Ricci çeyrek simetrik konneksiyona sahip weyl manifoldu üzerindeki dönüşümler
Transformations on the weyl manifold admitting a ricci quarter symmetric connection
- Tez No: 1018834
- Danışmanlar: PROF. DR. AYŞE FÜSUN NURCAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Marmara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bugüne kadar Weyl manifoldu üzerinde simetrik, yarı simetrik ve yarı simetrik rekürant metrik konneksiyonlara göre projektif eğrilik tensörü incelenmiştir. Ancak, Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre yalnızca eğrilik tensörü ve özellikleri incelenmiş olup projektif eğrilik tensörü dikkate alınmamıştır. Bu çalışmada, Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü incelenerek konuyu bir adım öteye taşımak amaçlanmıştır. Giriş bölümünde Weyl manifoldu üzerinde tanımlanmış konneksiyonların ve konu hakkında yapılan bazı çalışmaların tarihsel olarak seyri özet olarak sunulmuştur. Giriş bölümünün ilk alt başlığında simetrik konneksiyona sahip Weyl manifoldu ve bazı özellikleri, ikinci alt başlığında ise yarı simetrik konneksiyona sahip Weyl manifoldu ve bazı önemli özellikleri verilmiştir. İkinci bölümde Weyl manifoldu üzerinde tanımlanan Ricci çeyrek simetrik konneksiyon üzerinde durulmuştur. Bölümün ilk alt başlığında Ricci çeyrek simetrik konneksiyonun elde edilişi ve ikinci alt başlığında ise Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre eğrilik tensörü ve bazı önemli özellikler aşağıdaki iki teoremde ifade edilmiştir: Teorem 2.2.1: Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre tanımlanan (1,3) tipindeki eğrilik tensörü █(R ̃_ijk^h=R_ijk^h-π^h S_ijk+π_i S_jk^h+E_ijk^h-E_ikj^h#(2.2.7) ) şeklindedir. Teorem 2.2.2: Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre eğrilik tensörü aşağıdaki eşitlikleri gerçekler: █(R ̃_mijk+R ̃_mikj=0 ⇔ R ̃_ijk^h+R ̃_ikj^h=0#(2.2.12) ) █(R ̃_mijk+R ̃_imjk=4g_mi ∇_([k) ϕ_(j])#(2.2.13) ) █(R ̃_hjk^h=R_hjk^h=2n∇_([k) ϕ_(j])#(2.2.14) ) █(R ̃_mijk+R ̃_mjki+R ̃_mkij=π_i S_mjk+π_j S_mki+π_k S_mij+S_mi (π_kj-π_jk ) ) █( +S_mj (π_ik-π_ki )+S_mk (π_ji-π_ij )#(2.2.15) ) Üçüncü bölümde Weyl manifoldu üzerinde tanımlanan değişik tipteki konneksiyonlara göre projektif eğrilik tensörleri incelenmiştir. İlk alt başlıkta projektif dönüşüm altında invaryant kalan W_ijk^h tensörünün elde ediliş yöntemi verilmiştir. İkinci alt başlıkta simetrik konneksiyona sahip Weyl manifoldu üzerinde projektif eğrilik tensörü ve bazı özellikleri, üçüncü alt başlıkta ise yarı simetrik konneksiyona sahip Weyl manifoldu üzerinde projektif eğrilik tensörü ve bazı özellikleri verilmiştir. Dördüncü alt başlıkta tezin orijinal kısmını oluşturan Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörünün