Hidrojen atomu benzeri kuvantum sistemlerde baz operatörü gösterilimi ve dinamik uygulamalar
Basis operator represantation in hydrogen-like quantum systems and dynamical applications
- Tez No: 46129
- Danışmanlar: PROF.DR. METİN DEMİRALP
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1995
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 58
Özet
ÖZET Bu çalışmada, moleküllerden oluşan sistemlerin yapılarının dış etki olmaması halinde zamanla değişimi üzerinde durulmuştur. Bu amaçla, Schrödinger denkleminin incelenmesi yeterlidir. Söz konusu Schrödinger denklemi çok sayıda bağımsız değişken içerebilen kısmi türevli bir denklemdir. Çözümünün analitik olarak başarılabilmesi çok özel birkaç yapı dışında pek mümkün değildir. Bununla beraber, çözüm için sayısal yaklaştırın yöntemlerinden yararlanmak mümkündür. Ancak, işlemlerin gerçekleştirilmesi ister istemez bilgisayar kullanımı gerektirir. Bilgisayar teknolojisindeki çok hızlı gelişmeler bu tür işlemlerin daha rahat bir biçimde gerçekleştirilebilmesine olanak sağlamış olup Schrödinger denkleminin çözümü işlemini korkulur olmaktan önemli ölçüde çıkarmış bulunmaktadır. Çalışma, temelde, M. Demiralp tarafından ortaya atılan ve M. Demiralp ile H. Rabitz tarafından geliştirilmekte olan Komütatörlerin Baz Operatör Açılımı kavramına dayandırılmaktadır. Bu bağlamda, türevleme ve bağımsız değişkenin kuvvetiyle çarpma operatörlerinden oluşan operatörler açılımda ta ban küme oluşturmaktadır. Bu operatörlerin verilen bir başlangıç dalga fonksiyonu üzerinden tanımlanan beklenen değerlerinin sağladığı denklemler, dış et kiler olmaksızın oluşturulmakta ve gözardı etmelerle sonlu sayıya indirgenerek elde edilen yaklaşık denklemler Runge Kutta Yöntemi'yle sayısal olarak incelenmektedir. Sonuçta, Baz Operatörü Açıbmı'nın Kuvantum Dinamiksel incelemelerde ve dolayısıyla Molekülsel Devinimlerin Optimal Denetimi ile ilgili denklemlerin çözümünde bir yöntem olarak kullanılabileceğinin ilk belirtileri elde edilmektedir.
Özet (Çeviri)
SUMMARY BASIS OPERATOR REPRESENTATION IN HYDROGEN-LIKE QUANTUM SYSTEMS AND DYNAMICAL APPLICATIONS In this work, a novel approach to the quantum dynamics of two particles which mutually interact through Coulomb potential is presented. The system under consideration is assumed to be isolated. The hydrogen-like atomic systems have the following type of kinetic energy term. B» = i(ro1Vlî + m2V?) Where mi,m2 denote the masses of the particles while V\ and Vi stand for the velocities. The symbols PatltPVl,Pzi and P*%tPy2>P*2 represent the momento of the particles. The Hamiltonian of this system can be written as follows H(f,q) = E(p) + V(q,t) ? *k W + P?> + F“'> + 2^ W + P» + jP») + V{”' f) (2) VIwhere q denotus the distance between two particles. The quantum mechani cal equivalent of this Hamiltonian can be obtained via the following operator definitions The Schrodinger operator which characterizes the quantum motion of the system, can be denned as S = E-H. The insertion of the following definition to this structure gives the Schrodinger operator's explicit for E = ih^ (4) Thus we can write the Schrodinger operator as below: 2 + V(rl2,t) (5) Where 1*12 is used for the position operator q All the properties such as position, momentum and energy can be defined via wave function, i>, which satisfies the below equation Sij> = 0 =? ih^ğ- = H1> (6) at vuOur aim is to find the necessary equations for the evaluation of the expectar tion value of certain desired entities which can be related to some ohservables. To this end, we may start with the simplification of the eq(6) via seperation of the variables. If we denote center-of- mass-coordinates by (xm> ym> zm) and re lative coordinates as (x, fj>, 7), then, the system Hamiltonian takes the following form JT = h f»i *?