Logaritmik kaynak terimli evolüsyon denklemlerinin çözümleri
Solutions of evolution equations with logarithmic source term
- Tez No: 761220
- Danışmanlar: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Dicle Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 52
Özet
Bu tezin ilk bölümünde fen ve mühendislik gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan diferansiyel denklemlerin tanımına ve tarihsel sürecine kısaca değinilmiştir. Diferansiyel denklemlerdeki gelişmelerin matematikte yeni alanların ortaya çıkmasını sağladığı ve matematikteki birçok alanlardaki ilerlemelerin de diferansiyel denklemler için yeni bakış açıları sunduğunada değinilmiştir. İkinci bölümünde, tezin amacı belirtilmiş ve logaritmik kaynak terimli denklemlerin genel olarak kullanıldığı alanlar verilmiştir. Daha sonra logaritmik kaynak terimli problemlerle ilgili temel çalışmalar verilmiştir. Burada ilk olarak Birula ve Mycielski'nin 1976'da çalıştığı problem verilmiş, hemen ardından Cazenave ve Haraux'un 1980 yılındaki çalışmasına yer verilmiştir. Temel problemler verildikten sonra günümüze kadar yapılan birçok çalışma bu bölümde verilmiştir. Üçüncü bölüm, üç kısımdan oluşmaktadır. İlk olarak Lebesgue uzayının tanımına yer verilmiştir. İkinci kısımda Sobolev uzayının tanımı ve Sobolev Gömülme teoremi verilmiştir. Üçüncü kısımda ise tez boyunca gerekli olan eşitsizliklere ve lemmalara yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, bir boyutlu logaritmik kaynak terimli Klein-Gordon denklemine çalışılmıştır. Logaritmik lineer olmayan Klein-Gordon probleminin çözümlerinin lokal varlığı ele alınmıştır. Daha sonra problemin zayıf çözümünün ispatı verilmiş olup, ispat: Yaklaşım Çözüm bulma, Önsel Kestirim ve Limite Geçiş olmak üzere üç adımdan oluşmuştur. Burada zayıf çözümün ispatında Galerkin metodu, Logaritmik Sobolev Eşitsizliği ve Kompaktlık teoremleri kullanılmıştır. Ayrıca ispatın üçüncü adımı olan Limite Geçiş adımında Aubin Lions lemmasından faydalanılmıştır. Beşinci bölüm tezin özgün kısmı olup logaritmik kaynak terimli yüksek mertebeden Klein-Gordon denkleminine çalışılmıştır. Problemimizin ilk olarak enerji denklemi bulunup, gerekli lemmalar ve tanımlara yer verilmiştir. Daha sonra problemimizin global varlığı ve üstel azalmasıyla ilgili teoremler verilmiş ve teoremlerin ispatında kullanılacak lemmalar ispatlarıyla birlikte verilmiştir. Son olarak problemimizin çözümün patlamasına çalışılmıştır. Konkavlık metodu kullanılarak problemimizin patlaması gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise tezin sonuç ve öneriler kısmına yer verilmiştir.
Özet (Çeviri)
In the first part of this thesis, the definition and historical process of the differential equation that emerged in applied sciences such as science and engineering are briefly mentioned. It is also mentioned that the developments in differential equations provide the emergence of new fields in mathematics and the advances in many fields in mathematics offer new perspectives for differential equations. In the second part, the purpose of the thesis is stated and the areas where the equations with logarithmic source terms are used in general are given. Then, basic studies on problems with logarithmic source terms are given. Here, first the problem that Birula and Mycielski worked on in 1976 is given, and then the work of Cazenave and Haraux in 1980 is given. After the basic problems are given, many studies carried out until today are given in this section. The third part consists of three parts. Firstly, the definition of Lebesgue space is given. In the second part, the definition of Sobolev space and the Sobolev Embedding theorem are given. In the third part, the inequalities and lemmas required throughout the thesis are included. In the fourth chapter, the Klein-Gordon equation with one-dimensional logarithmic source terms is studied. The local existence of the solutions of the logarithmic nonlinear Klein-Gordon problem is discussed. Then, the proof of the weak solution of the problem is given, and the proof consists of three steps: Approach Finding the Solution, Predictive Estimation and Passing the Limit. Here, Galerkin method, Logarithmic Sobolev Inequality and Compactness theorems are used to prove the weak solution. In addition, the Aubin Lions lemma is used in the step of Passing the Limit, which is the third step of the proof. The fifth chapter is the original part of the thesis, and the higher order Klein-Gordon equation with logarithmic source terms has been studied. First, the energy equation of our problem is found and shown, and necessary lemmas and definitions are given. Then, the theorems about the Global Existence and Exponential Decay of our problem are given and the lemmas to be used in the proof of the theorems are given together with their proofs. Finally, the Blow up of the Solution of our problem has been attempted. The blow up of our problem has been shown using the concavity method. In the sixth chapter, the conclusion and suggestions of the thesis are given.
Benzer Tezler
- Logaritmik kaynak terimli dalga denklemlerin çözümlerinin davranışı
Behavior of solutions of wave equations with logarithmic source term
NAZLI IRKIL
- Yarıgrup teorisi ile evolüsyon denklemlerin çözümleri
Solutions of evolution equations with the semigroup theory
ERKAN SANCAR
- Evolüsyon denklemlerin çözümlerinin patlama zamanı için alt sınır ve üst sınır
Lower and upper bounds for the blow up time of solutions of evolution equations
YAVUZ DİNÇ
Doktora
Türkçe
2022
MatematikVan Yüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CEMİL TUNÇ
PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
- Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı
Mathematical behavior of solutions of parabolic type equations with logarithmic source terms
TUĞRUL CÖMERT
- Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemin çözümlerinin global varlığı
Global existence of solutions of parabolic type equation with logarithmic source terms
ZÜLEYHA BİRTANE KAYA
