Bazı grup halkalarında kodların yapısı
The structure of codes over group rings
- Tez No: 488074
- Danışmanlar: PROF. DR. BAYRAM ALİ ERSOY
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 68
Özet
Dijital iletişimin öneminin artmasıyla birlikte cebirsel kodlama teorisi bilim alanı yaygın ve hızlı bir şekilde gelişmektedir. Bu anlamda kodlar için yeni inşa yöntemleri, yeni parametreler bulmak veya kodların minimum uzaklığı ya da boyutları üzerinde bazı sınırlar bulmak büyük önem arz etmektedir. Grup halkası kavramı ilk olarak Arthur Cayley tarafından (bkz. [1]) tanıtıldı. Grup halkaları birimsel elemanlar ve sıfır bölenlerce zengin olduklarından yeni kod parametreleri elde etmek için oldukça elverişli cebirsel yapılardır. Kodların birçok özelliği grup halkalarının kavramları yardımıyla çok rahat bir şekilde ifade edilebilir (bkz. [2], [3]). Grup halkaları üzerinde kodların yapısını incelediğimiz bu çalışma aşağıdaki şekilde düzenlenmiştir. Birinci bölüm literatür özeti, tezin amacı ve hipoteze ayrılmıştır. İkinci ve üçüncü bölümlerde tezin devamı için gerekli olan grup halkaları ve cebirsel kodlama teorisi hakkındaki kavram ve notasyonlar bir araya getirilmiştir. Dördüncü bölümde devresel sıfır bölen kodların yapısı bir grup halkası ailesinde çalışılmıştır. Ayrıca elde edilen bu kodların eleman sayıları ile dual kodları verilmiştir. Beşinci bölümde literatürde bir ilk olarak sabit devirli kodlar ile grup cebirleri arasında ilişki kurulmuş ve bu kodların yapısı çalışılmıştır. Ayrıca grup cebirlerindeki sıfır bölenler kullanılarak sabit devirli kodlar için bir inşa yöntemi verilmiştir. Bunlara ek olarak önerilen inşa metodu yardımıyla sabit devirli kodlar için bazı iyi kod parametreleri Çizelgelar halinde verilmiştir. Daha sonra bu kodlar içinde kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Bu kodlara bağlı olarak kuantum hata düzelten kodlar için bazı iyi kod parametreleri elde edilmiştir. Buna ek olarak (F_q + vF_q)G grup halkasındaki sabit devirli kodlardan kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Belirlenen bu kodlar için uygun bir Gray dönüşümü tanımlanarak sonlu cismi üzerinde birçok kuantum hata düzelten kod parametresi elde edilmiştir. Altıncı bölümde grup halkaları üzerinde LCD (dualleri ile kesişimi sıfır vektörü olan lineer kodlar) kodlar için bazı gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır.
Özet (Çeviri)
Due to the increasing importance of digital communications, the area of research in algebraic coding theory is broad and fast developing. In this sense, finding new construction methods, new parameters for codes or finding bounds on minimum distance or dimension of codes have a great importance. The notion of group rings was introduced by Arthur Cayley (see [1]) for the first time. Since group rings are rich in units and zero divisors, they are quite suitable algebraic structures to obtain new code parameters. Many code properties may more easily be expressed in terms of group ring properties (see [2], [3]). This work, in which we study the structure of codes over group rings, is organized as the following. The first section is devoted to the literature review, aim of the thesis and the hypothesis. Section 2 and Section 3 collects the notions and notations needed in the rest of the dissertation about group rings and algebraic coding theory. In Section 4 we study the structure of cyclic zero divisor codes over a family of group rings. In addition, we determine the number of elements of these codes and we introduced the dual codes. In Section 5 for the first time in the literature, we establish a relation between constacyclic codes and group algebras and study their algebraic structures. Further, we give a method for constructing constacyclic codes by using zero-divisors in group algebras. Some good parameters for constacyclic codes which are derived from the proposed construction are also listed. Then, we determine self dual and self orthogonal codes arising from constacyclic codes over group algebras. Also, based on these codes we obtained some good parameters for quantum error-correcting codes. Moreover, we determine self dual and self orthogonal codes arising from negacyclic codes over the group ring (F_q + vF_q)G. By taking gray image of these codes we obtained many parameters for quantum error-correcting codes over the finite field . In Section 6 we derive some necessary and sufficient conditions for LCD codes (linear codes with complementary duals) from group rings. The last section is reserved for the conclusions and future research directions.
Benzer Tezler
- Önemli zeytin (Olea europaea L.) çeşitlerinin izoenzim polimorfizmleri ve genetik özellikleri
Isoenzyme polymorphisms and genetic characteristics of important olive (Olea europaea L.) cultivars and types
SEVDA DÜLGER
Yüksek Lisans
Türkçe
2004
ZiraatÇanakkale Onsekiz Mart ÜniversitesiBahçe Bitkileri Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. MURAT ŞEKER
- Module codes in group rings of some special groups; S_3, A_4, D_4, S_4
S_3, A_4, D_4 ve S_4'ün bazı grup halkaları üzerindeki modül kodlar
AFRA ALKAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2012
MatematikFatih ÜniversitesiCebir ve Sayılar Teorisi Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. TEVFİK BİLGİN
- 1H-MRSI of the deep gray matter structures in patients with amyotrophic lateral sclerosis
Amyotrofik lateral skleroz hastalarında derin gri madde yapılarının multi voksel proton manyetik rezonans spektroskopisi
MERYEM TORLAK
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Biyomühendislikİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İSA YILDIRIM
PROF. DR. ESİN ÖZTÜRK IŞIK
- Grup halkalarında idempotentlerin incelenmesi
A Work on idempotents of group rings
NECDET BATIR
Doktora
Türkçe
1995
MatematikYüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF.DR. ABDURRAHİM YILMAZ
- Grup halkalarında augmentasyon idealler yardımıyla alt grup, alt modül ve ideal ilişkileri
Subgroup, submodule and ideal relationships with the help of augmentation ideals in group rings
AHMET TATLI
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikBurdur Mehmet Akif Ersoy ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ MEHMET UC