Geri Dön

Tekillikli nicem dizgelerin beklenen değerlerinde olasılıkçıl evrim kuramı,ağırlıklar,sözde beklenen değerler,saptırım açılımları,pade türü yakınsatış

Expectation values dynamics of quantum system with singularities via probabilistic evolution approach, pseudo expactation values, weights, perturbasion expansion and padé approximation

PDF İndir

  1. Tez No: 647437
  2. Yazar: BERFİN KALAY
  3. Danışmanlar: PROF. DR. METİN DEMİRALP
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Mühendislik Bilimleri, Engineering Sciences
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2020
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Bilişim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 168

Özet

Nicem dizgelerin devinimi, çok çeşitli bilimcil araştırım ve uygulayım alanlarında etkin biçimde incelenmekte ve son birkaç on yıllık zaman diliminde bilimcil yazında, teknolojideki gelişmelere de bağlı olarak giderek artan bir oranda yer almaktadır. Buna rağmen, var olan kuram ve yöntemler ile kesin çözümü belirlenebilen dizge sayısı çok çok azdır. Nicem bir dizgenin devinimini betimleyen temel denklem dizge Schrödinger denklemi olarak adlandırılan bir doğrucul (ing: linear) göre türevli denklemdir ve çözümcül olmadığı durumlar için, bilgisayar teknolojisindeki gelişmelere bağlı olarak etkinliği giderek artmakta olan yaklaştırım uzişleri (ing: algorithm) geliştirilmektedir. Bu sav çalışmasının odağı ise Schrödinger denklemi çözümü için bir yöntem geliştirmek değil, ancak Metin Demiralp öncülüğünde bilimsel yazına kazandırılan çok yeni ve geliştirimi devam etmekte olan uzbilimcil yöntem ve uzişlerin önemli bir uygulayım alanı olarak nicem dizgelerde sınanması ve nicem devinbilim ve doğrucul cebirin kuramlarıyla geliştirimi ve dahası Schrödinger denklemini çözmeden işleyebilecek bir devinim belirleyim uzişinin bilimsel yazına kazandırılması olmuştur. Bu sav kapsamında yapılan çalışmalar burada verilen sıraya göre özetlenecek olursa, önce nicem devinbilimin temel kuramları anımsatılarak, uygulayımların odağında bulunan salt uzaklığa bağımlı etkileşimli iki nesnecikli nicem dizgeler için en yalın uzbilimcil biçe oluşturulmuştur. Daha sonra en özelsiz durumda bir nicem dizgenin temel işleçleri ile dizge Hamilton işleci arasındaki Poisson kümesimgelisi denklemleri üzerinden bir beklenen değer devinbilimi biçelendirilmiştir. Bu yapılırken, dizge Hamiltoniyeni en özelsiz yapıda ele alınarak, dizge temel işleçleri olan devinirlik ve konum işleçleri için Poisson kümesimgelisi denklemleri üzerinden yapılan inceleyiş, bu temel işleçleri de içeren $N$ tane işlecin olduğu yapıya genişletilmiştir. Bu en özelsiz durum için, dizge Poisson kümesimgelisi denklem takımı, işleçleri öğe olarak içeren bir $\widehat{\mathbf{s}}$ dizge yöneyi tanımı ve kullanımıyla tıkız olarak betimlenmiştir. Bu denklem takımı, dizge yöneyinin Kronecker üslüleri türünden toplamdiziye açılarak elde edilen yaklaştırımda sağ yanda beliren çokçokterimliliğin derecesinin ikiye düşürülmesi için uzay genişletimi uygulanmıştır. Elde edilen ikinci derecelilik altında, beklenen değer devinim denklemlerini sendelenimsizlik ereyinde "Olasılıkçıl Evrim Kuramı (OLEVKU) ile çözülebilecek yapıya kavuşmakta olduğu gösterilmiştir ve suzödekçil (ing: Hydrogen-like) dizgeler % için bir uygulayış yapılmıştır. Bir sonraki bölümde, Coulomb etkileşimli dizgeler üzerinde Sendelenim kuramı tabanlı bir inceleyişle tekilliklere odaklanılmıştır. Bu inceleyişte, bir işlecin beklenen değerinin zamanda evrimi için Maclaurin toplamdizisi açılımı yazılabileceği öngörülerek, bu toplamdizinin, Hamilton işleci zamana belirtik olarak bağlı olmayan dizgeler için aslında bir sendelenim açılımına karşılık geldiği gösterilmiştir. Suözdekçil dizgeler için yapılan uygulamayla her işleç için sendelenim açılımı katsayılarının belirlenebilir olmadığı gösterilmiştir. Bu durum dizge Hamilton işlecin deki tekillikten kaynaklanmaktadır. Böyle tekilliklerin varlığında başlangıç dalga işlevinin Hamilton işleci altındaki görüntüsü, başlangıç dalga işlevinin bulunduğu uzaydan taşabilmektedir. Dolayısıyla sendelenim işlecinin doğalsayı üslülerinin başlangıç dalga işlevine etkisinin ürettiği görüntü işlevleri uzayında çalışmak uygun görülmüş ve suözdekçil dizgeler için uygulanmıştır. Burada elde edilen yapıda görüntü işlevleri ikililerinin yer aldığı tümlevlerin tümünün tanımlı olmayabileceği görülmüştür. Bu durumda tümlevlenebilirliğin bir ağırlık işleci kullanımıyla sağlanabileceği gösterilmiştir. Bu ağırlığın sendelenim giderimi tabanlı olarak nasıl belirlenebileceği üzerinde durulmuştur. Tüm bu inceleyişlerin ve elde edilen bulguların yardımıyla örtülenmiş Coulomb gizilgüçlü dizgelerin izgecil özelliklerinin saptırım açılımı tabanlı bir inceleyiş ile belirlenimine odakla% nılmıştır. Burada yapay bir saptırım değiştirgesi yerine dizgenin özünden kaynaklanan örtüleyiş değiştirgesi bir saptırım değiştirgesi olarak ele alınmış ve saptırım katsayılarının nasıl belirleneceği gösterilmiştir. Örtüleyiş değiştirgesinin eksisiz (ing: positive) değerleri için saptırım toplamdizilerinin ıraksayacağı görüldüğünden, Pad\'e çizelgeleri oluşturulmuş ve yakınsayışın sağlanabildiği gösterilmiştir.

