Symmetry in some overdetermined problems
Bazı aşırı belirğin problemlerde simetri
- Tez No: 393017
- Danışmanlar: DOÇ. DR. CENİ BABAOĞLU
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 57
Özet
Bu yüksek lisans tez çalışmasında iki temel konu ele alınmıştır. Bunlardan ilki eliptik aşırı belirgin problemleri, ikincisi ise parabolik aşırı belirgin problemleri kapsamaktadır. Eliptik yapıda temel bir problem ele alınmak istendiğinde Du = c0d0; W bölgesinde; u = 0; ¶W sınırında: denklemleri uygun bir seçimdir. Burada D Laplasyeni, d0 dirac delta fonksiyonunu, ¶W ise W bölgesinin sınırını göstermektedir. Yukarıdaki verilen probleme ¶nu = F(jxj); ¶W sınırında; şeklinde bir ek sınır koşulu getirdiğimizde problem aşırı belirgin bir hal alacaktır. Burada, F, sonradan belirlenecek bir fonksiyon olmak üzere, n iç normal doğrultusunu göstermektedir. Ayrıca, W Rn (n 2 ) bölgesi sınırlı C1 sınıfından seçilmiştir. Yukarıda verilen sınır değer probleminde W bölgesinin hangi koşullar altında küre olabileceği ilginç bir soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Aşırı belirgin bir eliptik problemde görülen ek sınır koşulu altında bölgenin G Green fonksiyonu ele alındığında jÑGj sınırda sabit bir değer olarak elde edilir. Bu ise bize W bölgesinin bir küre olduğu sonucunu verir. Diğer yandan, iki fazlı bir yapıda u+ ve u olarak iki Green fonksiyonu ile çalışılmaktadır. W bölgesi içinde örneğin orijinde kutup noktasına sahip olan u+ Green fonksiyonu ve W bölgesinin dışında sonsuzda kutuba sahip olan u Green fonksiyonu arasında bir ilişki elde edilebilir. Bu ilişki W bölgesinin sınırında Green fonksiyonlarının normalleri cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: ¶nu+ = F(¶nu); ¶W sınırında: Burada F verilen bir fonksiyon olup, hangi özellikleri sağlaması durumunda W bölgesinin bir küre olabileceği sorusuna cevap aranmaktadır. ˙Iki fazlı durumdan çok fazlı duruma geçildiğinde, aşırı belirgin problem için simetrinin gösterilmesi biraz daha zahmetli ve detaylı hesaplar içermektedir. Bu çalışmada, bu hesapların yanısıra çok fazlı durumda aşırı belirgin Dpu , p-Laplace denklemi için sonuçlar genelleştirilmiştir. Bir parabolik problemin incelenmesinde en temel denklem olan ısı denklemi Hu = d0; Dl bölgesinde; u = 0; ¶Dl sınırında; şeklinde verilen sınır değer problemi olarak incelenebilir. Burada H = D ¶t ısı operatörü olup, Dl ısı yuvarını, ¶Dl ise ısı yuvarının sınırını göstermektedir. Parabolik sınır değer problemine ek olarak j¶nxuj = l jxj 2t ; sınır koşulunun tanımlanması problemi aşırı belirgin bir sisteme dönüştürür. Isı denklemindeki u çözümünün ek sınır koşulunu da sağladığı gösterilebilir. Burada ¶nxu; nx doğrultusundaki doğrultu türevidir. Tezde çalışılan ikinci temel konu, yukarıda verilen parabolik sınır değer probleminde W bölgesinin hangi koşullar altında bir ısı yuvarı olabileceğidir. Parabolik problem yapı itibari ile ısı yuvarları ile ilgili olduğundan teknik olarak eliptik problemden farklı yöntemler kullanmamızı gerektirir. Örneğin, elliptik bir sistemde maksimum prensibi sonuç verirken, parabolik bir sistemde Hopf lemmasından faydalanmamız gerekmektedir. Parabolik problemde de eliptik problemde olduğu gibi çok fazlı ortamda genel sonuçlar elde edilmiş, özel durumlarda bu sonuçların tek fazlı ve iki fazlı ortamlardaki sonuçları kapsadığı gösterilmiştir. Bu yüksek lisans tezinde, eliptik ve parabolik durumlar için aşırı belirgin simetri problemleri tek fazlı, iki fazlı ve çok fazlı durumlar için ele alınmıştır. Çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konuya genel bir giriş yapılmış, eliptik ve parabolik çok fazlı aşırı belirgin problemlerde simetri problemi ile ilgili sınır değerlerin doğrusal olmayan fonksiyonlardan oluştuğu durumda bazı bilgiler verilmiştir. Konuyla ilgili literatürde mevcut olan bazı sonuçlar da kısaca özetlenmiştir. İkinci bölümde, Laplace ve ısı denklemleri tanıtılmış, ilgili terminoloji gözden geçirilmiş; Diverjans Teoremi, Maksimum Prensibi, Hopf Lemması gibi temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir