Harmonic type sums and their arithmetic properties
Harmonik tipi toplamlar ve aritmetik özellikleri
- Tez No: 640155
- Danışmanlar: PROF. DR. EMRE ALKAN, DR. ÖĞR. ÜYESİ HAYDAR GÖRAL
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2020
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Koç Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 85
Özet
Harmonik serinin ilk $n$ teriminin toplamına \emph{$n$. harmonik sayı} denir; şöyle ki $n \ge 1$ için, $$h_n = \sum_{k=1}^n \frac 1 k.$$ Bu sayılar, bir takım aritmetik özellikleri sağlar. Örneğin, $n \ge 2$ için $n$. harmonik sayı tam sayı değildir ve bu ilk kez Theisinger tarafından 1915 yılında gösterilmiştir. Bu sayıların bir genelleştirmesi ise, 1996 yılında Conway ve Guy tarafından verilmiştir. Onlar, $h_n^{(1)} = h_n$ olma koşuluyla, \emph{$r$. dereceden $n$. hiperharmonik sayıyı} $$h_n^{(r)} = \sum_{k=1}^n h_k^{(r-1)}$$ şeklinde tanımlamışlardır. Bu tanımda, $n,r \in \mathbb Z^+$ için $n\ge 1$ ve $r\ge2$ şartları da sağlanır. Mez\H o 2007 yılında, bu sayıların 1 dışında tam sayı olmadığını öngören bir sanı ortaya atmıştır. Aynı sanıyı belirttiği makalede, $n>1$ ve $r \le3$ için $h_n^{(r)}$ sayısının tamsayı olmadığını da göstermiştir. Bu tezde, tamsayı olmayan hiperharmonik sayıların dereceleri için bilinen üst sınırlar geliştirilmiştir. Özellikle, tüm $r \le 35\, 001$ ve $n>1$ değerleri için karşılık gelen hiperharmonik sayıların tamsayı olmadığı kanıtlanmıştır. Ayrıca, $n$ çift bir sayıya veya bir asal kuvvete eşitse, ya da $r$ tek sayı ise, $h_n^{(r)}$ sayısının aynı özelliği sağladığı gösterilmiştir. Üstelik hemen hemen tüm $(n,r)$ ikililerine karşılık gelen hiperharmonik sayıların tam sayı olmadığı, kısa aralıklardaki asal sayılar kullanılarak ispatlanmıştır. Tüm bunların aksine, son analizimiz hiperharmonik tamsayıların varlığını göstermiştir. Özel olarak belirtmek gerekirse, 153 tane farklı $\alpha \mod{748\, 440}$ değeri için $r=64\cdot(2^\alpha - 1) +32$ iken $h_{33}^{(r)}$ sayısının tamsayı olduğu görülmüştür. Bu özelliği sağlayan en küçük $r$ değeri ise $64\cdot(2^{2659} - 1) +32$ sayısına eşittir. Belirtilen bu $r$ değerleri, hiperharmonik tamsayıların sonsuzluğuna işaret eder ve Mez\H o'nün sanısını çürütür.
Özet (Çeviri)
The \emph{$n$-th harmonic number} is the sum of the first $n$ terms of the harmonic series, namely $$h_n = \sum_{k=1}^n \frac 1 k,$$ for $n \ge 1$. These numbers enjoy several arithmetic properties. For instance, it was first shown by Theisinger in 1915 that the $n$-th harmonic number is not an integer, when $n \ge 2.$ A generalization of these numbers was introduced by Conway and Guy in 1996. They defined \emph{the $n$-th hyperharmonic number of order $r$} as $$h_n^{(r)} = \sum_{k=1}^n h_k^{(r-1)},$$ where $h_n^{(1)} = h_n$ and $n,r \in \mathbb Z^+$ such that $n \ge 1$ and $r \ge 2$. In 2007, it was conjectured by Mez\H o that there does not exist any hyperharmonic integer except 1. In the same paper, he also proved that $h_n^{(r)}$ is not an integer, for any integer $n>1$ and $r \le 3.$ In this thesis, we improve the known upper bounds for the order of non-integer hyperharmonic numbers. In particular, we show that for any $r \le 35\, 001$ and $n>1$, the corresponding hyperharmonic number is not an integer. Also, if $n$ is even or a prime power, or $r$ is odd, then the same property holds for $h_n^{(r)}$. Moreover, using the prime numbers in short intervals, we deduce that almost all $(n,r)$ tuples give us hyperharmonic numbers which are not integers. On the contrary, our final analysis leads to the existence of hyperharmonic integers. More precisely, for $r=64\cdot(2^\alpha - 1) +32$, the hyperharmonic number $h_{33}^{(r)}$ is integer for 153 different values of $\alpha \mod{748\, 440}$, where the smallest $r$ is equal to $64\cdot(2^{2659} - 1) +32$. This construction yields the infinitude of hyperharmonic integers, and refutes the conjecture of Mez\H o.
Benzer Tezler
- Geliştirilmiş Ebers-Moll modelinin tranzistorlu gerilim kuvvetlendiricilerinde minimum distorsiyon şartına uygulanması
Application of modified Ebers-Moll model to distortion minimization in bipolar transistor amplifiers
SADRİ ÖZCAN
Doktora
Türkçe
1989
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. ERTUĞRUL YAZGAN
- Asenkron motorlarda rotor çubuk kırılmasının işletme başarımı üzerine etkisinin sonlu elemanlar yöntemiyle tespitine katkılar
Contributions to determining the effect of rotor bar break on operational performance of induntion motors by finite element method
VOLKAN KURT
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektrik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ DERYA AHMET KOCABAŞ
- Yeni bir BJT OTA tasarımı ve minimum distorsiyon şartının gerçeklenmesi
A New modification on BJT OTA structure for low distortion applications
ELİF CENGİZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SADRİ ÖZCAN
- Dönme katsayısı ve moleküler integraller
Rotation coefficient and molecular integrals
SELDA ÖZCAN
Doktora
Türkçe
2007
Fizik ve Fizik MühendisliğiOndokuz Mayıs ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. EMİN ÖZTEKİN
PROF.DR. METİN YAVUZ
- Generalization of harmonic univalent convex functions
Harmonik yalınkat konveks fonksiyonların genelleştirilmesi
ASENA ÇETİNKAYA
Doktora
İngilizce
2020
Matematikİstanbul Kültür ÜniversitesiMatematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ YAŞAR POLATOĞLU