Geri Dön

Bi-fractional order reference model based control system design

İkili-kesirli mertebe referans model tabanlı kontrol sistem tasarımı

PDF İndir

  1. Tez No: 732343
  2. Yazar: ERTUĞRUL KEÇECİ
  3. Danışmanlar: PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Computer Engineering and Computer Science and Control
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2022
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 71

Özet

Kesirli mertebe hesaplamanın ortaya çıkışı Leibniz ve L'Hopital arasındaki bir mektuplaşmadan doğmuştur. 1695 yılında yazılan bu mektupta L'Hopital, Leibniz'e ortaya koyduğu türev tanımındaki \emph{n} dereceden türev ifadesinin $n=0.5$ seçilmesiyle sonucun ne olacağını sormuştur. Leibniz'in bu soruya karşılık \emph{“ileride bir gün bu soruya verilecek yanıt faydalı sonuçlar getirecek”} dediği bilinmektedir. Bu tarihten itibaren ilk başlarda matematikçiler, 20. yüzyılın ortalarıyla birlikte de mühendisler tarafından kesirli mertebe hesaplama üzerine katkılar yapılmıştır. Günümüzde en çok bilinen kesirli mertebe operatör tanımları; Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov ve Caputo tarafından sunulmuştur. Riemann-Liouville ve Caputo tam sayı katlı integral operatörünü belirli sınırlara uymak koşuluyla genelleştirirken, Grünwald-Letnikov ise tam sayı mertebeden türev ifadesini genelleştirerek tam sayı olmayan mertebeden türevi ifade etmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta ise \emph{“kesirli”} ifadesinin kullanımıdır. Tam sayı mertebe hesaplama üzerinde yapılan genelleştirmeler sadece rasyonel (kesirli) sayıları değil aynı zamanda rasyonel olmayan ve kompleks sayıları da içermektedir. Bu sebepten \emph{“kesirli”} ifadesi yerine \emph{“tam sayı olmayan”} demek daha doğru olsa da literatürde \emph{“kesirli”} ifadesi yerleşmiş bir kalıp olduğundan bu şekilde kullanılmaktadır. Kesirli mertebeden türev ve integral operatörlerinin zaman tanım bölgesindeki yanıtını tam sayı mertebe hesaplama kullanarak elde etmek mümkün değildir. Bu sebepten dolayı tam sayı mertebe hesaplamada kullanılan faktöriyel ve üstel fonksiyonu kesirli mertebe hesaplama için genelleştirilmiştir. Kesirli mertebe hesaplamada kullanılan Gamma fonksiyonu, tam sayı hesaplamadaki faktoriyel ifadesini genelleştirirken, Mittag-Lefler fonksiyonu ise üstel fonksiyonu genelleştirmektedir. Türetilen bu iki fonksiyon sayesinde kesirli mertebeden türev ve integral operatörlerinin zaman tanım bölgesindeki cevaplarına ulaşılabilmektedir. Frekans tanım bölgesi ise kesirli mertebeden türev ve integral operatörlerinin etkilerinin çok daha rahat bir şekilde elde edilmesine olanak sağlar. Tam sayı hesaplamada $n.