aşırı belirgin eliptik problem için küreler ele alınarak simetri analiz edilmiştir. Literatürde mevcut olan sonuçlar göz önünde bulundurularak, öncelikle, lineer olmayan sınır koşulları altında Laplace denklemi tek fazlı ortamda incelenmiştir. Ardından, problem iki fazda ele alınmıştır. Tek fazlı durum için problemin yapısı ile ilgili fikirler verilirken, iki fazlı durumda ise problemin zorlukları irdelenmiştir. Daha sonra, sonuçları genelleştirmek adına, p-Laplace operatörü ele alınmış, küre için Green fonksiyonlarının tanımları ve formları açık şekilde yazılmıştır. P-Laplace denklemi için çok fazlı versiyon detaylı olarak incelenmiştir. Elde edilen sonuçların aynı zamanda Laplace denkleminin çok fazlı durumundaki simetri özelliğini de kapsadığı belirtilmiştir. Dördüncü bölümde, parabolik aşırı belirgin bir problem için ısı yuvarları ele alınarak simetri analiz edilmiştir. Doğrusal olmayan sınır koşulları altında aşırı belirgin tek fazlı, iki fazlı ve çok fazlı durumlarda simetri kanıtlanmıştır. Diğer bir değişle, hangi ek sınır koşulları altında bölgenin bir ısı yuvarı olabileceği detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu fikirler ile birlikte benzer problemlerde küresel simetri de ifade ve ispat edilmiştir.
Özet (Çeviri)
In the present study, overdetermined symmetry problems for elliptic and parabolic cases are studied for one-phase, two-phase and multi-phase versions. The study contains five main sections. In the first section, a general introduction is given including some information about symmetry in elliptic and parabolic multi-phase overdetermined problems with nonlinear governing equations. Existing results in literature are also argued briefly. The second section is devolved to the background. Related terminology with basic definitions and theorems about Laplace and heat equations are reviewed. In the third section, symmetry for an elliptic overdetermined problem, related to balls is analysed. A general overview of existing results is given. First, Laplace equation with nonlinear boundary conditions is considered for both one-phase and two-phase cases. For one-phase case the nature of the problem is indicated. The difficulties of the problem is observed for the two-phase case. Then, p-Laplacian operator is considered and in order to generalize the results, exact definitions and forms of the Green's functions for the ball are written. Multi-phase version of the problem for the p-Laplacian is examined in detail. These results also cover the symmetry for the Laplace equation for multi-phases. In the fourth section, symmetry for a parabolic overdetermined problem, related to heat balls is analysed. The one-phase, two-phase and multi-phase versions with nonlinear overdetermined boundary conditions are proved. Along with these ideas spherical space symmetry problems for the solutions of similar overdetermined problems are also stated and proved.
Benzer Tezler
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- Bazı mühendislik problemlerinin çözümünde Lie simetrilerinin kullanılması
Use of Lie symmetries in the solution of boundary -value problems
TEOMAN ÖZER
- İki boyutlu kuantum alan teorisinde sonsuz konform simetrisi
Infinite conformal symmetry in two dimensional quantum field theory
ŞEVKET GÜNDÜZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1992
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF. DR. MAHMUT HORTAÇSU
- Altın oran ve grafik sanatlarda kullanımı
Golden rate of use in graphics arts
DENİZ DEVİREN
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
Güzel SanatlarHaliç ÜniversitesiGrafik Tasarımı Ana Sanat Dalı
YRD. DOÇ. DR. NURİ SEZER
- Kamu binaları mimari kompozisyonunun görsel algı bağlamında analizi, Ankara (1923-2014)
Analysis of architectural composition of publics buildings by context of visual perception, Ankara (1923-2014)
SHAHRZAD JAVANMANESH
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MimarlıkGazi ÜniversitesiMimarlık Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET TAYFUN YILDIRIM