General fractal dimensions and intermittency in coupled map lattices
Eşlenmiş tasuir örgülerde genelleştirilmiş fraktal boyutlar ve kesiklilik
- Tez No: 46573
- Danışmanlar: DOÇ.DR. AYŞE ERZAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1995
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 54
Özet
EŞLENMİŞ TASVİR ÖRGÜLERDE GENELLEŞTİRİLMİŞ FRAKTAL BOYUTLAR VE KESİKLİLİK ÖZET Çok serbestlik derecesine sahip, uzayda bir uzantısı olan sistemlerde, hem düzenli hem de düzensiz bölgelerin birarada bulundukları ve zaman içinde birlikte devindikleri bir bölge bulunur. Bu şekildeki davranışa uzay-zamansal kesiklilik adı verilir. Değişik uzay ve zaman bölgelerinde, farklı karmaşıklık derecelerine sahip bu davranışı tanımlayabilmek için sonsuz sayıda ölçeklerime üssüne ihtiyaç vardır ve böylece uzay-zamansal kesiklilik bir multifraktal dağılım olarak görülebilir. Uzay-zamansal kesiklilik, nonlineer bir dönüşüme göre hareket eden ve deterministik kaos (düşük boyutlu karmaşık davranış) gösteren eşlenmiş elemanlara sahip bir sistem yardımıyla incelenebilir. Böyle bir sisteme örnek, eşlenmiş tasvir örgülerdir. Eşlenmiş tasvir örgüler kesikli uzay ve kesikli zamanda tanımlanırlar ve nonlineer tasvirin parametreleri ile eşlenme parametrelerine bağlı olarak bir faz değişimi gösterirler. Tam kritik bölgede, bazı domenler düzgün davranırken, bazıları kaotik davranır; yani sistem kesiklilik gösterir. Tam gelişmiş türbülans da uzay-zamansal kesikliliğe bir örnektir. Bu konuda yapılan çalışmalarda, hidrodinamik hız alanlarının yapı fonksi¬ yonlarının lim( \u(x + r) - u(x}\q } ~ r?c« r-Ox şeklinde ökçeklendiği gösterilmiş ve üçüncü mertebe ölçeklenme üssü, £3, 1/3 olarak bulunmuştur. Bu denklemde, uzay ve zaman üzerinden bir ortalamayı temsil etmektedir. Deneyler, bu üslerin, ar¬ tan q değerleriyle birlikte, öngörülen değerlerden ((« = 1/3) sapmaya uğradıklarını ortaya koymuştur. Bu sapmaları açıklayabilmek için bir çok fraktal ve multifraktal model ileri sürülmüş, ancak bunların hidro¬ dinamik türbülansı tanımlayan nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerle (Navier-Stokes denklemleri) doğrudan bir ilişkileri olduğu gösterileme¬ miştir. Hidrodinamik alanların grafikleri ve bu grafiklerin alanların yapı fonk¬ siyonlarının ölçeklenme davranışlarını tanımlayan geometrileri üzerine de viçalışmalar yapılmıştır. Girdaplılık alanının, w = V x iT, geometrik özel¬ likleri incelenmiştir. Eş girdaplılık kümelerinin boyutları ve frakta! bir taşıyıcı üzerindeki girdaplılık konsantrasyonunun arasındaki ilişki ortaya konmuştur. Deneysel olarak, eş girdaplılık kümelerinin fraktal bir yapıya sahip oldukları gösterilmiş ve alanların grafiğinin kırışıklılığının bir ölçüsü olarak bir“grafik fraktal boyutu”tanımlanmıştır. Eğer hidrodinamik türbülansı tanımlayan kısmi diferansiyel denklem¬ lerin çözümleri üzerinde' Gt l ile verilir. Burada r > 2 nonlineer tasvirin parametresidir. Eşlenmemiş tasvirde, f(x}, [0,1] aralığındayken kaotik davranış gösterir. Bu aralığın dışına çıktığı zaman ise, sabit bir noktaya takılır ve orada kalır. Böylece, her noktanın kaotik ve düzenli durumlan birbirinden kolaylıkla ayrılabilir ve laminer ile türbülan bölgeler tanımlanabilir. Tasvirler eşlendiğinde ise, laminer bölgedeki bir noktanın, yanındaki komşularının türbülan ol¬ masına bağlı olarak, türbülan aralığa kayma olasılığı ortaya çıkar. Kul¬ landığımız eşlenmiş tasvir örgüde, kritik bölge, e eşlenme parametresi ve r parametresinin değerlerine bağlıdır. viiLojistik tasvir ise, /O) = Xx(l - z) olarak tanımlanır. Buarada x [0,1], x\ ise [0,4] aralığındadır. Eşlenmemiş tasvirin sabit noktalan, A > 3 için, kararlılıklarını kaybederler ve sistem kaosa yol açan periyod çiftleme