Geri Dön

Ikinci tür lineer fredholm-stieltjes integral denklemlerinin orta nokta metodu ile yaklaşık çözümü

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнения фредгольма – стильтьеса второго рода

  1. Tez No: 615579
  2. Yazar: MUHAMMADMUSO ABDUJABBAROV
  3. Danışmanlar: PROF. DR. AVIT ASANOV
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2015
  8. Dil: Kırgızca
  9. Üniversite: Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 104

Özet

Uygulamalı matematik, fizik, mühendislik ve matematiğin bir çok alanında problemleri modellemede aranan fonksiyon integralin içinde karĢımıza çıkabilmektedir. Eğer bir denklemde aranan fonksiyon integralin içinde de olursa bu tür denklemlere integral denklemleri denir. Tabiattaki olayların birçoğu ve herhangi sürekli olaylar diferansiyel denklemlerin yardımıyla modellenebilemektedir. Fakat, diferansiyel denklemler tek baĢına bir problemi tanımlamaya yetmeyebilir. Bu denklemlerin yanına bir de sınır Ģartları da eklenerek tanımlanır. Bunun aksine integral denklemleri ise bir problemi tek baĢına tanımlamaya yeter. Ġntegral denklemlerinin çözümlerinin varlığının ve tekliğinin ispatı mümkün olduğundan, bir çok diferansiyel denklem de integral denklemlerine çevirilerek çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmakta ve çözülmektedir. Ġntegral denklemlerini tek bir kalıpta göstermek mümkün olmadığından, her bir türü ayrı ayrı incelenmektedir. Bu denklemler integralin sınır noktalarına göre, integralin içeriğine göre, aranan fonksiyonun derecesine göre, integral içindeki çekirdeğin özelliğine göre bir kaç türe bölmek mümkündür. Biz bu tezde özellikle ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemlerini ele alacağız. Genellikle integral denklemlerindeki integralin normal analitik metodlarla çözümü zor olduğundan yaklaĢık metodlarla çözülmektedir. Bu yaklaĢık metodlardan biri olan orta nokta yaklaĢık metodunu bu tür integral denklemleri için kullanacağız ve hata analizi yapacağız. ġu ana kadar ikinci tür Fredholm integral denklemlerini orta nokta veya diğer yaklaĢık metodlarla çözümleri mevcuttur. Ama ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemlerinin sadece yamuk sayısal metodu ile yaklaĢık çözümü yapıldığını gördük. Bu tür integral denklemlerinin orta nokta metodu ile yaklaĢık vi çözümünün olmayıĢı bizi bu iĢe ayrıca motive etti denilebilir. Ayrıca orta nokta metodunun hata analizini yapabilmek için sadece içindeki fonksiyonun ikinci dereceden türevlenebilir olması da bizim bu metodu seçmemizde büyük rol oynadı. ġimdi daha detaylıca bu orta nokta metodunu ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemlerinin yaklaĢık çözümüne, çözümün varlığı ve tekliği için gerekli ve yeterli Ģartlara ve son olarak ta hata payına bir göz atalım. AĢağıdaki ikinci tür doğrusal Fredholm – Stieltjes integral denklemini ele alalım ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ),  ,  b a u x   K x s u s dg s  f x x a b (I) burada K(x, s)Ca,ba,b , g(y) fonksiyonu verilen a,b kapalı aralığında sınırlı varyasyon, f (x) verilen fonsiyon ve u(x) bilinmeyen ve aranan fonsiyondur. Sınırlı varyasyon olan g(s) fonksiyonu verilen a,b kapalı aralığında iki tane kesin artan ve sürekli (s), (s) fonsiyonlarının farkı Ģeklinde yazılırsa aĢağıdaki denklemi elde ederiz ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) b a b b a a I II u x K x s u s dg s f x K x s u s d s K x s u s d s f x              (II) (II).denklemdeki I ve II integralleri orta nokta metodu ile yaklaĢık hesaplarsak     * * 2 1 2 1 2 2 2 1 ** ** 2 1 2 1 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i i n i i i i i u x K x x u x x x K x x u x x x f x                       (III) denklemini elde ederiz. Burada her bir i 1,2,3,...,n için 2 2 i x  a  ih , orta noktalar * 2 j 1 x  ve ** 2 j 1 x  aĢağıdaki gibi tanımlanır * 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 i i i x x x               ve ** 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 i i i x x x               her bir i 1,2,3,...,n için, u(x) ise yukarıdaki (II).denklemin yaklaĢık çözümü olsun. ġimdi ise (III).denklemde х 'in yerine orta noktalar yerleĢtirilirse 2n2n doğrusal denklem sistemi elde edilir. vii * * * * ** * 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ** ** * ** ** ** 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n j i j i i j i j i i n n j i j i i j i j i i u x A x u x B x u x f x u x A x u x B x u x f x                               (IV) burada     * ** 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) i i A x K x x  x i  x i Bi x K x x i  x i  x i          . Yada matris türünde yazılacak olursa * * * * 2 1 2 1 2 1 2 1 ** ** ** ** 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j j j i j i j j j A U F A x B x u x f x I A x B x u x f x                                                        (V) ġimdi ise bu doğrusal denklem sisteminin çözülebilir olması için yeterli Ģartın aĢağıdaki gibi olması gerektiği tespit edildi             , , 1 sup , x s a b K x s b a b a              (VI) Yukarıdaki (VI). Ģart sağlandığında (V).sistemin ve dolaysıyla (I).integral denkleminin çözümünün varlığı ve tekliği sağlanmıĢ olur. (V).matris denklemi çözülüp, çözümü tekrar (III).denklemde yerine konulduğunda 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i n i i i i u x U A x U B x f x         (VII) yaklaĢık çözümü elde edilir. Hata analizi için de (II).denklemde I ve II integralleri hata paylarıyla beraber alırsak     * * 2 1 2 1 2 2 2 1 ** ** 2 1 2 1 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) n i i i i i n i i i i i u x K x x u x x x K x x u x x x f x E x h                         (VIII) denklemini elde ederiz. ġimdi (III). ve (VIII).denklemlerin mutlak farkını v(x)  u(x) u(x) diye alırsak, ve       , sup , x a b E x h E h   alırsak, aĢağıdaki integral denklemini elde ederiz     * * 2 1 2 1 2 2 2 1 ** ** 2 1 2 1 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i i n i i i i i v x K x x v x x x K x x v x x x E h                        (IX)

