Geri Dön

Discontinuous Galerkin finite elements method with structure preserving time integrators for gradient flow equations

Gradyan denklemleri için yapı koruyan zaman integratörleri ile süreksiz sonlu elemanlar yöntemi

  1. Tez No: 409133
  2. Yazar: AYŞE SARIAYDIN FİLİBELİOĞLU
  3. Danışmanlar: PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2015
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Uygulamalı Matematik Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Bilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 120

Özet

Gradyan akışlar bir enerji tarafından yönetilen ve enerjinin çözümler boyunca azaldığı sistemlerdir. Akışkanlar dinamiği, görüntü işleme, biyoloji ve malzeme bilimi gibi farklı araştırma alanlarında gradyan akış yapısına sahip şaşırtıcı şekilde pek çok kısmi türevli denklem bulunmaktadır. Bu tezde, gradyan akışlarla modellenen iki sistem üzerinde yoğunlaştık; Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemleri. Bu iki denklem malzeme biliminde faz ayrımını modellemektedir. Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemlerinin en önemli özelliği azalan enerji olduğu için, bu azalan enerji özelliğini sağlayan etkili ve doğru nümerik yöntemlerin geliştirilmesi önem kazanmaktadır. Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemlerinin uzaydaki ayrıklaştırılmasında simetrik kesintili Galerkin yöntemini kullandık. Ortaya çıkan büyük adi diferansiyel denklem sistemlerini gradyan sistem olarak yapı koruyan zaman integratörlerinden geriye doğru yapılan Euler yöntemi ve ortalama vektör alanı yöntemi ile çözdük. Geriye doğru yapılan Euler yöntemi ve ortalama vektör alanı yöntemlerinin simetrik kesintili Galerkin yöntemi ile bir araya geldiğinde şartsız olarak enerjiyi koruduğunu gösterdik. Her iki denklemin polinom ve logaritmik enerji fonksiyonları ve sabit ve değişken akışkanlık fonksiyonu ile elde edilen sayısal sonuçları bu yöntemin verimliliğini ve doğruluğunu göstermektedir. Advektif Allen-Cahn denklemi damlacık ayrılması olayındaki yüzey geriliminin basit bir modelidir. Küçük zaman ölçeği ve konvektif zaman ölçeği bu denklemin çözümünde fiziksel olmayan dalgalanmalara sebep olmaktadır. Doğrular yöntemi kullanılarak ayrıklaştırılan Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemlerinin aksine, advektif Allen- Cahn denklemini ilk önce geriye doğru yapılan Euler yöntemi ile zamanda ayrıklaştırılarak ortaya çıkan yarı liner elliptik denklemleri uyarlanabilir algoritmalarla çözdük. Bu Rothe yöntemine karşılık gelmektedir. Fiziksel olmayan dalgalanmalara bir çare olarak çözüme bağlı hata kestiriciler üzerine kurulu simetrik kesintili Galerkin yönteminin uyarlanabilir biçimini kullandık. Konveksiyonun baskın olduğu Allen-Cahn denklemi için verilen sayısal sonuçlar uyarlanabilir algoritmanın performansını göstermektedir.

Özet (Çeviri)

Gradient flows are energy driven evolutionary equations such that the energy decreases along solutions. There have been surprisingly a large number of well-known partial differential equations (PDEs) which have the structure of a gradient flow in different research areas such as fluid dynamics, image processing, biology and material sciences. In this study, we focus on two systems which can be modeled by gradient flows; Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations. These equations model the phase separation in material science. Since an essential feature of the Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations is the energy decreasing property, it is important to design efficient and accurate numerical schemes that satisfy the corresponding energy decreasing property. We have used symmetric interior penalty Galerkin (SIPG) method to discretize the Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations in space. The resulting large system of ordinary differential equations (ODEs) as a gradient system are solved by the energy stable (energy decreasing) time integrators: implicit Euler and average vector field (AVF) methods. We have shown that implicit Euler and AVF time integrators coupled with SIPG method are unconditionally energy stable. Numerical results for both equations with polynomial and logarithmic energy functions, and constant and variable mobility functions illustrate the efficiency and accuracy of this approach. Advective Allen-Cahn equation is the simplest model of surface tension in the droplet breakup phenomena. The small surface time scale and convective time scale lead to unphysical oscillations in the solution. In contrast to the discretization of Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations using the method of lines, the advective Allen-Cahn equation is first discretized in time using implicit Euler method and the resulting sequence of semi–linear elliptic equations are solved with an adaptive algorithm. This corresponds to Rothe's method. As a remedy of unphysical oscillations, an adaptive version of SIPG method based on residual based a posteriori error estimate is applied. Numerical results for convection dominated Allen-Cahn equation show the performance of adaptive algorithm.

Benzer Tezler

  1. Discontinuous galerkin finite element method for electromagnetic structure analysis: validation and applications

    Elektromanyetik yapıların analizi için süreksiz galerkin sonlu eleman yöntemi: Doğrulama ve uygulamalar

    TALHA ÇALIŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2024

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Fen Bilimleri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MUSTAFA KUZUOĞLU

  2. Optimal control and reduced order modelling of fitzhugh-nagumo equation

    Fitzhugh-nagumo denkleminin eniyilemeli kontrolü ve indirgenmiş dereceli modellemesi

    TUĞBA KÜÇÜKSEYHAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2017

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN

  3. Adaptive discontinuous Galerkin methods for convection dominated optimal control problems

    Konveksiyon ağırlıklı eniyilemeli kontrol problemlerinin uyarlamalı kesintili Galerkin yöntemleriyle çözümü

    HAMDULLAH YÜCEL

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2012

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Bilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN

  4. Error analysis of extended discontinuous Galerkin (XdG) method

    Başlık çevirisi yok

    ŞUAYİP TOPRAKSEVEN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    Kimya MühendisliğiUniversity of Cincinnati

    PROF. DONALD A. FRENCH

  5. Development of discontinuous Galerkin method 2 dimensional flow solver

    Kesintili Galerkin methodu ile 2 boyutlu akış çözücü geliştirilmesi

    OSMAN GÜNGÖR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2019

    Havacılık MühendisliğiOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Havacılık ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SERKAN ÖZGEN