Computation of the primary decomposition of polynomial ideals using Gröbner bases
Polinom ideallerinin Gröbner bazları kullanılarak primer bileşenlerine ayrılması
- Tez No: 687316
- Danışmanlar: DOÇ. DR. TOLGA KARAYAYLA
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2021
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 100
Özet
Bu tezde, polinom halkalarındaki idealleri primer bileşenlerine ayırma algoritmalarını inceliyoruz. Birim elemana sahip değişmeli Noteryen halka üzerinde tanımlı bir polinom halkasının her ideali, primer bileşenlerine ayrılabilir. Başka bir deyişle, bu tür idealler, primer ideallerin kesişimi şeklinde yazılabilir (bir veya birden fazla şekilde). Bu tür polinom halkalarında primer bileşenlerin varlığı, sözkonusu halkadaki yükselen zincir şartının sağlanmasının bir sonucudur, ancak bunun varlığının ispatı, bu çarpanların nasıl bulunacağına dair bir metot öne sürmez. Buchberger tarafından bulunan Gröbner bazları, değişmeli cebirdeki çeşitli problemlerin çözümü için kuvvetli hesap metotlarının gelişmesini sağlamıştır. Tezin ilk kısmında, bir polinom halkasında verilen bir idealin primer bileşenlerini bulmak için Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen algoritmaları inceliyoruz. Bu algoritmalarda kullanılan esas araç, ideallerdeki belirli işlemlerin hesaplanması için kullanılan Gröbner bazı teknikleri olmuştur. Sıfır boyutlu ideallerin özellikleri, Gröbner bazları cinsinden tanımlanır ve bunu temel alarak $I \cap R$ sıfır boyutlu ve primer olmak üzere, $R$ Noteryen bölgesi üzerinde tanımlı bir polinom halkasından alınan sıfır boyutlu $I$ idealinin primer bileşenlerini hesaplamak için bir algoritma geliştirilmiştir. Sonradan bu algoritma, Esas İdeal Bölgesi üzerinde tanımlı polinom halkasından verilen herhangi bir idealin primer bileşenlerini hesaplamak için kullanılan bir algoritmaya genellenmiştir. İlk kısımda, Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen teorem ve algoritmaların tam bir analizini ve mütalaasını yapıyoruz. Tezin ikinci kısmında ise primer bileşenlerin hesabı problemine Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen başka bir yaklaşım sunuyoruz. Ancak, bu metot Gianni ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalarda indirgeme yapmak için kullanılan, değişkeni bir eksik olan polinom halkasına izdüşüm alma işlemini kullanmamaktadır. Burada, Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen algoritmaların bir taslağını sunuyoruz. Hem Gianni hem Eisenbud ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalar, verilen bir idealin primer ve ortak asal bileşenlerini, böylelikle de kökünü hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Bir polinom halkasındaki $I$ idealinin primer bileşenlerinin hesabının doğrudan bir uygulaması ise $I$ idealinin varyetesinin indirgenemez elemanlarını, $I$ idealinin minimal asal ortak bileşenlerinin varyetesi şeklinde açıkça hesaplayabilmektir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, we investigate algorithms for computing primary decompositions of ideals in polynomial rings. Every ideal in a polynomial ring over a Noetherian commutative ring with identity has a primary decomposition, that is, it can be expressed as the intersection of primary ideals (in a unique way or not). The existence of primary decompositions in such polynomial rings is a result of the ascending chain condition and the existence proof does not suggest any construction method for the primary components of the ideal. The introduction of Gröbner basis by Buchberger has supplied powerful computational methods for various problems in commutative algebra. In the first part of the thesis, we investigate the algorithms developed by Gianni et al. \cite{Gianni88} for the computation of a primary decomposition of a given ideal in a polynomial ring. The main tool used in these algorithms is Gröbner basis techniques for the computation of certain operations on ideals. Properties of zero dimensional ideals are characterized in terms of Gröbner basis and based on that, an algorithm is developed for computing a primary decomposition of a zero dimensional ideal $I$ in a polynomial ring over a Noetherian domain $R$ such that $I \cap R$ is zero dimensional and primary. This algorithm is generalized to an algorithm for the computation of a primary decomposition of any given ideal in a polynomial ring over a PID. We give a complete discussion and analysis of the theorems and algorithms developed by Gianni et al. in \cite{Gianni88}. The second part of the thesis presents another approach to the computation of primary decomposition problem developed by Eisenbud et al. in \cite{Eisenbud92}. This method avoids the projection of an ideal to a polynomial subring with one less variable which was used for reduction in the algorithms developed by Gianni et al. We give an outline of the algorithms developed by Eisenbud et al. in \cite{Eisenbud92}. The algorithms developed by both Gianni et al. and Eisenbud et al. make it possible to compute primary components and associated primes of a given ideal, hence also the radical of the ideal. As a direct application of the computation of a primary decomposition of an ideal $I$ in a polynomial ring, the irreducible components of the variety of $I$ can be computed explicitly as the varieties of minimal associated primes of $I$.
Benzer Tezler
- On the minimum distance of a toric code via vanishing ideal
Sıfırlayan ideal aracılığıyla bir simitli kodun minimum uzaklığı üzerine
FADİME BALDEMİR
Doktora
İngilizce
2023
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA HURŞİT ÖNSİPER
PROF. DR. MESUT ŞAHİN
- Erzincan manyetotelürik verilerinin değerlendirilmesi (profil-A)
Interpretation of Erzincan mt measurements
HIDIR AYGÜL
- FEM-basiertes Softwaresystem für die effiziente 3D Gewindebohrsimulation und Werkzeugoptimierung mittels CFD-Simulation
Başlık çevirisi yok
EKREM ÖZKAYA
- NARMA-L2 controller design for nonlinear systems using online lssvr
Doğrusal olmayan sistemler için çevrimiçi en küçük kareler destek vektör regresyonu ile NARMA-L2 kontrolör tasarımı
GÖKÇEN DEVLET ŞEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. GÜLAY ÖKE GÜNEL
