Reduced-order modelling of shallow water equations
Sığ sularda dalga denklemleri için model indirgeme yöntemleri
- Tez No: 677211
- Danışmanlar: PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Jeofizik Mühendisliği, Matematik, Physics and Physics Engineering, Geophysics Engineering, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2021
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Uygulamalı Matematik Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Bilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 150
Özet
Sığ su denklemleri, rastgele bir eksen etrafında dönen bir çerçeve içinde topografya üzerinden akan ince bir viskoz olmayan sıvı tabakasını tanımlayan bir dizi iki boyutlu kısmi diferansiyel denklemden oluşur. Bu denklemler, büyük ölçekli atmosfer / okyanus dinamiklerinin modellenmesinde ve sayısal hava tahmininde yaygın olarak kullanılmaktadır. Sığ su denklemlerinin yüksek çözünürlüklü simülasyonları, zaman ve mekanda doğru çözünürlükle birleştirildiğinde, küresel ölçekler üzerinde uzun zaman ufku gerektirir, simülasyonları çok zaman alıcı hale getirir. Yüksek çözünürlüklü okyanus modelleme simülasyonları yüksek performanslı makinelerinde hala uygulanabilir olsa da, bu çözünürlüklerde modelin bir dizi parametre değeri üzerinden tekrarlanan değerlendirmeleri gibi birçok tekrarın gerçekleştirilmesi mümkün değildir. Düşük mertebeden modelleme, yüksek kaliteli çözümler kullanarak kısmi diferansiyel denklemlerin hızlı simülasyonunu sağlar. Bu tezde, rotasyonel sığ su denklemleri, sabit ve tam Coriolis kuvvetine sahip geleneksel olmayan sığ su denklemleri ve termal sığ su denklemleri için kanonik olmayan Hamilton yapısını, enerjiyi ve Casimirleri, yani kütleyi, entropiyi, vortisite ve kaldırma kuvveti özelliklerini koruyaran indirgenmiş mertebeden modeller incelenmiştir. İndirgenmiş modelleri oluşturmak için iki farklı yaklaşım izlenmiştir; Galerkin projeksiyonu ile geleneksel müdahaleci model indirgeme ve veriye dayalı müdahaleci olmayan model indirgeme yöntemleri. İndirgenmiş modelleri oluşturmak için gerekli olan sığ su denklemlerinin tam mertebeli modelleri, Poisson matrisinin ters-simetrik yapısı korunarak uzaydaki sığ su denklemlerinin sonlu farklarla ayrıştırılmasıyla elde edilmiştir. Galerkin projeksiyonu ile müdahaleci uygun ortogonal ayrıştırma (POD) uygulayarak, tam Coriolis kuvvetine sahip geleneksel olmayan ve termal sığ su denklemi için çarpık gradyan formunda enerji koruyan indirgenmiş modeller oluşturulmuştur. Doğrusal olmayan terimler nedeniyle, indirgenmiş modelin boyutu, tam modelin boyutuyla ölçeklenir. İndirgenmiş modeldeki doğrusal olmayan terimler, hesaplama maliyetini düşürmek için ayrık deneysel interpolasyon (DEIM) yöntemi uygulanarak hesaplanmıştır. İndirgenmiş modellerin çözümlerin hesaplanması, tensör tekniklerinin kullanılmasıyla daha da hızlandırılır. Lineer-kuadratik formdaki rotasyonel sığ su denklemleri için, indirgenmiş çözümlerin boyutu, DEIM gibi hiper indirgeme tekniklerini gerektirmeden tensör cebiri kullanılarak elde edilir. Tensörlerin matrisizasyonlarından yararlanarak tensörel bir çerçevede POD uygulandığında, doğrusal-kuadratik ve çarpık-gradyan formunda rotasyonel sığ su denklemleri için hesaplama maliyeti daha da azaltılmıştır. Veriye dayalı, müdahaleci olmayan indirgenmiş modeller, düşük boyutlu bir alt uzayda uygun bir en küçük kareler optimizasyon problemini çözerek yalnızca anlık görüntülerden öğrenilir. Veriye dayalı indirgenmiş modeller, tam Coriolis kuvvetine sahip geleneksel olmayan ve termal sığ su denklemi için operatör çıkarımı (OpInf) metodu ile oluşturulur. Kötü koşullandırma ve iyileştirme gibi hesaplama zorlukları tartışılmaktadır. Müdahaleci olmayan model indirgeme çerçevesi parametrik bir duruma genişletilirken, indirgenmiş operatörler arasında enterpolasyon yapmadan kısmi diferansiyel denklemler düzeyinde parametre bağımlılığını kullanıyoruz. Doğrusal-kuadratik ve çarpık gradyan biçimindeki müdahaleci ve müdahaleci olmayan düşük mertebeden modeller, çevrimdışı ve çevrimiçi hesaplama maliyetlerinin net bir şekilde ayrılmasını sağlar. Her iki düşük mertebeden modelde benzer şekilde davranmıştır ve test ve eğitim verilerinde doğru bir şekilde öngörüde bulunabilmiştir ve tahmin aşamasında sistem davranışını yakalayabilmiştir. Enerji (Hamiltonian) gibi sığ su denklemlerinin indirgenmiş modellerinde fiziksel niceliklerin korunması ve diğer korunan nicelikler, yani kütle, kaldırma kuvveti ve toplam vortisite, modellerin verilere daha iyi uymasını sağlar ve kararlı çözümler tam modeller üzerinden birkaç büyüklük derecesinde hesaplama hızı sergilerken parametre değişikliklerine karşı dayanıklı olan uzun vadeli tahminlerde elde edilir.