çıkarılışı ve bu tensörün bazı ilginç özellikleri sunulduktan sonra aşağıdaki teoremlere yer verilmiştir: Teorem 3.4.1: Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü W ̃_ijk^h=R ̃_ijk^h-S_i^h ∇_([j) π_(k])+S_k^h π ̅_ij-S_j^h π ̅_ik+□(1/2) A_ijk^h+□((δ_i^h)/(n+1)) [(R ̃_jk-R ̃_kj )-□(1/2) Rπ_l π_k S_j^l-□(1/2) π_l S ̃_jk^l+2π_([k) S_(j]) ] █(+□(1/(n^2-1)) [δ_j^h {(R ̃_ki+nR ̃_ik )+□(1/2) (A_ki+nA_ik )}-δ_k^h {(R ̃_ji+nR ̃_ij )+□(1/2) (A_ji+nA_ij )}]#(3.4.8) ) şeklindedir. Burada A_ijk^h , A_ij ve S ̃_jk^h büyüklükleri, sırasıyla, █(A_ijk^h=π_j A_ik^h-π_k A_ij^h-π_i S_jk^h#(3.4.8.a) ) █(A_ij=A_ijh^h=π_j A_i-π_h A_ij^h-π_i S_j#(3.4.8.b) ) █(S ̃_jk^h=S_jk^h+□(1/2) π_j A_k^h-□(1/2) π_k A_j^h#(3.4.8.c) ) olarak tanımlanmıştır. Teorem 3.4.2: Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü aşağıdaki özellikleri sağlar: █(W ̃_mijk+W ̃_mikj=□((-1)/2(n+1) ) g_mi Rπ_l (π_k S_j^l+π_j S_k^l )#(3.4.11) ) █(W ̃_ijk^h+W ̃_ikj^h=□((-δ_i^h)/2(n+1) ) 〖Rπ〗_l (π_k S_j^l+π_j S_k^l )#(3.4.12) ) █(W ̃_hjk^h=□(n/(n+1)) π_([j) ∇_(k]) R-□(1/2) π_h S_jk^h+□(1/2(n+1) ) 〖Rπ〗_l π_k S_j^l#(3.4.13) ) Teorem 3.4.3: Weyl manifoldu üzerinde Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü için 1.Bianchi eşitliği █(W ̃_ijk^h+W ̃_jki^h+W ̃_kij^h=〖δ_i^h Λ_jk+δ〗_j^h Λ_ki+δ_k^h Λ_ij#(3.4.20) ) şeklindedir. Burada Λ_ij büyüklüğü Λ_ij=1/2(n+1) (├ A_ji-┤ A_ij-Rπ_l π_j S_i^l-π_l S ̃_ij^l+4π_([j) S_(i]) ) olarak tanımlıdır. Çalışmanın dördüncü bölümünün ilk alt başlığında herhangi bir konneksiyona göre eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliği elde edilerek aşağıdaki teorem ve sonuçlara yer verilmiştir: Teorem 4.1.1: Herhangi bir ∇ ̂ konneksiyonuna göre R ̂_ijk^h eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliği █(∇ ̂_l R ̂_ijk^h+∇ ̂_k R ̂_ilj^h+∇ ̂_j R ̂_ikl^h=R ̂_ijs^h T ̂_lk^s+R ̂_ils^h T ̂_kj^s+R ̂_iks^h T ̂_jl^s#(4.1.4) ) bağıntısı ile verilir. Sonuç 4.1.1: Simetrik (burulmasız) konneksiyona göre eğrilik tensörü için II.Bianchi eşitliği ∇_l R_ijk^h+∇_k R_ilj^h+∇_j R_ikl^h=0 şeklindedir. Sonuç 4.1.2: Yarı simetrik konneksiyona göre eğrilik tensörü için II.Bianchi eşitliği ∇ ̅_l R ̅_ijk^h+∇ ̅_k R ̅_ilj^h+∇ ̅_j R ̅_ikl^h =2(S_k R ̅_ijl^h+S_j R ̅_ilk^h+S_l R ̅_ikj^h ) şeklindedir. Sonuç 4.1.3: Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre eğrilik tensörü için II. Bianchi eşitliği 〖∇ ̃ 〗_l R ̃_ijk^h+〖∇ ̃ 〗_k R ̃_ilj^h+〖∇ ̃ 〗_j R ̃_ikl^h=2(π_k R ̃_(is[l)^h S_(j])^s+π_l R ̃_(is[j)^h S_(k])^s+π_j R ̃_(is[k)^h S_(l])^s ) şeklindedir. Dördüncü bölümün ikinci alt başlığında ise bu çalışmada incelenen konneksiyonlara göre projektif eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliklerine yer verilmiştir ve aşağıdaki teoremler elde edilmiştir: Teorem 4.2.1: Simetrik (burulmasız) konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliği ∇_l W_ijk^h+∇_k W_ilj^h+∇_j W_ikl^h=δ_j^h ψ_ikl+δ_l^h Ψ_ijk+δ_k^h Ψ_ilj şeklindedir. Teorem 4.2.2: Yarı simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliği ∇ ̅_l W ̅_ijk^h+∇ ̅_k W ̅_ilj^h+∇ ̅_j W ̅_ikl^h=-2(S_l W ̅_ijk^h+S_k W ̅_ilj^h+S_j W ̅_ikl^h )+δ_i^h F ̅_jkl+δ_j^h ψ ̅_ikl+δ_k^h ψ ̅_ilj +δ_l^h ψ ̅_ijk şeklindedir. Teorem 4.2.3: Ricci çeyrek simetrik konneksiyona göre projektif eğrilik tensörü için II. Bianchi özdeşliği ∇ ̃_l W ̃_ijk^h+∇ ̃_k W ̃_ilj^h+∇ ̃_j W ̃_ikl^h=2(π_k W ̃_(is[l)^h S_(j])^s+π_l W ̃_(is[j)^h S_(k])^s+π_j W ̃_(is[k)^h S_(l])^s )+M ̃_kijl^h+V ̃_kijl^h +δ_i^h F ̃_kjl+δ_j^h ψ ̃_lik+δ_l^h ψ ̃_kij+δ_k^h ψ ̃_jil +(∇ ̃_l M ̃_ijk^h+∇ ̃_k M ̃_ilj^h+∇ ̃_j M ̃_ikl^h ) şeklindedir.
Özet (Çeviri)
To date, the projective curvature tensor has been studied on Weyl manifolds with respect to symmetric, semi-symmetric, and semi-symmetric recurrent metric connections. However, only the curvature tensor and its properties have been examined with respect to the Ricci quarter-symmetric connection, and the projective curvature tensor has not been considered. In this study, the projective curvature tensor on Weyl manifolds with respect to the Ricci quarter-symmetric connection is examined, aiming to take the subject one step further. The introduction section provides a summary of the historical development of connections defined on Weyl manifolds and some related studies. The first subsection of the introduction section presents Weyl manifolds with symmetric connections and some of their properties, while the second subsection presents Weyl manifolds with semi-symmetric connections and some of their important properties. Section 2 focuses on the Ricci quarter-symmetric connection defined on the Weyl manifold. The first subsection of the chapter presents the derivation of the Ricci quarter-symmetric connection, while the second subsection presents the curvature tensor with respect to a Ricci quarter-symmetric connection on the Weyl manifold and some of its important properties in the following two theorems: Theorem 2.2.1: The curvature tensor of type (1,3) defined with respect to a Ricci quarter symmetric connection on the Weyl manifold is in the form of █(R ̃_ijk^h=R_ijk^h-π^h S_ijk+π_i S_jk^h+E_ijk^h-E_ikj^h#(2.2.7) ) Theorem 2.2.2: The curvature tensor with respect to a Ricci quarter symmetric connection on the Weyl manifold satisfies the following features: █(R ̃_mijk+R ̃_mikj=0 ⇔ R ̃_ijk^h+R ̃_ikj^h=0#(2.2.12) ) █(R ̃_mijk+R ̃_imjk=4g_mi ∇_([k) ϕ_(j])#(2.2.13) ) █(R ̃_hjk^h=R_hjk^h=2n∇_([k) ϕ_(j])#(2.2.14) ) █(R ̃_mijk+R ̃_mjki+R ̃_mkij=π_i S_mjk+π_j