Geri Dön

Computation of the primary decomposition of polynomial ideals using Gröbner bases

Polinom ideallerinin Gröbner bazları kullanılarak primer bileşenlerine ayrılması

  1. Tez No: 687316
  2. Yazar: BETÜL TOLGAY
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. TOLGA KARAYAYLA
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2021
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 100

Özet

Bu tezde, polinom halkalarındaki idealleri primer bileşenlerine ayırma algoritmalarını inceliyoruz. Birim elemana sahip değişmeli Noteryen halka üzerinde tanımlı bir polinom halkasının her ideali, primer bileşenlerine ayrılabilir. Başka bir deyişle, bu tür idealler, primer ideallerin kesişimi şeklinde yazılabilir (bir veya birden fazla şekilde). Bu tür polinom halkalarında primer bileşenlerin varlığı, sözkonusu halkadaki yükselen zincir şartının sağlanmasının bir sonucudur, ancak bunun varlığının ispatı, bu çarpanların nasıl bulunacağına dair bir metot öne sürmez. Buchberger tarafından bulunan Gröbner bazları, değişmeli cebirdeki çeşitli problemlerin çözümü için kuvvetli hesap metotlarının gelişmesini sağlamıştır. Tezin ilk kısmında, bir polinom halkasında verilen bir idealin primer bileşenlerini bulmak için Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen algoritmaları inceliyoruz. Bu algoritmalarda kullanılan esas araç, ideallerdeki belirli işlemlerin hesaplanması için kullanılan Gröbner bazı teknikleri olmuştur. Sıfır boyutlu ideallerin özellikleri, Gröbner bazları cinsinden tanımlanır ve bunu temel alarak $I \cap R$ sıfır boyutlu ve primer olmak üzere, $R$ Noteryen bölgesi üzerinde tanımlı bir polinom halkasından alınan sıfır boyutlu $I$ idealinin primer bileşenlerini hesaplamak için bir algoritma geliştirilmiştir. Sonradan bu algoritma, Esas İdeal Bölgesi üzerinde tanımlı polinom halkasından verilen herhangi bir idealin primer bileşenlerini hesaplamak için kullanılan bir algoritmaya genellenmiştir. İlk kısımda, Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen teorem ve algoritmaların tam bir analizini ve mütalaasını yapıyoruz. Tezin ikinci kısmında ise primer bileşenlerin hesabı problemine Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen başka bir yaklaşım sunuyoruz. Ancak, bu metot Gianni ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalarda indirgeme yapmak için kullanılan, değişkeni bir eksik olan polinom halkasına izdüşüm alma işlemini kullanmamaktadır. Burada, Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen algoritmaların bir taslağını sunuyoruz. Hem Gianni hem Eisenbud ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalar, verilen bir idealin primer ve ortak asal bileşenlerini, böylelikle de kökünü hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Bir polinom halkasındaki $I$ idealinin primer bileşenlerinin hesabının doğrudan bir uygulaması ise $I$ idealinin varyetesinin indirgenemez elemanlarını, $I$ idealinin minimal asal ortak bileşenlerinin varyetesi şeklinde açıkça hesaplayabilmektir.

Özet (Çeviri)

In this thesis, we investigate algorithms for computing primary decompositions of ideals in polynomial rings. Every ideal in a polynomial ring over a Noetherian commutative ring with identity has a primary decomposition, that is, it can be expressed as the intersection of primary ideals (in a unique way or not). The existence of primary decompositions in such polynomial rings is a result of the ascending chain condition and the existence proof does not suggest any construction method for the primary components of the ideal. The introduction of Gröbner basis by Buchberger has supplied powerful computational methods for various problems in commutative algebra. In the first part of the thesis, we investigate the algorithms developed by Gianni et al. \cite{Gianni88} for the computation of a primary decomposition of a given ideal in a polynomial ring. The main tool used in these algorithms is Gröbner basis techniques for the computation of certain operations on ideals. Properties of zero dimensional ideals are characterized in terms of Gröbner basis and based on that, an algorithm is developed for computing a primary decomposition of a zero dimensional ideal $I$ in a polynomial ring over a Noetherian domain $R$ such that $I \cap R$ is zero dimensional and primary. This algorithm is generalized to an algorithm for the computation of a primary decomposition of any given ideal in a polynomial ring over a PID. We give a complete discussion and analysis of the theorems and algorithms developed by Gianni et al. in \cite{Gianni88}. The second part of the thesis presents another approach to the computation of primary decomposition problem developed by Eisenbud et al. in \cite{Eisenbud92}. This method avoids the projection of an ideal to a polynomial subring with one less variable which was used for reduction in the algorithms developed by Gianni et al. We give an outline of the algorithms developed by Eisenbud et al. in \cite{Eisenbud92}. The algorithms developed by both Gianni et al. and Eisenbud et al. make it possible to compute primary components and associated primes of a given ideal, hence also the radical of the ideal. As a direct application of the computation of a primary decomposition of an ideal $I$ in a polynomial ring, the irreducible components of the variety of $I$ can be computed explicitly as the varieties of minimal associated primes of $I$.

Benzer Tezler

  1. On the minimum distance of a toric code via vanishing ideal

    Sıfırlayan ideal aracılığıyla bir simitli kodun minimum uzaklığı üzerine

    FADİME BALDEMİR

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2023

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MUSTAFA HURŞİT ÖNSİPER

    PROF. DR. MESUT ŞAHİN

  2. Primary components of binomial ideals

    Başlık çevirisi yok

    ZEKİYE ESER

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    MatematikTexas A&M University

    DR. LAURA F. MATUSEVICH

  3. Erzincan manyetotelürik verilerinin değerlendirilmesi (profil-A)

    Interpretation of Erzincan mt measurements

    HIDIR AYGÜL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1994

    Jeofizik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    DOÇ.DR. İLYAS ÇAĞLAR

  4. NARMA-L2 controller design for nonlinear systems using online lssvr

    Doğrusal olmayan sistemler için çevrimiçi en küçük kareler destek vektör regresyonu ile NARMA-L2 kontrolör tasarımı

    GÖKÇEN DEVLET ŞEN

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2019

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. GÜLAY ÖKE GÜNEL