{Z+£+&+*V*T (10) 7 - raindsintj* This permits us to seperate out the angular dependencies by asumming the following structure F(r, #, *, t) = Ftf, r).F2(0).Fa(4) (11) This produces the following individual equations for Fi(t,r),F2(&) and 2imlm2 r2 0FX 2r 3Fİ r2 PFi h (mi + ro2) Fi (*, r) dt Fr dr Fx dr2 2ı»ıra2r2 »W»/M=c (12) vm1 1 &Fa 1 GPF2 cosfl 19fi=c,. mn20Fs d* F* 69* sinö F2 M K ' After some necessary calculations one can write the following structures F2(Co*6) = (1 - Co82$)°G(cob $) (14) Fs(4>) = «**>* (16) The radial part of the equations for F\t F2 and F& implies that *V(M) = - TT+ "J +(- + -2JV+T7T-^-T-îr^0 (17) drz rar \r ** / h{mi + m2) dt We can find the solution of the last ordinary differential equation by using series expansion. Instead of this solution, we can take an infinite number of or dinary differential equations which are constructed to determine the evolutions of an infinite number of temporal entities which are basically defined through the expectation values of some operators. In this work different operators are chosen as Q and some generalizations have been made, generation is considered and a recursive operator Qm+i=HQm-QmB (18) The efforts to find a general explicit term for Qm failed. Although some struc ture seemed to be valid proofs via mathematical induction could not be possible In order to solve eq(!7), we employed the following basis operators *--miY+(iYM IXwhere m, n stand for integers. By an ordering with repect to the sum of to, n produces an infinite vector whose elements satisfy the following equations /»»( (20) These functions fmn(i) are written as a lineer combination of the expectation value of Pmn base operators. This leads us to the following infinite system of ordinary differential equations f = Af (21) The left uppermost square truncations from the infinite matrix A seruc to approximate the equations set. Thus, certain approximate structures can be generated for the solution. But we had to do give some first values to the programme. These fist values are found the Rayli equation as below 9R- ur /(*)./('« {) /(r) = «-*-* (23)
Benzer Tezler
- Hidrojene benzer atomlarda ışıma şiddetinin ve Einstein katsayılarının Guseinov' un psi^alfa-ETO fonksiyonu kullanılarak hesaplanması
Calculation of radiation intensity and Einstein coefficients of hydrogen-like atoms using Guseinov' s psi^alfa-ETO function
GÜNSELİ ATEŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
Astronomi ve Uzay BilimleriGaziosmanpaşa ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BAHTİYAR MEHMETOĞLU
- Machine learning assisted force field development for nucleic acids
Nükleik asitler için makine öğrenimi destekli kuvvet alanı geliştirilmesi
GÖZDE İNİŞ DEMİR
Doktora
İngilizce
2024
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiHesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ADEM TEKİN
- Biyolojik sistemlerde oluşabilecek radikallerin molekülermodelleme yöntemleriyle incelenmesi
Investigation of radicals present in biological systems by molecular modeling methods
BUŞRA BAŞ
- Alkali elektrolizde hidrojen üretiminin kütle transfer teorisi ile incelenmesi
Investigation of hydrogen gas production in alkaline water electrolysis by applying mass transfer theory
ARZU COŞKUN AVCI
- AB-initio modelling of oxygen reduction reaction on doped graphene surface in acidic media
Katkılanmış grafen yüzey üzerindeki oksijen indirgenmereaksiyonunun asidik ortamda AB-initio modellenmesi
HASAN OZAN AVCI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Enerjiİstanbul Teknik ÜniversitesiEnerji Bilim ve Teknoloji Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ADEM TEKİN