Geri Dön

Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces

Öklid ve Minkowski uzaylarındaki bikonzörvatif ve biharmonik yüzeyler

PDF İndir

  1. Tez No: 886907
  2. Yazar: HAZAL YÜRÜK
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY, DOÇ. DR. RÜYA ŞEN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2024
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 66

Özet

1960'ların ortalarında Sampson ve Eels, enerji fonksiyonelinin fiziksel ve geometrik özelliklerini araştırırken harmonik tasvirlerin genelleştirilmiş bir versiyonu olan $k$-harmonik tasvir kavramını diferansiyel geometriye kazandırdılar. Bu tanımın sunulmasının ardından birçok geometrici, biharmonik tasvirler üzerine çalışmalar yapmaya başladı.\\ $(M^m,g)$ ve $(N^n,\tilde{g})$ yarı Riemann manifoldları arasındaki $E_2$ bienerji fonksiyoneli her $\varphi: M \to N$ düzgün tasviri için $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ şeklinde tanımlanır ki burada $\tau(\varphi)$ ile $\varphi$ tasvirinin gerilme alanı gösterilmektedir. $\varphi$ tasvirine eğer $E_2$ bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise biharmoniktir denir. Bu şart $$\tau_2(\varphi)=0$$ şeklindeki Euler- Langrange denkleminin sağlanmasına dentir ki burada $\tau_2$ ile $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi$$ şeklinde tanımlanan bi-gerilme alanı gösterilmiştir.\\ 1980'lerin ortalarında, B. Y. Chen, sonlu tipteki alt manifoldların yapısı üzerine araştırmalar yaparken, ayrıca biharmonik alt manifoldları inceledi ve Öklid uzaylarındaki biharmonik alt manifoldların tanımını sundu. Daha sonra, bu tanım yarı-Öklid uzaylarına genişletildi. $\mathbb E^n_r$ yarı Öklid uzayından $M^m$ alt manifolduna giden bir $x:M \to \mathbb E^n_r$ izometrik daldırması göz önüne alınsın. Bu tasvirin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0,$$ ve $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0$$ denklemleriyle verilen dördüncü dereceden yarı-lineer kısmi diferansiyel denklem sisteminin sağlanmasıdır.\\ Diğer taraftan, eğer bir $\varphi: M \to N$ tasvirine daha zayıf bir koşul olan $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ denklemini sağlıyorsa bikonzörvatiftir denir. Ayrıca, eğer özel olarak $x: M \to N$ bir izometrik daldırma ise bir önceki denklem $$\tau_2(x)^\top = 0$$ halini alır ki burada $\tau_2(x)^\top$ ile $\tau_2(x)$ vektör alanının teğet kısmı gösterilmiştir. Bu durumda, $M$ yüzeyi $N$ yüzeyinin bir bikönzervatif alt manifoldudur.\\ $M$ alt manifoldunun ortalama eğrilik vektörü ve ortalama eğriliği, sırasıyla, $$H=\frac 1m\mathrm{trace}h$$ ve $$f=\sqrt{\vert\langle H,H\rangle\vert}$$ denklemleriyle tanımlanır ki burada $h$ ile $M$ alt manifoldunun ikinci temel formu gösterillmiştir. $f\neq0$ olduğu varsayılsın. Eğer $\frac{H}{f}$ vektör alanı paralel ise $M$ alt manifolduna paralel normalleştirilmiş ortalama eğrilik vektörüne (PNMCV) sahiptir denir.\\ Diğer taraftan, $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki hiperbolik, zamansal ve parabolik dönel yüzeylerin parametrizasyonları, sırasıyla, $$F_1(s,t) = (x(s),y(s),w(s)\sinh{t},w(s)\cosh{t}), s\in I, t \in [0,2\pi],$$ $$F_2(s,t) = (x(s),y(s),w(s)\cosh{t},w(s)\sinh{t}), s\in I, t \in [0,2\pi]$$ ve $$F_3(s,t)=x(s)\eta_1+\sqrt{2}tw(s)\eta_2+(z(s)+t^2w(s))\xi_3+w(s)\xi_4, s\in I, t \in \mathbb{R}$$ şeklindedir. Burada $x,y$ ve $w$ düzgün birer fonksiyondur ve $\eta_1, \eta_2, \xi_3, \xi_4$ $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki sözde- ortonormal çatı alanı oluşturan sabit vektörlerdir.\\ Bu tezde öncelikli olarak $\mathbb E^4$ deki bikonzörvatif PNMCV yüzeylerle çalışılmıştır. Daha sonra ise $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki dönel yüzeylerin bikonzörvatif olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir.\\ İlk bölümde, biharmonik ve bikonzörvatif alt manifoldlara ilişkin tarihsel arka plan ve temel ilkelere kısa bir genel bakışın yanı sıra bu alanda şimdiye kadar elde edilmiş sonuçlar sunulmaktadır. İkinci bölümde yarı-Öklid uzaylarının alt manifoldları, bikonzörvatif alt manifoldlar ve dönel yüzeyler hakkında bazı temel gösterimler verilmiştir.\\ Üçüncü bölümde, $\mathbb E^4$ uzayında bikonzörvatif PNMCV yüzeylerle çalışılmıştır. Bu yüzeylerin lokal parametrizasyonları elde edilmiştir. Sonuç olarak, $\mathbb E^4$ uzayında biharmonik PNMCV yüzey olmadığı gösterilmiştir.\\ Dördüncü bölümde, $\mathbb E^4_1$ Minkowski uzayındaki dönel yüzeyler çalışılmıştır. Hiperbolik, Zamansal ve Parabolik dönel yüzeylerin her biri için bikonzörvatif olma şartları elde edilmiştir.\\ Sonuç bölümünde, elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve bu sonuçları geliştirmeye yönelik bazı öneriler sunulmuştur.