S_mki+π_k S_mij+S_mi (π_kj-π_jk ) ) █( +S_mj (π_ik-π_ki )+S_mk (π_ji-π_ij )#(2.2.15) ) In Section 3, projective curvature tensors are examined with respect to different types of connections defined on the Weyl manifold. The first subsection provides the method for obtaining the tensor W_ijk^h, which remains invariant under projective transformation. The second subsection presents projective curvature tensor with respect to a symmetric connection on the Weyl manifold and some of its properties, while the third subsection presents projective curvature tensor with respect to a semi-symmetric connection on the Weyl manifold and some of its properties. In the fourth subsection which constitutes the original part of the thesis, the projective curvature tensor with respect to a Ricci quarter-symmetric connection on the Weyl manifold is derived and some of its noteworthy properties of this tensor are presented. Subsequently, the following theorems are stated: Theorem 3.4.1: Projective curvature tensor with respect to a Ricci quarter symmetric connection on the Weyl manifold is given by: W ̃_ijk^h=R ̃_ijk^h-S_i^h ∇_([j) π_(k])+S_k^h π ̅_ij-S_j^h π ̅_ik+□(1/2) A_ijk^h+□((δ_i^h)/(n+1)) [(R ̃_jk-R ̃_kj )-□(1/2) Rπ_l π_k S_j^l-□(1/2) π_l S ̃_jk^l+2π_([k) S_(j]) ] █(+□(1/(n^2-1)) [δ_j^h {(R ̃_ki+nR ̃_ik )+□(1/2) (A_ki+nA_ik )}-δ_k^h {(R ̃_ji+nR ̃_ij )+□(1/2) (A_ji+nA_ij )}]#(3.4.8) ) where █(A_ijk^h=π_j A_ik^h-π_k A_ij^h-π_i S_jk^h#(3.4.8a) ) █(A_ij=A_ijh^h=π_j A_i-π_h A_ij^h-π_i S_j#(3.4.8b) ) █(S ̃_jk^h=S_jk^h+□(1/2) π_j A_k^h-□(1/2) π_k A_j^h#(3.4.8c) ) Theorem 3.4.2: Projective curvature tensor with respect to a Ricci quarter symmetric connection on the Weyl manifold satisfies the following properties: █(W ̃_mijk+W ̃_mikj=□((-1)/2(n+1) ) g_mi Rπ_l (π_k S_j^l+π_j S_k^l )#(3.4.11) ) █(W ̃_ijk^h+W ̃_ikj^h=□((-δ_i^h)/2(n+1) ) 〖Rπ〗_l (π_k S_j^l+π_j S_k^l )#(3.4.12) ) █(W ̃_hjk^h=□(n/(n+1)) π_([j) ∇_(k]) R-□(1/2) π_h S_jk^h+□(1/2(n+1) ) 〖Rπ〗_l π_k S_j^l#(3.4.13) ) Theorem 3.4.3: On a Weyl manifold, the first Bianchi identity for the projective curvature tensor with respect to the Ricci quarter-symmetric connection is given by the relation █(W ̃_ijk^h+W ̃_jki^h+W ̃_kij^h=〖δ_i^h Λ_jk+δ〗_j^h Λ_ki+δ_k^h Λ_ij#(3.4.20) ) the magnitude Λ_ij is defined as Λ_ij=1/2(n+1) (├ A_ji-┤ A_ij-Rπ_l π_j S_i^l-π_l S ̃_ij^l+4π_([j) S_(i]) ) In the first subsection of the 4th chapter of the study, the second Bianchi identity for the curvature tensor with respect to an arbitrary connection is obtained and the following theorem and results are presented: Theorem 4.1.1: For any ∇ ̂ connection, the second Bianchi identity for the curvature tensor R ̂_ijk^h is given by the relation █(∇ ̂_l R ̂_ijk^h+∇ ̂_k R ̂_ilj^h+∇ ̂_j R ̂_ikl^h=R ̂_ijs^h T ̂_lk^s+R ̂_ils^h T ̂_kj^s+R ̂_iks^h T ̂_jl^s#(4.1.4) ) Result 4.1.1: II. Bianchi identity for the curvature tensor under a symmetric (torsion-free) connection is given by the relation ∇_l R_ijk^h+∇_k R_ilj^h+∇_j R_ikl^h=0 Result 4.1.2: II. Bianchi identity for the curvature tensor with respect to a semi-symmetric connection is given by the relation ∇ ̅_l R ̅_ijk^h+∇ ̅_k R ̅_ilj^h+∇ ̅_j R ̅_ikl^h=2(S_k R ̅_ijl^h+S_j R ̅_ilk^h+S_l R ̅_ikj^h ) Result 4.1.3: II. Bianchi identity for the curvature tensor with respect to a Ricci quarter symmetric connection is given by the relation 〖∇ ̃ 〗_l R ̃_ijk^h+〖∇ ̃ 〗_k R ̃_ilj^h+〖∇ ̃ 〗_j R ̃_ikl^h=2(π_k R ̃_(is[l)^h S_(j])^s+π_l R ̃_(is[j)^h S_(k])^s+π_j R ̃_(is[k)^h S_(l])^s ) In the second subheading of the fourth chapter, II. Bianchi identities for the projective curvature tensor according to the connections considered in this study are given, and the following theorems are obtained: Theorem 4.2.1: II. Bianchi identity for the projective curvature tensor with respect to a symmetric (torsion-free) connection is given by the relation ∇_l W_ijk^h+∇_k W_ilj^h+∇_j W_ikl^h=δ_j^h ψ_ikl+δ_l^h Ψ_ijk+δ_k^h Ψ_ilj Theorem 4.2.2: II. Bianchi identity for the projective curvature tensor with respect to a semi-symmetric connection is given by the relation ∇ ̅_l W ̅_ijk^h+∇ ̅_k W ̅_ilj^h+∇ ̅_j W ̅_ikl^h=-2(S_l W ̅_ijk^h+S_k W ̅_ilj^h+S_j W ̅_ikl^h )+δ_i^h F ̅_jkl+δ_j^h ψ ̅_ikl+δ_k^h ψ ̅_ilj +δ_l^h ψ ̅_ijk Theorem 4.2.3: II. Bianchi identity for the projective curvature tensor with respect to the Ricci quarter symmetric connection is given by the relation ∇ ̃_l W ̃_ijk^h+∇ ̃_k W ̃_ilj^h+∇ ̃_j W ̃_ikl^h=2(π_k W ̃_(is[l)^h S_(j])^s+π_l W ̃_(is[j)^h S_(k])^s+π_j W ̃_(is[k)^h S_(l])^s )+M ̃_kijl^h+V ̃_kijl^h +δ_i^h F ̃_kjl+δ_j^h ψ ̃_lik+δ_l^h ψ ̃_kij+δ_k^h ψ ̃_jil +(∇ ̃_l M ̃_ijk^h+∇ ̃_k M ̃_ilj^h+∇ ̃_j M ̃_ikl^h )
Benzer Tezler
- Weyl manifoldları üzerinde bazı özel konneksiyonlar
Some special connections on Weyl manifolds
İLHAN GÜL
Doktora
Türkçe
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ELİF CANFES
- Hemen hemen α-kosimplektik f-manifoldların geometrisi üzerine
On the geometry of almost α-cosymplectic f-manifolds
SELAHATTİN BEYENDİ
- Kenmotsu manifoldlar ve bunların bazı altmanifoldları
Kenmotsu manifolds and their some submanifolds
SİBEL SULAR
- Hemen hemen parakontak para-norden manifoldlar
Almost paracontact para-norden manifolds
ESEN KEMER KANSU
- S-manifoldlarda çeyrek simetrik koneksiyonlar
Quarter symmetric connections on S-manifolds
AYŞEGÜL GÖÇMEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
MatematikGazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYSEL TURGUT VANLI