Özet (Çeviri)

Дифференциальные уравнения являются одним из наиболее полезных инструментов для моделировании различных явлений и процессов в природе. Но иногда дифференциальными уравнениями невозможно достаточно описывать некоторые сложные проблемы и потребуется дополнительные условия. Однако, для описания таких задач достаточны интегральные уравнения. А также доказать существование и единственность решений интегральных уравнений более удобно, чем решений дифференциальных уравнений. Поэтому многие дифференциальные уравнения с краевыми условиями решаются путем сведения к интегральным уравнениям. Однако, порой тяжело и даже невозможно решить интегральные уравнения, даже если доказано существование его решения. В таких случаях используются приближенные методы решения. В этой диссертации представлено решение линейных интегральных уравнений Фредгольма – Стильтьеса второго рода: ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ),  ,  b a u x   K x y u y dg y  f x x a b , с помощью приближенного метода средней точки, получены достаточные условия существования и единственности их решении. А также в работе представлен анализ ошибок и формулы для их оценки. Все теоретические выводы проанализированы на практике с помощью компьютерной программы Maple. Ключевые слова: интегральное уравнение, линейное интегральное уравнение Фредгольма – Стильтьеса второго рода, приближенный метод средней точки.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    615580

    Ikinci tür lineer fredholm-stieltjes integral denklemlerinin simpson metodu ile yaklaşık çözümü

    Приближенное вычисление линейного интегрального уравнения фредгольма – стильтьеса второго рода методом симпсона

    SEDAT YANIK

    Doktora

    Kırgızca

    Kırgızca

    2015

    MatematikKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. AVIT ASANOV

  2. Tez No

    791743

    Вольтерра-Стильтьестин үчүнчү түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелеринин бир классынын чыгарылыштары

    Üçüncü tür özel tipten volterra-stiltjes lineer integral denklemlerin çözümleri üzerine

    ELİZA ABSAMAT KIZI

    Yüksek Lisans

    Kırgızca

    Kırgızca

    2022

    MatematikKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. AVIT ASANOV

  3. Tez No

    614750

    Фредгольм – стильтьестин II түрдөгү сызыктуу интегралдык теңдемелерин жалпыланган эйлердин методу менен жакындаштырып чыгаруу

    Fredgolm-stieltjesin'in II.mertebeden lineer integral denklemlerin genelleştirilen Euler'in metodu ile yaklaşık hesaplama

    MELİSBEK GAPPAROV

    Yüksek Lisans

    Kırgızca

    Kırgızca

    2015

    MatematikKırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi

    PROF. DR. AVIT ASANOV

  4. Tez No

    292530

    Homotopy perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iteraston yöntemi üzerine bazı incelemeler

    Some analysis on the homotopy perturbation method and variational iteration method

    ÖZLEM ÖZKAN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2011

    MatematikDumlupınar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ELÇİN YUSUFOĞLU

  5. Tez No

    98272

    Yüksek frekanslı dalgaların reaktif düzlem üzerine yerleştirilmiş dikdötgen kesitli reaktif bir silindirden kırınımı

    Başlık çevirisi yok

    İSMAİL HAKKI TAYYAR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2000

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiGebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü

    Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. ALİNUR BÜYÜKAKSOY

Geri Dön