SINIR DEĞER PROBLEMLERİNDE YİNELEMELİ BİR YAKLAŞIM
AN ITERATIVE APPROACH TO BOUNDARY VALUE PROBLEMS
- Tez No: 1021570
- Danışmanlar: PROF. DR. FATMA AYDIN AKGÜN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Belirtilmemiş.
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
İkinci mertebeden bir diferansiyel denklemin çözüm aralığının uç noktalarında verilen koşulları sağlayan çözümün aranması olarak tanımlanan sınır değer problemleri, fiziksel olayların matematiksel modellenmesinde merkezi bir öneme sahiptir. Bu problemlerin büyük bir kısmında çözümün kapalı formu elde edilemediğinden, yaklaşık çözüm için kararlılığı ve yakınsama hızı yüksek sayısal yöntemlere ihtiyaç duyulmaktadır. Tekil sınır değer problemleri, çözüm aralığının başlangıç noktalarında veya katsayılarında meydana gelen tekillikler nedeniyle hem analitik hem de sayısal çözüm süreçlerinde ciddi zorluklar teşkil etmektedir. Bu tür problemlerin en karakteristik özelliği olan belirsizlik noktaları, standart sayısal yöntemlerin kararlılığını bozmakta ve elde edilen sonuçların hassasiyetini düşürmektedir. Bu çalışmada, söz konusu hesaplama zorluklarını aşmak amacıyla Green fonksiyonu tabanlı ve yüksek yakınsama hızına sahip yeni bir yinelemeli yaklaşım üzerinde durulmuştur. Tez çalışması kapsamında, tekil diferansiyel denklemler Green fonksiyonu kullanılarak eşdeğer integral formlarına dönüştürülmüştür. Bu dönüşüm süreci, problemdeki tekilliği operatör yapısı içerisinde eriterek kararlı bir hesaplama zemini oluşturmuştur. Çalışmada, Khan-Green yineleme yönteminin tekil problemler üzerindeki yakınsama performansı, Picard-Green gibi geleneksel tekniklerle kapsamlı bir şekilde karşılaştırılmıştır. Bunlara ek olarak, sınır koşullarının sonsuzda tanımlandığı yarı-sonsuz aralıktaki sınır değer problemleri de ele alınmıştır. Sonsuzdaki koşulun sonlu bir hesaplama aralığına indirgenmesindeki güçlük, bu problemleri klasik tekniklerle çözmeyi zorlaştırmaktadır. Bu çalışmada Green fonksiyonu yarı-sonsuz aralığa taşınarak Khan-Green yöntemi bu sınıfa uygulanmış ve Picard-Green yöntemiyle karşılaştırılmıştır. Sayısal bulgular, tekilliğin ve sonsuz sınırın yol açtığı kararsızlık probleminin Green fonksiyonu temelli operatör dönüşümüyle giderildiğini göstermektedir. Khan-Green yöntemi; tekil, tekil olmayan ve yarı-sonsuz problemlerin tamamında Picard-Green yöntemine kıyasla birkaç mertebe daha düşük hata üretmiş, daha az iterasyonda yakınsayarak yöntemin üstünlüğünü sayısal olarak ortaya koymuştur.
Özet (Çeviri)
Boundary value problems, which seek a solution of differential equation satisfying prescribed conditions at the endpoints of the solution interval, are of central importance in mathematical modeling. Since closed-form solutions are rarely available, numerical methods with high stability and convergence rates are required. Singular boundary value problems pose serious difficulties analytical and numerical solution processes due to singularities arising at the endpoints of the solution interval. The points of indeterminacy, which are the most characteristic feature of these problems, compromise the stability of standard numerical methods and reduce the accuracy of the obtained results. In this study, Green's function-based iterative approach with a high convergence rate is investigated to overcome these computational difficulties. Within the framework of this thesis, singular differential equations are transformed into equivalent integral forms through appropriate Green's functions. This transformation embeds the singularity within the operator structure, establishing a stable computational foundation. On this basis, the convergence performance of the Khan-Green iteration method is comprehensively compared with conventional techniques such as the Picard-Green method. In addition, boundary value problems on semi-infinite intervals, where the boundary conditions are defined at infinity, are also addressed. The difficulty of reducing the condition at infinity to a finite computational interval makes such problems hard to solve with classical techniques. In this study, by extending the Green's function to the semi-infinite interval, Khan-Green method is applied to this class and compared with Picard-Green method. The numerical findings show that the instability caused by the singularity and the infinite boundary is eliminated through the Green's function-based operator transformation. For singular, non-singular and semi-infinite problems, Khan-Green method produces errors several orders of magnitude smaller than Picard-Green method and converges in fewer iterations, demonstrating its superiority numerically.
Benzer Tezler
- Comparison of shooting method and complementary functions method in linear stability problems
Lineer stabilite problemlerinde atış metodu ve tamamlayıcı fonksiyonlar metodunun karşılaştırılması
HAMMAD JAMIL
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Makine MühendisliğiÇukurova ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NAKİ TÜTÜNCÜ
- Fake news classification using machine learning and deep learning approaches
Makine öğrenimi ve derin öğrenme yaklaşımlarını kullanarak sahte haber sınıflandırması
SAJA ABDULHALEEM MAHMOOD AL-OBAIDI
Yüksek Lisans
İngilizce
2023
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolGazi ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ TUBA ÇAĞLIKANTAR
- Investigating conjugate heat transfer in a square cylinder via Lattice boltzmann method
Lattice boltzmann yaklaşımıyla kare silindirde birleşik ısı transferinin incelenmesi
AANIF HUSSAIN
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BAYRAM ÇELİK
- A new nonlinear lifting line method for configuration aerodynamics and deep learning based aerodynamic surrogate models
Konfigürasyon aerodinamiği analizi ve derin öğrenme bazlı aerodinamik dijital model oluşturmak için yeni bir doğrusal olmayan taşıyıcı çizgi metodu
HASAN KARALİ
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Havacılık ve Uzay Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MAHMUT ADİL YÜKSELEN
PROF. DR. GÖKHAN İNALHAN
- Geodesic based hybrid similarity criteria for approximate spectral geodesic based hybrid similarity criteria for approximate spectral clustering of large medical data sets
Büyük medikal veri setlerinin yaklaşık spektral öbeklenmesi için jeodezik tabanlı benzerlik ölçütleri
BERNA YALÇIN
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. İSA YILDIRIM