Özet (Çeviri)
The shallow water equations (SWEs) consist of a set of two-dimensional partial differential equations (PDEs) describing a thin inviscid fluid layer flowing over the topography in a frame rotating about an arbitrary axis. SWEs are widely used in modeling large-scale atmosphere/ocean dynamics and numerical weather prediction. High-resolution simulations of the SWEs require long time horizons over global scales when combined with accurate resolution in time and space makes simulations very time-consuming. While high-resolution ocean-modeling simulations are still feasible on large HPC machines, performing many query applications, such as repeated evaluations of the model over a range of parameter values, at these resolutions, is not feasible. Reduced-order modeling enables fast simulation of the PDEs using high- fidelity solutions. In this thesis, reduced-order models (ROMs) are investigated for the rotating SWE, with constant (RSWE) and non-traditional SWE with full Coriolis force (NTSWE), and for rotating thermal SWE (RTSWE) while preserving their non-canonical Hamiltonian-structure, the energy, and Casimir's, i.e. mass, enstrophy, vorticity, and buoyancy. Two different approaches are followed for constructing ROMs; the traditional intrusive model order reduction with Galerkin projection and the data-driven, non-intrusive ROMs. The full order models (FOM) of the SWE, which needed to construct the ROMs are obtained by discretizing the SWE in space by finite differences by preserving the skew-symmetric structure of the Poisson matrix. Applying intrusive proper orthogonal decomposition (POD) with the Galerkin projection, energy preserving ROMs are constructed for the NTSWE and RTSWE in skew gradient form. Due to the nonlinear terms, the dimension of the reduced-order system scales with the dimension of the FOM. The nonlinearities in the ROM are computed by applying the discrete empirical interpolation (DEIM) method to reduce the computational cost. The computation of the reduced-order solutions is accelerated further by the use of tensor techniques. For the RSWE in linear-quadratic form, the dimension of the reduced solutions is obtained using tensor algebra without necessitating hyper-reduction techniques like the DEIM. Applying POD in a tensorial framework by exploiting matricizations of tensors, the computational cost is further reduced for the rotating SWE in linear-quadratic as well in skew-gradient form. In the data-driven, non-intrusive ROMs are learned only from the snapshots by solving an appropriate least-squares optimization problem in a low-dimensional subspace. Data-driven ROMs are constructed for the NTSWE and RTSWE with the operator inference (OpInf). Computational challenges such as ill-conditioning and regularization are discussed. The non-intrusive model order reduction framework is extended to a parametric case, whereas we make use of the parameter dependency at the level of the PDE without interpolating between the reduced operators. The intrusive and non-intrusive ROMs in linear-quadratic and skew-gradient form yield a clear separation of the offline and online computational costs. Both ROMs behave similarly and can accurately predict in the test and training data and capture system behavior in the prediction phase. The preservation of physical quantities in the ROMs of the SWEs such as energy (Hamiltonian), and other conserved quantities, i.e., mass, buoyancy, and total vorticity, enables that the models fit better to data and stable solutions are obtained in the long-term predictions which are robust to parameter changes while exhibiting several orders of magnitude computational speed-up over the FOMs.
Benzer Tezler
- U şeklindeki düzgün sığlaşan körfeze giren tsunami dalgasının etkileri
The effects of tsunami wave entering into U shaped bay
EBUBEKİR ÇELİK
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET NAZMİ POSTACIOĞLU
- Kıyı bölgesinde düzenli ve karışık dalgaların kırılmalarından ötürü enerji kayıplarının incelenmesi
Başlık çevirisi yok
MEHMET KIRDAĞLI
- Zemin-boru etkileşimi ve gömülü rijit borular üzerindeki toprak yükleri ile ilgili karşılaştırmalı bir inceleme
A comparative study on soil-pipe interaction and loads on rigid underground conduits
ERCÜMENT ECE
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGeoteknik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. TUĞRUL ÖZKAN
- İzmir Körfezi'nde ve sedimentlerindeki fosfor ve fosfor davranışının kinetik modellemesi
Başlık çevirisi yok
ENVER YASER KÜÇÜKGÜL
- Yatlarda kıç formunun pervane üzerine etkisi
Effects of the hull stern geometry to the propeller
MURAT BURAK ŞAMŞUL
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGemi ve Deniz Teknoloji Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ABDİ KÜKNER