İçerisinde akışkan bulunan değişken yarıçaplı elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı
Nonlinear wave propagation in fluid filled tapared elastic tubes
- Tez No: 166628
- Danışmanlar: Y.DOÇ.DR. NALAN ANTAR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2005
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 67
Özet
İÇERİSİNDE AKIŞKAN BULUNAN DEĞİŞKEN YARIÇAPLI ELASTİK TÜPLERDE NONLİNEER DALGA YAYILIMI ÖZET Bu çalışmada içi akışkanla dolu, ön gerilmeli yarıçapı değişken, ince elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı incelenmiştir. Bölüm l'de konunun tarihsel gelişimi ve bu konudaki mevcut çalışmalar sunulmuştur. Bölüm 2'de içi sıkışmaz viskoz olmayan akışkanla dolu, ön gerilmeli, yarıçapı değişken ince elastik tüpe ait alan denklemleri türetilmiştir. Bölüm 3'te kullanılacak pertürbasyon yöntemleri hakkında kısa bir özet verilmiştir. Bölüm 4'te indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak, içi sıkışmaz bir akışkanla dolu yarıçapı değişken elastik bir tüpte zayıf nonüneer dalgaların yayılımı problemi ilk olarak genel halde ve daha sonra başlangıç deformasyonunun belirli bir değeri için \ı\ katsayısının sıfır olması halinde incelenmiştir. İlk durumda evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-de Vries denklemi elde edilmiştir, /^ı = O durumunda ise evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı modifiye Korteweg-de Vries denklemi elde edilmiştir. Bu bölümün sonunda, evolüsyon denklemlerine ilerleyen dalga çözümleri sunulmuş ve dalga hızlarının, daralan tüpler için sabit yarıçaph tüpe göre artmakta olduğu ve genişleyen tüplerde ise azalmakta olduğu gösterilmiştir. Bölüm 5'de ise içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan yarıçapı değişken nice elastik tüpte nonlineer dalgaların genlik modülasyonu incelenmiştir. İndirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu evolüsyon denkleminin yalnız dalga tipi bir çözümü kabul ettiği gösterilmiş ve dalga hızı elde edilmiştir. Temel Denklemler Büyük damarlar, değişken yançaph, ince, ön gerilmeli elastik tüp yapısında ve kan da sıkışmaz bir akışkan olarak kabul edilecek olursa, nonlineer hareket denklemleri aşağıdaki gibi verilir. Yarıçapı değişken elastik tüpün hareket denklemleri:md2uldS P ~ Az(Ae + / + w)ö*2 + A2(Ae + / + u)9A2 ı d{ (/ + B) asi (A, + / + W)öz\[1 + (/' + g)2]1/2aA1/--^ ; Burada A2 statik şekil değiştirmeden sonraki eksenel germeyi, / yarıçap değişimini belirleyen fonksiyonu, //S tüp malzemesinin şekil değştirme enerjisi yoğunluğu fonksiyonunu, p akışkan basıncını, AI ve A2 asal germeleri göstermektedir. vAkışkan Denklemleri: Viskoz olmayan akışkana ilişkin yaklaşık akışkan denklemleri aşağıdaki gibi verilir 2| + (A9 + / + «)g+2(/ + |)w = 0,(2) ^ + mŞü + |E = (,(3) dt dz dz Burada, w hızın ortalama anlamda eksenel yöndeki bileşenini göstermektedir. Zayıf Nonlineer Dalgalar Bu bölümde, akışkanla dolu yarıçağı değişken elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılımı iki farklı durum için incelenmiştir. Bu tür problemlerde, aşağıda verilen tipte bir koordinat dönüşümü tanımlamak uygundur t = tl/2(z-gt), r = ^z.(4) Burada e, nonlineeritenin ve dispersiyonun küçüklüğünü karakterize eden bir parametre, g ise bir ölçek parametresi olup çözümün bir parçası olarak elde edilecektir. (4) denkleminden z çözülerek f (z) de yerine konursa f(z) = h(e,r)(5) seklini alır. Ayrıca h(e, T) fonksiyonunun ve u, w, p alan büyüklüklerinin aşağıdaki şekilde bir asimptotik seriye açılacağı kabul edilecektir h - ehı(r] + f^h^r} +..., u = eni + ^Vî + -, w = ewı + e2w2 +..., p = Po + epı + e2p2 + -.(6) (4) ve (6) ilişkileri (l)-(3) alan denklemlerinde kullanılmıştır, e'un benzer kuvvetlerinin katsayılarının sıfıra eşitlenmesi ile bir diferansiyel denklemler seti elde edilmiştir. Bu denklemler ardışık olarak çözülürse aşağıdaki değişken katsayılı Korteweg-de Vries denklemi elde edilir dU TrdU &U,.,6U n,_, - + frU-^ + t»w - MT}- = 0.(7) Bu bölümde ikinci olarak, başlangıç deformasyonunun belirli bir değeri için (j,ı katsayısının sıfir olması durumu incelenmiştir. Bu durumda nonlineer evolüsyon denklemi dejenere olur ve lineer denkleme dönüşür, zayıf nonlineerite ile dispersiyon dengelenemez. Bu durumda ölçek parametresini değiştirmek gerekir ve aşağıdaki koordinat dönüşümünü kullanmak uygun olur Ç = e(z-gt), r = e32.