$ dereceden türev veya $n$ katlı integral frekans tanım bölgesinde kazanç payına $\pm20ndB/dec$ etkide bulunuyorken, faz payını $\pm90n$ dereceye götürmektedir. Bu hesaba benzer bir şekilde $\gamma$ dereceden kesirli mertebe türev veya $\gamma$ katlı kesirli mertebe integral kazanç payına $\pm20\gamma dB/dec$ etkide bulunur ve faz payını ise $\pm90\gamma$ dereceye götürür. Kesirli mertebeden operatörlerin geometrik ve fiziksel karşılıkları ifade etmek uzunca bir süre tartışılan bir problem olarak kalmıştır. Son yıllarda yapılan çalışmalarla bu problem üzerinde genel kabul görebilecek yorumlar yapılmıştır. Riemann-Liouville integralinin, Stieltjes integrali formunda yazılması ile üç eksen takımı üzerinde oluşturulan bir uzayda geometrik yansıması ifade edilir. Aynı zamanda bu geometrik açıklama fiziksel bir karşılık ile de desteklenir. Zamanın uzayda homojen bir şekilde akmaması göz önüne alınarak; lokal zaman ve mutlak zaman tanımları yapılabilir. Bu bağlamda herhangi bir fonksiyon için fonksiyon, lokal zaman ve mutlak zaman geometrik olarak açıklanan üç ekseni oluşturur. Üç boyutlu uzayda bu fonksiyonun çizdiği eğrinin altında kalan alanın lokal zaman eksenine izdüşümü tam sayı katlı integrali, mutlak zaman eksenine izdüşümü ise kesirli mertebe integrali ifade eder. Kesirli mertebe türev ve integral hesaplamaları için birçok bilim insanı tarafından nümerik yöntemler önerilmiştir. Kesirli mertebe operatörlerin frekans domenindeki davranışları bilindiği için bu davranışı sergileyen bir filtre tasarımı düşünülebilir. Bununla birlikte tam sayı mertebe türev ve integralin frekans yanıtı ile kesirli mertebe karşılıklarının frekans yanıtı birbirlerine tam olarak uymamaktadır. Bundan dolayı bütün frekanslar boyunca bir filtrenin kesirli mertebe operatör dinamiklerini göstermesi mümkün olmayacaktır. Kesirli mertebe operatörün frekans domeni yanıtını yeterince geniş ve yeterli bir frekans aralığında temsil eden yaklaşık filtre tasarım metodlarından en çok bilinen ve uygulananı Oustaloup tarafından ortaya konmuştur. Oustaloup ortaya koyduğu bu yakınsamada kesirli mertebe operatörün frekans domeni dinamiğini, belirli bir frekans aralığında bu dinamiğe yaklaşan tam sayı mertebe kutup ve sıfır çiftleri ile ifade etmiştir. 17. yüzyılın sonlarında ortaya çıkan ve teorisinde sürekli geliştirmeler yapılan kesirli mertebe hesaplamanın bir mühendislik probleminde ilk olarak kullanılması yaklaşık bir buçuk asır sürmüştür. Kesirli mertebe hesaplamanın uygulanması ilk olarak Abel tarafından 1823 yılında yapılmıştır. Abel eşzamanlı eğrilerin integralinin çözümünü $0.5$ mertebeden türev kullanarak hesaplamıştır. Daha sonrasında ise Boole ve Heaviside kesirli mertebe hesaplamayı farklı uygulamaların çözümünde kullanmıştır. Doğadaki bazı davranışların kesirli mertebe hesaplama ile modellenebildiğinin farkedilmesi, kontrol alanının bu konuya yönelik ilgisini arttırmıştır. İlk olarak viskoelastisitenin kesirli mertebe hesaplama kullanılarak modellenmesinden sonra, ısı transferi, enerji iletim hatları, difüzyon gibi bir çok uygulamada kesirli mertebe modellemeler yapılmıştır. Buna karşılık kontrol mühendisliği alanına tam olarak kesirli mertebe hesaplama Manabe tarafından dahil edilmiştir. Manabe kesirli mertebeden integralin frekans domeni yanıtını kontrol sistemleri üzerinde kullanmıştır. Sonrasında Oustaloup ilk kesirli mertebe kontrolör yöntemini ortaya koymuştur. Bulduğu CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier) methodu