Ünivalent fonksiyonların fraktal geometri ile ilişkisi
Relationship between univalent functions and fractal geometry
- Tez No: 1025880
- Danışmanlar: PROF. DR. HALİT ORHAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Atatürk Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışması, karmaşık analiz ile fraktal geometri arasında köprü kuran temel bir sınıf olan ünivalent (yalınkat) fonksiyonların, fraktal yapıların oluşumu ve analizi üzerindeki rolünü incelemektedir. Çalışmanın amacı, ünivalent fonksiyonların konformal (açı koruyan) dönüşüm özelliklerinin, kendine benzer ve ölçekten bağımsız geometrik yapıların ortaya çıkışını nasıl şekillendirdiğini teorik ve sayısal yaklaşımlarla ortaya koymaktır. Bu doğrultuda, öncelikle univalent fonksiyonlar kuramının temel kavramları, \mathcal{S} sınıfı ve bu sınıfın önemli alt sınıfları olan yıldızıl (\mathcal{S}^\ast) ve konveks (K) fonksiyonlar ele alınmıştır. Ardından fraktal geometrinin temel prensipleri, özellikle Hausdorff ve kutu sayma boyutları bağlamında açıklanmıştır. Tezin uygulamalı kısmında, univalent fonksiyonların iteratif davranışları; ters iterasyon yöntemi, Schwarz–Christoffel dönüşümleri ve Möbius dönüşümleri aracılığıyla analiz edilmiştir. Bu yöntemlerle elde edilen fraktal sınırlar ve limit kümeleri, iki disiplin arasındaki yapısal etkileşimin somut örnekleri olarak sunulmuştur. Ayrıca Python programlama dili kullanılarak Julia kümeleri, Mandelbrot kümesi ve konformal deformasyona uğratılmış iteratif fonksiyon sistemleri görselleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar, univalent fonksiyonların yalnızca teorik bir analiz aracı değil, aynı zamanda karmaşık geometrik yapıların modellenmesi ve görselleştirilmesinde güçlü bir matematiksel çerçeve sunduğunu göstermektedir.
Özet (Çeviri)
This thesis investigates the role of univalent (single-valued) functions, a fundamental class bridging complex analysis and fractal geometry, in the formation and analysis of fractal structures. The aim of the study is to reveal, through theoretical and numerical approaches, how the conformal (angle-preserving) transformation properties of univalent functions shape the emergence of self-similar and scale-independent geometric structures. In this regard, the fundamental concepts of univalent function theory, the \mathcal{S} class, and its important subclasses, star {(\mathcal{S}}^\ast) and convex (K) functions, are first addressed. Subsequently, the fundamental principles of fractal geometry are explained, particularly in the context of Hausdorff and box-counting dimensions. In the applied section of the thesis, the iterative behaviour of univalent functions has been analysed using the inverse iteration method, Schwarz–Christoffel transformations, and Möbius transformations. The fractal boundaries and limit sets obtained through these methods are presented as concrete examples of the structural interaction between the two disciplines. Furthermore, Julia sets, the Mandelbrot set, and conformally deformed iterative function systems were visualised using the Python programming language. The results obtained demonstrate that univalent functions are not merely a theoretical analysis tool but also provide a powerful mathematical framework for modelling and visualising complex geometric structures.
Benzer Tezler
- Ünivalent fonksiyonların logaritmik katsayıları
Logarithmic coefficients of univalent functions
HÜKMİ KIZILTUNÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2002
MatematikAtatürk ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SEZGİN AKBULUT
- Ünivalent fonksiyonların bazı altsınıflarına ait majorasyon problemleri
In some subclasses of univalent functions majorization problems
HÜSEYİN BABA
Yüksek Lisans
Türkçe
2008
MatematikAtatürk ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EKREM KADIOĞLU
- Ünivalent fonksiyonların bazı alt sınıfları için katsayı ve fekete-szegö problemlerinin çözümü
The solution of the coefficient and fekete-szegö problems for certain subclasses of univalent functions
SELAHATTİN ÇİN
- Univalent harmonik fonksiyonların komşulukları
Başlık çevirisi yok
HÜSEYİN IRMAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1994
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. OSMAN ALTINTAŞ