Özet (Çeviri)

Since every physical system, living or non-living, is made up of quantum systems, understanding the dynamics of quantum systems is important in diverse fields of science and quantum dynamics has become an active field of research in recent decades. Yet, existing tools are not enough to exactly solve the dynamical equations for most quantum systems. In this thesis study, strong mathematical tools that have been developed in our research group's studies supervised by Professor Metin Demiralp are used to overcome this non-solvability, combined with other tools and new ideas to propose efficient mathematical algorithms to deal with the difficulties arising from the singularities in Hamiltonian systems. To this end, Hydrogen-like and screened Coulomb potential systems has been the other main focus of the study. Probabilistic Evolution Theory (PREVTH) is one of the mentioned tools and has been devoloped mainly to solve inital value problems of first order autonomus explicit ODE sets, but also has been used successfully in recent studies to construct expectation value dynamics for certain quantum systems. The main idea of using PREVTH for quantum dynamics applications is to investigate the dynamics of the systems without explicitly solving Schrödinger equation, as it is not exactly solvable for most quantum systems. PREVTH enables us to use linear algebra tools and then can be manipulated by using Kronecker algebra. Thesis is organised as follows. Second section focuses on constructing the mathematical model for quantum systems under consideration in a way to ease the investigations. In the third section, PREVTH is revisited to construct expectation value dynamics. An ODE set over expectation values of quantum mechanical operators which then can be solved by using PREVTH, is constructed using Poisson Bracket algebra. This means Poisson brackets of momentum and position operators with system Hamiltonian are evaluated. This set of system's fundamental operators is not multinomially closed under the Poisson Bracket operation. To this end, new operators might be defined using existing operators and introduced to system's operator basis set to obtain a closed set under Poisson bracket operation. % To achieve a concise format, a vector including the basis set operators as elements is defined and called“system vector”The Poisson bracket of system vector with Hamiltonian is expressed as an infinite Kronecker power series in system vector and then approximated by taking the first n term into consideration, resulting in nth degree multinomial right hand side. Here another tool which we have called“space extension”is used to achieve conicality. A recursive formula is obtained between the expactation values of extended space elements by applying Fluctuationlessness Theorem. An implementation has been done for Hydrogen-like systems. The fourth section focuses on singularities through Fluctuation Approximation based investigations. Assuming that the evolution of expectation value of an quantum operator can be expressed as a Maclaurin series, it is shown that this series is actually the equivalent of fluctuation expansion if the system Hamiltonian is autonamous. Implementation for Hydrogen-like systems shows that fluctuations may not be evaluated for every operator due to the singularities in system Hamiltonian. To overcome this, one way would be chosing an appropriate wave function, but this will reduce the set of inital wave functions. Another way might be constructing a different structure for the operator to suppress the singularity which seems more appropriate for this study. The image of initial wave function under Hamilton operator may also not stay in the same space with the inital wave function due to the Hamiltonian singularities. And more generally, staying in the space under j'nth power of Hamiltonian operator does not guarantee to stay in the space under j+1 st power of Hamiltonian operator where j is a positive integer. The space which is closed under all positive integer powers of Hamilton operator will be spanned by the eigenfunctions of Hamilton operator. Since constructing this space is not an easy way to go, working in the space spanned by the image functions seems a better option. To this end, singularity suppressing structure has been searched first, to be introduced as a weight operator into the integrals that are needed to be evaluated. This leads to a new definition for the expectation values which we call“pseuodo expectation values”and can be considered as weighted expectation values. Although they are not the actual expectation values, they still can give information about the system. Implementing these findings to hydrogen-like systems converted the process of evaluating the integrals into derivation and linear