davranışını gösterir. Tasvirler eşlendiğin¬ de, bazı bölgelerde, noktalar zaman içinde periyodik davranış gösterirken, bazı bölgelerde kaotik davranırlar. Bu çalışmada, periyodik harekete laminer, kaotik davranışa ise türbülan adını vereceğiz. Eşlenmiş tasvirde, A > 3.63 için, en büyük Lyapunov üsteli, negatif ile pozitif değerler arasıda hızla değişir. Böylece, 3.63 < A < 4 aralığında, A'daki ufak bir değişmenin sistemin laminer durumdan kaotik duruma atlamasına sebep olduğu kritik bir bölge oluşmaktadır. Tek boyutlu alanlar olarak düşünebileceğimiz Xi değişkenlerindeki en büyük olası değişimleri üzerinde barındıran bir L ölçeği bulunduğundan, bu saker alanların i'e göre grafiklerinin kendine afin olduklarını varsayalım. Bu grafiklerin boyutlarını bulabilmek için, L aralıklarını l boyunda aralıklara bölelim (i < L), t aralığı içindeki k ve (k + l)'inci nokta¬ ların arasındaki uzunluk bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülürse, t aralığı içinde kalan grafiğin boyu *+*/2,-f,S2.1/2 G,(O = E 1 + w^^-+ı -Xkn k=i-e/2*- *. '“J J ile bulunabilir. Burada L/(r/2] faktörü, bu büyüklüğü boyutsuzlandır- mak için gereklidir, i, t boyundaki aralıkların orta noktasıdır. L aralığı içindeki bir i boyunda aralıktaki ortalama grafik uzunluğu / 1 Nt\ //\”/î (£Ş> zaman ve bütün grafik üzerine yerleşmiş değişik L aralıkları üzerinden ortalamayı göstermektedir. Eğer grafiğin multifraktal özellikleri varsa, ölçeklenme üslerinin aralıktan aralığa değişmesi beklenir: /1 \ ~T£ 0 için azaldığı, q < 0 içinse arttığı gözlenmiştir (Bkz. Tablo 3). Tamamiyle türbülan bölgede Xi(l) için bir ölçeklenme sözkonusu olmadığından, D(q) tanımlanamamaktadır. Laminer bölgede D(q) = 23(0) = 1 bulunmuştur. Tekillik üslerinin dağılımı, doğrudan genelleştirilmiş boyutlardan he saplanabilir. Eğer, Na(£), ölçünün a tekillik üslerine sahip olduğu aralık ların sayısı ise, bu Sa alt kümesiyle bir f(a) boyutunu ilişkilendirebiliriz. Na(£) YlilAi^) toplamı, bir aynı a tekilliğini taşıyan bütün kutular, (Sa), üzerinden alt toplamlara bölünürse, a Sa V y a v y a \ -(f)'(ö“,,-(IP”olarak bulunur. Burada d, uzayın boyutudur. Böylece, korunan ölçü WOO.m < W*>~* < (i)d+m- olarak yazılabilir. Genelleştirilmiş boyutları yeniden yazarsak, p\(q-l)D(q), « / //7x q[d+/3(l)-fi] buluruz. (Ü/L)^“1”1^1^3 büyüklüğü ortalamanın dışına alınırsa, l) 3 (i) (Ç“i) q[d+.3(l)]-[d+q/3(g)l bulunur. Buradan, D{q) < -4y[^(i) - m] + d elde edilir. Kullandığımız sistemde d - 1 olduğundan, bu eşitsizlik D(q) < -4t[^(1) - /%)] + 1 halini alır. /3(g) ve.D(ç) için bulunan değerler bu denkleme yerleştirildi ğinde, eşitsizliğin gerçeklendiği görülmektedir. Yukarıdaki denkleme, genelleştirilmiş grafik boyutları ile yapı fonksi yonları arasında bulunmuş olan eşitsizlik yerleştirilirse, D{q) < ^-[C, - Cı] + 1 eşitsizliği elde edilir. Yine bu denklemde Çq ve D{q) için bulunan değerler yerine yerleştirilirse, eşitsizliğin sağlandığı, ancak, beklenileceği gibi, eşit lik olarak doğrulanmadığı görülmektedir (Bkz. Tablo 2,3). xiiEğer kırışıklığın çoklu ölçeklerime (multiscaling) özelliği varsa, genelleştirilmiş boyutlar bir aralıktan diğerine değişecektir. Bir tekillik üssü, a, tanımlayalım: a tekillik üssü, daha önce tanımlanan 7 tekillik üssüne benzemektedir. Buradan, otıg x«(«) = Şrfw = şg)' ^N (q-l)D(q) Z olduğu görülebilir. q arttırıldığında, toplama, daha küçük a değerlerine sahip aralıklardan daha fazla katkı gelecek ve daha küçük D(q) değerleri elde edilecektir. q < 0 için ise, grafiğin daha düzgün olan kısımlarına karşılık gelen büyük a değerleri toplama daha fazla katkıda bulunacak ve D(q) değerleri artacaktır. Nümerik hesaplamalarda, kritik bölgede, D(q) değerlerinin q > 0 için azaldığı, q < 0 içinse arttığı gözlenmiştir (Bkz. Tablo 3). Tamamiyle türbülan bölgede Xi(l) için bir ölçeklenme sözkonusu olmadığından, D(q) tanımlanamamaktadır. Laminer bölgede D(q) = 23(0) = 1 bulunmuştur. Tekillik üslerinin dağılımı, doğrudan genelleştirilmiş boyutlardan he saplanabilir. Eğer, Na(£), ölçünün a tekillik üslerine sahip olduğu aralık ların sayısı ise, bu Sa alt kümesiyle bir f(a) boyutunu ilişkilendirebiliriz. Na(£) YlilAi^) toplamı, bir aynı a tekilliğini taşıyan bütün kutular, (Sa), üzerinden alt toplamlara bölünürse, a Sa V y a v y a \ -(f)'(ö”,,-(IP“ olarak bulunur. Burada d, uzayın boyutudur. Böylece, korunan ölçü WOO.m < W*>~* < (i)d+m- olarak yazılabilir. Genelleştirilmiş boyutları yeniden yazarsak, p\(q-l)D(q), « / //7x q[d+/3(l)-fi] buluruz. (Ü/L)^”1“1^1^3 büyüklüğü ortalamanın dışına alınırsa, l) 3 (i) (Ç ”i) q[d+.3(l)]-[d+q/3(g)l bulunur. Buradan, D{q) < -4y[^(i) - m] + d elde edilir. Kullandığımız sistemde d - 1 olduğundan, bu eşitsizlik D(q) < -4t[^(1) - /%)] + 1 halini alır. /3(g) ve.D(ç) için bulunan değerler bu denkleme yerleştirildi ğinde, eşitsizliğin gerçeklendiği görülmektedir. Yukarıdaki denkleme, genelleştirilmiş grafik boyutları ile yapı fonksi yonları arasında bulunmuş olan eşitsizlik yerleştirilirse, D{q) < ^-[C, - Cı] + 1 eşitsizliği elde edilir. Yine bu denklemde Çq ve D{q) için bulunan değerler yerine yerleştirilirse, eşitsizliğin sağlandığı, ancak, beklenileceği gibi, eşit lik olarak doğrulanmadığı görülmektedir (Bkz. Tablo 2,3). xii
Özet (Çeviri)
Eğer kırışıklığın çoklu ölçeklerime (multiscaling) özelliği varsa, genel leştirilmiş boyutlar bir aralıktan diğerine değişecektir. Bir tekillik üssü, a, tanımlayalım: a tekillik üssü, daha önce tanımlanan 7 tekillik üssüne benzemektedir. Buradan, otıg x«(«) = Şrfw = şg)' ^N (q-l)D(q) Z olduğu görülebilir. q arttırıldığında, toplama, daha küçük a değerlerine sahip aralıklardan daha fazla katkı gelecek ve daha küçük D(q) değerleri elde edilecektir. q < 0 için ise, grafiğin daha düzgün olan kısımlarına karşılık gelen büyük a değerleri toplama daha fazla katkıda bulunacak ve D(q) değerleri artacaktır. Nümerik hesaplamalarda, kritik bölgede, D(q) değerlerinin q > 0 için azaldığı, q < 0 içinse arttığı gözlenmiştir (Bkz. Tablo 3). Tamamiyle türbülan bölgede Xi(l) için bir ölçeklenme sözkonusu olmadığından, D(q) tanımlanamamaktadır. Laminer bölgede D(q) = 23(0) = 1 bulunmuştur. Tekillik üslerinin dağılımı, doğrudan genelleştirilmiş boyutlardan he saplanabilir. Eğer, Na(£), ölçünün a tekillik üslerine sahip olduğu aralık ların sayısı ise, bu Sa alt kümesiyle bir f(a) boyutunu ilişkilendırebiliriz. Na(£) YlilAi^) toplamı, bir aynı a tekilliğini taşıyan bütün kutular, (Sa), üzerinden alt toplamlara bölünürse, a Sa V y a v y a \
Benzer Tezler
- Kentsel mekan zenginliğinin kaos teorisi ve fraktal geometri kullanılarak değerledirilmesi
Evaluating richness of urban space by using chaos theory and fraktal geometry
H. SERDAR KAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2003
Şehircilik ve Bölge Planlamaİstanbul Teknik ÜniversitesiŞehir ve Bölge Planlama Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FULİN BÖLEN
- Fraktal geometri ve hidrolik pürüzlülük
The Fractal geometry and the hydraulic roughness
SAİT ALANSATAN
- Çok-boyutlu kaotik sistemlerin senkronizasyonu ve haberleşmede kullanılması
Synchronizing multiple-dimensional chaotic systems and using them in communication
SELAHATTİN KINDIKOĞLU
Doktora
Türkçe
1999
Fizik ve Fizik MühendisliğiKaradeniz Teknik ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. RIFAT YAZICI
- Kaos analizi: Bir finansal sektör uygulaması
Başlık çevirisi yok
CAFER ERCAN BOZDAĞ
Doktora
Türkçe
1998
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET HALUK ERKUT