(8) Buna göre (6) ve (8) ilişkileri (l)-(3) alan denklemlerinde kullanılarak sonuç violarak aşağıdaki değşken katsayılı modifiye KdV denklemi elde edilir dU. TT2dU 4,,.dU dsU n,nN ^+XıU^+x;h^^+^w = 0-(9) Bölüm 4'ün sonunda (7) ve (9) ile verilen evolüsyon denklemlerine ilerleyen dalga çözümleri sunulmuş ve dalga yayılım hızlan da verilmiştir. Nonlineer Dalga Modülasyonu Bölüm 5'te içi viskoz olmayan akışkan ile dolu değişken yarıçaph elastik tüplerde nonlineer dalgalann genlik modülasyonu incelenmiştir. Dispersiyon bağıntısının incelenmesi ve problemin bir şuur değer problemi olarak kabul edilmesinin bir sonucu olarak aşağıdaki biçimde bir koordinat dönüşümü tanımlanmıştır £ = e(* - At), T = e*z.(10) Burada e nonlineeritenin zayıflığını karakterize eden küçük bir parametre, A ise çözümden belirlenecek olan bir sabittir, z 'yi r cinsinden çözüp f (z) fonkiyonun ifadesinde yazarsak f(z) = h(e,T)(11) elde ederiz. h(e, r} fonksiyonunun ve alan değişkenleri olan u, w ve p'nin aşağıdaki formda asimptotik seriye açılabileceğini varsayacağız fe(e,r) = efcı(r) + e2fc2(r) +..., u - eu\ + e2u2 + e3«3 +..., W = 6Wı + ?*W2 + ?3W3 +,.., P = po + epı + e2p2 + e3p3 +.".(12) Burada ıtı,...,p3 (z, t) hızlı değişkenleri ve (£, r) yavaş değişkenlerinin birer fonksiyonudurlar. (10) ve (12) ilişkileri (1) - (3) ile verilmiş olan alan denklemlerinde kullanılır ve elde edilen denklem sistemi e'nun çeşitli mertebelerinden kuvvetlerini içerecek biçimde düzenlenirse bir diferansiyel denklem takımı elde edilir. Bu denklemler ardışık olarak çözüldüğünde aşağıdaki değişken katsayılı nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir.dU d2U Irrl2rr.,,.dU r,2, N. f. ^-^- + Atı^TT + to\U\U + zMıCr)- + [^h{(r] + ^(r] ör oç*aÇ +W*^)?1C7 = 0.(13) Bu bölümün sonunda (13) ile verilen evolüsyon denklemine ilerleyen dalga tipi çözüm sunulmuş ve ilerleyen dalga ve zarf dalgalarının hız ifadeleri verilmiştir. vii
Özet (Çeviri)
NONLINEAR WAVE PROPAGATION İN FLUID FILLED TAPERED ELASTIC TUBES SUMMARY in this work, nonlinear wave propagation in a prestressed tapered thin elastic tube filled with an incompressible inviscid fluid is studied. in Chapter l, the historical evolution of the subject and some works on this area are presented. in Chapter 2, the basic equations governing the motion of a prestressed tapered thin elastic tube filled with an incompressible inviscid fluid are derived. in Chapter 3, a brief summary of the perturbation methods that we shall utilize in this work is given. in Chapter 4, by employing the reductive perturbation method, the propagation of weakly nonlinear waves in a tapered elastic tube filled with an incompressible inviscid fluid is studied for the general case and then for the case in which the coefficient p,\ is zero for a particular value of the initial deformation. For the first case, variable coefficient Korteweg-de Vries equation is obtained as the evolution equation. For the second case, variable coefficient modified Korteweg-de Vries equation is obtained as the evolution equation. At the end of this chapter, the progressive wave solutions to these equations are given and it is shown that the wave speeds increase with distance for narrowing tubes while they decrease for expanding tubes. in Chapter 5, amplitude modulation of nonlinear waves in fluid filled tapered thin elastic tubes is investigated. By employing the reductive perturbation method, the evolution equation is obtained as nonlinear Schrödinger equation with variable coefficient. it is shown that this evolution equation admits a solitary wave type of solution with variable wave speed. Basic Equations Treating the arterial tree as a tapered, thin walled, prestressed elastic tube and blood as an incompressible fluid, the nonlinear equations of motion are given as follows. Nonlinear eguations of a tapered elastic tube : m82ul8Z P ~ Az(Ae + / + n) at2 + Az(Ae + / + u)ÖA2 ı d { (/ + g) as] (A0 + / + n)öz\[1 + (/' + g)2]V2öAl/'/ ; where A2 is the stretch ratio in the axial direction after the static deformation, / is the function which defines the tapering, /^E is the strain energy density function of the tube material, p is the fluid pressure and \\ and Aa are the stretch ratios in the final configuration. viiiEguations offluid: The approximate equations of an inviscid fluid may be given as follows ndu,,,.dw _,,, du. n.“. 