tam sayı mertebeden PID kontrolörden daha iyi performans göstermiştir. Yirminci yüzyılın sonlarında ise Podnubly tam sayı mertebeden PID kontrolörün kesirli mertebe hesaplamaya genelleştirilmesini yapmış ve kesirli mertebe PID kontrolörü tanıtmıştır. Kesirli mertebe PID kontrolörün fazladan iki parametreye sahip olması tasarım açısından esneklik sağlıyor olması ile birlikte Podnubly aynı zamanda ifade ettiği kontrolör yapısının kesirli mertebeden modellenmiş sistemler üzerinde de daha iyi sonuçlar verdiğini göstermiştir. Arzu edilen dinamikleri gösteren kapalı çevrim sistem transfer fonksiyonları çoğunlukla referans model olarak isimlendirilir. Referans modellerin, uygulanabilirlik açısından herhangi bir zorluk getirmeden istenilenleri sağlayabiliyor olması birçok kontrol yöntemi içinde kullanılmasını sağlamıştır. Bu yöntemlere iç model kontrol, karakteristik oran atama ve doğrudan sentez metodları örnek gösterilebilir. Bu metodlardan doğrudan sentez yöntemi kutup-sıfır götürmesi yapma yoluyla kapalı çevrim referans modelin istenilen dinamikleri göstermesini sağlar. Bu noktada referans modelin kutup ve sıfırlarının, referans modelin zaman ve frekans domenindeki yanıtına etkilerinin bilinmesi önem arz etmektedir. Tam sayı mertebe modellenmiş sistemler için bu etkiler bilinirken kesirli mertebe modellenmiş sistemler için hala bir araştırma konusudur. Dolayısıyla referans modelin kesirli mertebe transfer fonksiyonu olarak seçilmesi istenildiğinde, kesirli mertebe transfer fonksiyonun zaman ve frekans bölgesindeki dinamiklerinin iyi bir şekilde bilinmesi gerekir. Bu tezde, ikili-kesirli mertebe transfer fonksiyonu referans model olarak düşünülmüştür. İkili-kesirli mertebe transfer fonksiyonun parametrelerinin zaman bölgesi karakteristiğine etkisini inceleyen geniş çaplı bir analiz yapılmıştır. Analizin sonucunda sönüm oranı ve ortak kesirli mertebe parametre çiftinin en küçük yerleşme zamanını elde eden bir özel davranış içinde olduğu gözlemlenmiştir. Ek olarak ikili-kesirli mertebe referans modelin doğal frekansının bu özel davranış üzerinde herhangi bir etkiye sahip olmadığı farkedilmişdir. Bu davranışı temsil etme amacıyla ortak kesirli mertebe ve sönüm oranına bağlı bir polinom oluşturulmuştur. Oluşturulan polinomu kullanarak ortak kesirli mertebe ve doğal frekans olmak üzere sadece iki parametreye sahip olan yeni bir ikili-kesirli mertebe referans model türetilmiştir. Daha sonra yeni türetilen ikili-kesirli mertebe referans modelini elde etmek üzere doğrudan sentez tasarımı ile bir kontrolör tasarımı gösterilmiştir. Kontrolör tasarımı için bir algoritma geliştirilmiş ve algoritmaya ait akış diyagramı verilmiştir. Ortaya konulan analizin ve kontrolör tasarım yönteminin uygulaması için Quanser'in aktif süspansiyon sistemi ele alınmıştır. Bir global optimizasyon algoritması ile gerçek zamanlı sistemin modeli elde edilmiş ve türetilen kontrolör tasarım algoritması bu modele uygulanmıştır. Algoritma boyunca tasarlanan kontrolörler gerçek zamanlı sisteme uygulanmış ve gerçek zamanlı sistem yanıtları elde edilmiştir.

