Rıemann manıfoldu üzerinde bazı kısmi diferansiyel denklemler
Some partial differential equations on Riemannian manifolds
- Tez No: 691019
- Danışmanlar: PROF. DR. İSMAİL KÖMBE
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2021
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Ticaret Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışmasının iki temel amacı bulunmaktadır. İlk olarak aşağıda verilen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin pozitif çözümlerinin yokluğu incelenmiştir: \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_g( u^m)+V(x)u^m+\lambda u^q & ,\quad \Omega \times (0, T ), \\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & , \quad\Omega, \\ u(x,t)=0 & ,\quad \partial\Omega\times (0, T) \end{cases} \end{equation*} ve \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_{p,g} u+V(x)u^{p-1}+ \lambda u^q & ,\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & , \quad\Omega ,\\ u(x,t)=0 &, \quad \partial \Omega \times (0,T). \end{cases} \end{equation*} Burada, $0<m<1$, $1<p<2$, $V \in L_{loc}^1$, $q>0$, $\lambda \in \mathbb{R}$ ve $\Omega$ bölgesi, kompakt olmayan $M$ Riemann manifoldunda düzgün sınıra sahip sınırlı bir bölgedir. $\Delta_{g}$ ve $\Delta_{p,g}$, sırasıyla $M$ üzerinde Laplasyan ve $p-$Laplasyan operatörleridir. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin incelenmesinde Hardy tipi eşitsizliklerin önemli bir rol oynadığı bilinmektedir. Bu bağlamda, tezin ikinci amacı olarak, $M$ Riemann manifoldu üzerinde ağırlıklı $L^p$ Hardy tipi eşitsizlikler ispatlanmıştır. Uygun ağırlık fonksiyon seçimleri ile hiperbolik uzay $\mathbb{H}^n$ içindeki düzgün sınırlı $\Omega$ bölgelerinde çeşitli kalan terimli eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca, pozitif çözümlerin yokluğu ispatlanırken kullanılan Leray potansiyeli de bu yolla elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
The main goal of this thesis is twofold. First, we investigate nonexistence of positive solutions of the following nonlinear partial differential equations: \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_g( u^m)+V(x)u^m+\lambda u^q & \text{in} \quad \Omega \times (0, T ), \\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{in} \quad\Omega, \\ u(x,t)=0 & \text{on} \quad \partial\Omega\times (0, T), \end{cases} \end{equation*} and \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_{p,g} u+V(x)u^{p-1}+ \lambda u^q & \text{in}\quad \Omega \times (0, T ) ,\\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{in} \quad\Omega ,\\ u(x,t)=0 & \text{on}\quad \partial \Omega \times (0,T), \end{cases} \end{equation*} where $0<m<1$, $1<p<2$, $V \in L_{loc}^1$, $q>0$, $\lambda \in \mathbb{R}$ and $\Omega$ is a bounded domain with smooth boundary in a noncompact Riemannian manifold $M$. $\Delta_{g}$ and $\Delta_{p,g}$ represents Laplacian and $p-$Laplacian operator on $M$ respectively. Importance of Hardy type inequalities in the analysis of the solutions of partial differential equations is well known. From this point of view, as a second goal, weighted $L^p$ Hardy type inequalities are proved on a Riemannian manifold $M$. Various improved inequalities are obtained on smooth bounded domains $\Omega$ in the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$ with appropriate selection of weight functions. Furthermore, the Leray potential that used in proving the absence of positive solutions, was also obtained in this way.
Benzer Tezler
- G2 structures with torsion and some applications in string theory
Burulmalı G2 yapıları ve bazı sicim teorisi uygulamaları
EMİNE DİRİÖZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2016
İstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Yükleniyor...
- Ultrahiperbolik türden kısmi türevli denklemler için Carleman değerlendirmeleri
Carleman estimates for ultrahyperbolic partial differential equations
PELİN ŞEN
- Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces
Öklid ve Minkowski uzaylarındaki bikonzörvatif ve biharmonik yüzeyler
HAZAL YÜRÜK
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
İstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Yükleniyor...