2¥ + ( ö + / + w)âJ+ (/ +öJ)u; = 0'(2) dw dw dp,. W|-”&+£-0' where w is the averaged axial fluid velocity. Weakly Nonlinear Waves in this part, the propagation of weakly nonlinear waves in a fluid filled tapered elastic tube is investigated in two cases. For this type of problems, it is convenient to introduce the following type of stretched coordinates ç = eV*(z-gt), r = e3/2z,(4) where e is a small parameter measuring the weakness on nonlinearity and dispersion, g is a scale parameter to be determined from the solution. By using (4), z is obtained in terms of e and r. Introducing z into f (z), we obtain f (z) = h(e,r).(5) We further assume that h(e, r) and the field quantities can be expressed as some asymptotic series of the form h = e/iı(r) + ?*hz(r} +..., u = euı + ?2u% +..., w = ewı + ?2w2 +..-, p = po + epı + ?2p2 +...,(6) where ttı,...,p2 are some unknown functions of the stretched coordinates (£, T). The expansions (4) and (6) are mtroduced into field equations (l)-(3). By setting the coefficients of Hke powers of e to zero, we obtain a set of differential equations. If these equations are solved simultaneously, we obtain the following variable coeflîcient Korteweg-de Vries equation dU TTdU &U,..dU n_ - + ^C/- + /x2- - ^(r)~ = 0.(7) in the second part of this chapter, the case in which the coeffcient /^ is zero for a particular value of the initial defonnation is investigated. in this case, nonlinear evolution equation degenerates and transforms into the linear equation; weak nonlinearity and dispersion can not be balanced. We should change the scale parameter and it is convenient to introduce the following coordinate transformation Ç = e(z-gt), r = e3z.(8) The expansions (6) and (8) are introduced into the field equations (l)-(3) and as a result the following variable coeffcient modified Korteweg-de Vries equaiton is ixobtained dU. TT2dU 4L,.dU &U n,ft, â7+wâ{+^2(T)â?+^âF = 0-(9) At the end of Chapter 4, the progressive wave solution to the evolution equations (7) and (9) are presented. Also the propagation speeds are given. Nonlinear Wave Modulation in Chapter 5, the problem of the amplitude modulation of nonlinear waves in fluid filled tapered elastic tubes is investigated. Analyzing the dispersion relation and considering that the problem of concern is the boundary value problem, the following stretched coordinates may be introduced e = e(*-A*), r = e2z,(10) where e is a small parameter measuring the weakness of nonlinearity and A is a scale parameter to be determined from the solution. By using (4), z is obtained in terms of e and r. Introducing z into /(z), we obtain f(z} = h(t,r}.(11) We further assume that h(e, r) and the field variables can be expanded into an asymptotic series of e as follows /i(e,T) = e/i1(r) + e2/ı2(r) +..., u = euı + ?2u2 + ?3u3 +..., w = etüı + e2iü2 + 63ws +..., p = Po + cpı + ?2p2 + e3p3 + -.,(12) where Uı,...,p3 are functions of the f ast variables (z, t) and the slow variables (Ç, r). Introducing (10) and (15) into the field equations (l)-(3) and setting the coefficients of the like powers of e to zero, we obtain a set of differential equations. By solving these equaitons simultaneously, we obtain the following variable coefficient nonlinear Schrödinger equation 'ar + ^lJe + ^U^U + l^h^r^ + [^ıM + M5^2(r) +/,6^e]^ = o.(is) At the end of this chapter, a progressive wave type of solution is presented to equation (13) and the speeds of the progressive wave and the envoloping wave are given. x
Benzer Tezler
- Ön gerilmeli elastik tüp içerisinde pulsatif akımın incelenmesi
An investigation of pulsatile flow in a prestressed thin elastic tube
İLKAY BAKIRTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik ÜniversitesiMekanik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HİLMİ DEMİRAY
- 3 boyutlu yazıcı ile basılmış, odak ayarlı kolajen katkılı zarlı mikro akışkan mercek
A 3D-printed tunable fluidic lens with collagen-enriched membrane
ESAT CAN ŞENEL
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
Biyomühendislikİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ONUR FERHANOĞLU
- Zeolite filled polmeric gas separation membranes
Zeolit katkılı polimerik gaz ayırma membranları
ÇİĞDEM ATALAY
Yüksek Lisans
İngilizce
1994
Kimya Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiDOÇ.DR. BİLGÜL TANTEKİN ERSOLMAZ
- Design and structural finite element analysis of an artificial neural network based optimized alpha type stirling engine
Yapay sinir ağı bazlı optimize edilmiş bir stırlıng motorunun tasarımı ve yapısal sonlu elemanlar analizi
CENGİZ YILDIZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ATA MUGAN
DR. ÖĞR. ÜYESİ FATMA BAYATA