Özet (Çeviri)

The emergence of fractional calculus arose from a correspondence between Leibniz and L'Hopital. In this letter written in 1695, L'Hopital asked Leibniz what the result would be if \emph{n} is chosen as 0.5 in the n-order derivative expression. It is known that Leibniz, in response to this question, said: \emph{“one day in the future, the answer to this question will bring useful results”}. Since this date, contributions have been made on fractional calculus by mathematicians at first and by engineers since the middle of the $20^{th}$ century. Today, the most well-known fractional order operator definitions are presented by Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov and Caputo. Riemann-Liouville and Caputo generalized the integer-order integral operator with subject certain constraints, while Grünwald-Letnikov generalized the integer-order derivative expression to express a non-integer-order derivative. It is not possible to obtain the time domain response of fractional-order derivative and integral operators by using classical calculus. Thus, the factorial and exponential functions used in classical calculus are generalized for fractional calculus. The responses of the fractional derivative and integral operators in the time domain can be obtained with the help of this generalizations. On the other hand, the frequency domain allows the effects of fractional-order derivative and integral operators to be obtained in a much more convenient way. In classical calculus, the $n^{th}$ order derivative or $n$-fold integral frequency has a $\pm20ndB/dec$ effect on the gain margin in the definition region, while it takes the phase margin to $\pm90n$ degrees. Similarly, a $\gamma$-order fractional order derivative or a $\gamma$-fold fractional order integral has a $\pm20\gamma dB/dec$ effect on the gain margin and leads the phase margin to $\pm90\gamma$ degrees. The reality that some behaviors in nature can be modeled with fractional calculus has increased the interest of the control field on this subject. Fractional order modeling has been performed in many applications such as viscoelasticity, heat transfer, energy transmission lines, diffusion. However, the fractional-order calculation is exactly included in the field of control engineering at 1961. After that, the first fractional order controller method is introduced and it is showed that the fractional controller outperforms integer order PID controller. At the end of the twentieth century, the fractional order PID controller is introduced by making a generalization of the integer order PID controller. Closed-loop system transfer functions that demonstrate the desired dynamics are often called a reference model. Internal model control, characteristic ratio assignment, and direct synthesis methods can be the examples in which reference models are included. Direct synthesis method provides a closed-loop reference model to show the desired dynamics by making a pole-zero cancellation. It's crucial to understand the effects of the reference model's poles and zeros on its time and frequency domain responses. While these effects are well understood for integer order modeled systems, they are currently being studied for fractional order modeled systems. As a result, in order to select the reference model as a fractional order transfer function, the time and frequency domain dynamics of the fractional order transfer function must be completely comprehended. In this thesis, a large-scale analysis is carried out examining the effect of the parameters of the bi-fractional order transfer function on the time domain characteristics. As a result of this analysis, it is observed that the damping ratio-commensurate fractional order pairs show a specific behavior which achieves the smallest settling time. In order to represent this behavior, a polynomial is fitted which depends on the commensurate fractional order and the damping ratio. This polynomial is used to generate a novel bi-fractional-order reference model with only two parameters: the commensurate fractional order and the natural frequency. Then, a controller design algorithm based on direct synthesis design method is proposed to obtain the newly derived bi-fractional order reference model. The active suspension system of the Quanser is considered for the implementation of the proposed analysis and controller design algorithm.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    798477

    Mayıs sineği optimizasyonu tabanlı iki yönlü çift aktif köprülüDA-DA dönüştürücünün tasarımı ve denetimi

    Design and control of bidirectional dual active bridge DC-DCconverter based on mayfly optimization

    MİRAÇ ÖZTÜRK

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2023

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiKaradeniz Teknik Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ HAKAN KAHVECİ

  2. Tez No

    39886

    Kalite çemberleri ve TS-ISO 9000 uygulamaları

    Quality circles and TS-ISO 9000 practies

    MUSA GÜRSOY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1994

    Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. ATAÇ SOYSAL

  3. Tez No

    600309

    Tikso dövme proses parametrelerinin çeliklerin mekanik ve mikroyapisal özelliklerine etkisinin incelenmesi

    Investigation of the effect of thixo forging process parameters on the mechanical and microstructural properties of steels

    İSA METİN ÖZKARA

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2019

    Metalurji Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Metalurji ve Malzeme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MURAT BAYDOĞAN

  4. Tez No

    39343

    Doğal, tarihi kültürel açıdan turizm potansiyelini değerlendirme modeli: Ayvalık örneği

    The tourism model for evaluation of natural, historical and cultural potential: A case of Ayvalık

    İSMAİL HAKAN KOLCU

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1993

    Şehircilik ve Bölge Planlamaİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF. DR. VEDİA DÖKMECİ

  5. Tez No

    323828

    Çift yönlü röleli kanallarda uyarlamalı eşleme

    Adaptive network codign in two way relay channels

    BURHANETTİN TÜRKEL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2012

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ÜMİT AYGÖLÜ

Geri Dön