algebra operations. The fifth section is focused on derivation of perturbation series expansions for the energy and the relevant wave function of a screened Coulomb potential system.The perturbed problem is defined by manipulating system's Schrodinger equation, and instead of introducing an artificial perturbation parameter to the equation, screening parameter is taken as the perturbation parameter. Expanding all operators and functions appearing in the equation into Maclaurin series with respect to screening parameter, relevant recursions are obtained in an uncomplicated way. Perturbation components and convergence issues are investigated.The state identity number seems to have impact on convergence, as well as asymptotic behaviors of Maclaurin coefficients of the screening function. These perturbation based investigations are also used to evaluate expactation values and fluctuations of position and momentum operators. It has shown that phase spaces based on momentum and position are not good options to investigate system dynamics. Taking initial wave function from Hamilton eigenspace, spaces based on Hamilton and position operators are shown to be more convenient. Also it has seen that Maclaurin series in screening parameter for expectation values are divergent for all screening parameter values. However investigations on asymptotic behaviour shows that this divergence can be converted into convergence. To this end, Borel sum type applications have been considered. Trials and searches carried out for this purpose has shown that the diagonal sequences in Padé table seem to be more fruitful. Satisfactory results have been obtained using the main diagonal sequences for energy perturbation series. Also it has been found that the Padé approximant sequence with denominator polynomial's degree greater than numerator polynomial's degree by 2 as giving the best approximation for the expectation values. Numerical implementations have been proposed and graphics for energy perturbation approximants have been obtained by MuPAD scripts. The main contribution of this section is showing that accurate information can be produced from divergent series. The sixth section finalizes the thesis remarking important findings in itemized format. There have been also some other trials that have failed or not haven't been finalized for quantum systems, yet brought important findings in mathematical sense. The most fruitful ivestigations from those trials also given in additions section. The first one proposes a method for PREVTH applications where second degree right hand side can not be achieved. The second one proposes a detailed Mathematical Fluctuation Theory based investigation to evaluate time dependent expectation values.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    445100

    A quantitative analysis of leisure participation among seafarers by structural equation modelling

    Yapısal eşitlik modellemesiyle denizcilerin serbest zaman katılımlarının nicel analizi

    VEYSEL GÖKÇEK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2016

    Denizcilikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Deniz Ulaştırma Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. LEYLA TAVACIOĞLU

  2. Tez No

    389477

    Optimal exoskeleton design and e ffective human-in-the-loop control frameworks for rehabilitation robotics

    Rehabilitasyon robotları için optimal dış-iskelet ve etkin insan etkileşimli kontrol çatıları tasarımı

    AHMETCAN ERDOĞAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    Fizyoterapi ve RehabilitasyonSabancı Üniversitesi

    Mekatronik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. VOLKAN PATOĞLU

  3. Tez No

    100910

    Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü için pertürbatif painleve analizi

    A Perturbative painleve analysis to nonlinear differential equations

    İBRAHİM ABATAY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2000

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. MEHMET CAN

  4. Tez No

    233204

    Non selfadjoint diskret Schrödinger operatörünün spektral özellikleri

    The spectral properties of non selfadjoint discrete Schrödinger operator

    CEREN EBRU TOPBAŞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2008

    MatematikAnkara Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. CAFER COŞKUN

  5. Tez No

    633426

    Madgwick IMU algoritması kullanılarak, ataletsel ölçü birimi ile oryantasyon analizi

    Orientation analysis with inertial measurement unit by using Madgwick IMU algorithm

    MEHMET FATİH ÇAKMAK

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2020

    Mekatronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Mekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. SERHAT İKİZOĞLU

Geri Dön