Özet (Çeviri)

In 1964, Sampson and Eells formulated the concept of biharmonic maps as an extension of harmonic maps while investigating the energy functional $E$ between Riemannian manifolds, a subject of both geometric and physical significance. Subsequently, numerous mathematicians have shown interest in the study of biharmonic mappings.\\ By the definition, the bienergy functional between semi-Riemannian manifolds $(M^m,g)$ and $(N^n,\tilde{g})$ is defined by $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ for a smooth map $\varphi:M \to N$, where $\tau(\varphi)$ represents the tension field of $\varphi$. $\varphi:M\to N$ is said to be biconservative if it is a critical point of $E_2$. This condition is equivalent to satisfying the Euler-Lagrange equation associated with the bienergy functional $$\tau_2(\varphi)=0,$$ where $\tau_2$ is the bitension field defined by $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi.$$\\ In the 1980s, B. Y. Chen conducted research on biharmonic submanifolds within Euclidean spaces as a component of B. Y. Chen's initiative to comprehend submanifolds of finite type in semi-Euclidean spaces. B. Y. Chen proposed an other characterization of biharmonic submanifolds in these spaces. Let $x:M\to \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion. By examining normal and tangential parts of $\tau_2(x)$, the following results can be obtained.\\ Let $x: M^m \rightarrow \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion of an $n$-dimensional semi-Riemannian submanifold $M^m$ into the semi-Euclidean space $\mathbb E^n_r$. If $x$ satisfies the fourth-order semi-linear PDE system given by the equations $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0$$ and $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0,$$ then $M^m$ is biharmonic.\\ On the other hand, if a mapping $\varphi: M \to N$ satisfies the weaker condition $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ then it is said to be biconservative. Mainly, if $x: M \to N$ is an isometric immersion, then the previous equation is equivalent to $$\tau_2(x)^\top = 0,$$ where $\tau_2(x)^\top$ represents the tangential part of $\tau_2(x)$. In this case, $M$ is said to be a biconservative submanifold of $N$.\\ In this thesis, we mainly focus on biharmonic and biconservative surfaces in four dimensional Euclidean and Minkowski spaces. The first section provides a concise overview of the historical background and underlying principles concerning biharmonic and biconservative submanifolds, as well as an overview of the research conducted far in this field. In the second section, we give some basic notations and basic facts about submanifolds of semi- Euclidean spaces, the definition of biconservative submanifolds and we introduce the rotational surfaces. In the third section, we give biconservative PNMCV surfaces in $\mathbb E^4$. We obtain local parameterizations of these surfaces and demonstrate that they are not biharmonic. In the fourth section, we give biconservative rotational surfaces in $\mathbb E_1^4$. We study with three different class of rotational surfaces and obtain the condition for each of them to be biconservative. In the concluding section, the derived conclusions are presented, along with recommendations regarding possible future researches.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    903738

    Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms

    Lorentz uzay formlarının biharmonik ve bikonservatif altmanifoldları

    AYKUT KAYHAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY

  2. Tez No

    865641

    Biyokonservatizmden insanartıcılığa: İnsan+uygulamalar sorunu üzerine biyoetik-biyopolitik bir inceleme

    From bioconservatism to transhumanism: A bioethical-biopolitical study on the problem of human enhancement

    MUSTAFA KOÇ

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    BiyoteknolojiMuğla Sıtkı Koçman Üniversitesi

    Felsefe Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HATİCE NUR ERKIZAN

  3. Tez No

    493263

    İnsanı geliştirmeye yönelik uygulamalar üzerine normatif bir analiz

    A normative analysis of human enhancement procedures

    TAYYİBE BARDAKÇI

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    Deontoloji ve Tıp Tarihiİstanbul Üniversitesi

    Tıp Tarihi ve Etik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. HAKAN ERTİN

    DOÇ. DR. EMİNE ELİF VATANOĞLU LUTZ

  4. Tez No

    272031

    Kedilerde dirsek ekleminin travmatik lezyonlarının klinik ve radyolojik değerlendirilmesi

    Clinical and radiological evaluation of traumatic injuries of elbow joint in cats

    ENGİN ALEV ERDEM

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2010

    Veteriner HekimliğiAnkara Üniversitesi

    Cerrahi (Veterinerlik) Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. MEHMET SAĞLAM

  5. Tez No

    198564

    Chip load, calibration analysis and dynamics of ball-end milling for free-form surface machining

    Küresel uçlu parmak frezeleme ile serbest formlu yüzey işlemenin dinamiği ile talaş genişliği ve kalibrasyon analizi

    BURAK ÖZTÜRK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2005

    Makine MühendisliğiKoç Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. İSMAİL LAZOĞLU

Geri Dön