- Weyl uzaylarının hiperyüzeyleri in celenmiş ve aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem 1. Reküran- Weyl uzaylarının hiperyüzeyleri aşağıdaki bağıntıyı sağlar. v r-tt-ijkh Yr-t^ijkh ~ » r* 'ijkh Yr^'ijkh + (VfcWjft - VhUjk)uHr + (VfetLİjfc - VkU)ih)ujr + (VjWifc - V,Wfcj)wfer Teorem 2. Reküran- Weyl uzayının hiperyüzeyinin ikinci esas formu ğr&ijkh - Vrttijkh = (VfcWjfe - VftWjfcVir + (VfeWifc - VkUih)ujr + (VyWfcj - ViLükj)u}kr + (VjtCft,- - VjUhi)u}kr bağıntısını sağlıyorsa hiperyüzey rekürandır. Burada ^r = ^«z”hiperyüzeyin rekürans vektörüdür. Teorem 3. Weyl-reküraıı uzayın total ombilik hiperyüzeyinin Ricci tensö rünün anti simetrik kısmı VrR[jh] = rR\jh] viiibağıntısını sağlar. Teorem 4. Reküran-Weyl uzayının total ombilik hiperyüzeyinin ortalama eğriliğinin genelleştirilmiş türevi sıfır ise hiperyüzey bir Riemann uzayıdır. Çalışmada söz konusu olan uyduların ağırlıkları aşağıdaki tablo ile verilmiştir. IX
Özet (Çeviri)
SUMMARY It is well known that an n-dimensional manifold Wn is said to be a Weyl space if it has a conformal metric tensor gij and a symmetric connection V* satisfying the compatibility condition given by the equation Vfcgfjj - 2Tkgij = 0 where Tfc denotes a covariant vector field. In some papers dealing with physical problems, one usually chooses a fixed metric and develop a theory under this restriction. In this work, we examine the properties of Weyl spaces without this restriction. Our basic purpose is to obtain relations which are valid for any metric belonging to the conformal class of metrics. To do this, the method of prolonged covariant derivative is used. t> This work contains three chapters. In the first chapter, basic definitions of Weyl Geometry are given. In the second chapter, generalized geodesic coordinates are defined and Bianchi identities for Weyl spaces are proved. In the third chapter we first derive the Gauss and Mainardi-Codazzi rela tions and then give the definition of Weyl- Recurrent spaces and examine the hypersurfaces of Weyl- Recurrent spaces. IV
Benzer Tezler
- Conformal mapping of nets in n-dimensional weyl hypersurfaces
n-boyutlu weyl hiperyüzeyleri üzerindeki şebekelerin konform tasviri
Z.İNANÇ AKDENİZCİ
- Weyl manifoldları üzerinde bazı özel konneksiyonlar
Some special connections on Weyl manifolds
İLHAN GÜL
Doktora
Türkçe
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ELİF CANFES
- Weyl uzaylarında sonsuz küçük dönüşümler
İnfinitesimal transformations in weyl spaces
GÖRKEM ŞEVİK
Yüksek Lisans
Türkçe
2004
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. ELİF ÖZKARA CANFES
- A semiclassical kinetic theory of the Dirac particles
Dirac parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramı
EDA KILINÇARSLAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÖMER FARUK DAYI