Değişken üslü sobolev uzaylarında parabolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi
Analysis of solutions of parabolic type equations in sobolev spaces with variable exponents
- Tez No: 940071
- Danışmanlar: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Dicle Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 112
Özet
Bu tez, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik tipli denklemlerin çözümlerinin analizi üzerine odaklanmaktadır. Değişken üslü kısmi diferansiyel denklemler, sabit üslü diferansiyel denklemlere kıyasla fiziksel olayların modellenmesinde daha gelişmiş bir yaklaşım sunar. Bu nedenle, değişken üsse sahip parabolik denklemleri matematiksel olarak modellemeye yönelik son zamanlarda önemli bir ilgi ortaya çıkmıştır. Örneğin, elektro-reolojik sıvıların davranışını modellemek, bir elektrik alanına karşı sıvının viskozitesinin nasıl tepki verdiğini anlamaya yardımcı olur. Benzer şekilde, sıcaklığa bağlı viskoziteye sahip sıvıların modellenmesi, bilim ve mühendislik uygulamaları için oldukça önemlidir. Gözenekli ortamda filtrasyon süreçlerini incelemek, yeraltı suyu hareketini, kirlilik taşınımını ve petrokimyasal üretim süreçlerini anlamaya katkıda bulunur. Değişken üsse sahip denklemler, görüntü işleme alanında da önemli bir etki yaratmış olup, daha verimli görüntü iyileştirme tekniklerini mümkün kılmıştır. Evolüsyon denklemler, bir sistemin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlar ve fizik, biyoloji, kimya ve ekonomi gibi çeşitli bilimsel disiplinlerde yaygın olarak kullanılır. Tezin ilk bölümünde, değişken üslü parabolik tipten evolüsyon denklemlerinin tarihsel gelişimi ve uygulamalı bilimlerdeki önemi ele alınmıştır. İkinci bölümde, değişken üslü Sobolev uzaylarında parabolik denklemler üzerine yapılan önceki çalışmaların literatür taraması sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tez boyunca kullanılacak temel tanımlar, lemmalar, teoremler ve eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde, değişken üslü m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise, değişken üslü parabolik tipten Kirchhoff denkleminin çözümlerinin varlığı ve azalması incelenmiştir. Altıncı bölümde, değişken üslü doğrusal olmayan logaritmik kaynak terimli bir parabolik denklemin çözümlerinin varlığı ve patlaması gösterilmiştir. Son olarak yedinci bölümde, logaritmik kaynak terimli viskoelastik m(x)-biharmonik denklemlerin çözümlerinin varlığı ve patlaması ele alınmıştır. Sonuç bölümünde ise, yapılan analizlerin genel bir değerlendirmesi yapılarak, elde edilen bulguların literatüre katkıları ve gelecekteki araştırmalar için potansiyel çalışma alanları tartışılmıştır.
Özet (Çeviri)
This thesis focuses on the analysis of solutions equations of parabolic type in Sobolev spaces with variable exponents. Partial differential equations with variable exponents offer a more advanced approach to modelling physical phenomena compared to equations with fixed exponents. For this reason, there has recently been considerable interest in mathematically modelling parabolic equations with variable exponents. For example, modelling the behavior of electro-rheological fluids helps to understand how the viscosity of the fluid responds to an electric field. Similarly, modelling liquids with temperature-dependent viscosity is very important for science and engineering applications. Studying filtration processes in porous media contributes to understanding groundwater movement, pollution transport and petrochemical production processes. Variable exponent equations have also had a significant impact on image processing, enabling more efficient image enhancement techniques. Evolution equations describe how a system changes over time and are widely used in various scientific disciplines such as physics, biology, chemistry and economics. In the first part of the thesis, the historical development of the evolution equations of parabolic type with variable exponent and their importance in applied sciences are discussed. In the second chapter, a literature review of previous works on parabolic equations in Sobolev spaces with variable exponents is presented. In the third chapter, the basic definitions, lemmas, theorems and inequalities that will be used throughout the thesis are detailed. In the fourth chapter, existence and blow-up of solutions of m(x)-biharmonic equations with variable exponent are discussed. In the fifth section, existence and decay of solutions of Kirchhoff equations of parabolic type with variable exponent are analyzed. In the sixth section, existence and blow-up of solutions of a parabolic equation with a nonlinear logarithmic source term with variable exponent are shown. Finally, in the seventh section, the existence and blow-up of solutions of viscoelastic m(x)-biharmonic equations with a logarithmic source term are discussed. In the conclusion, an overview of the analyses is given and the contributions of the findings to the literature and potential areas for future research are discussed.
Benzer Tezler
- Değişken üslü Sobolev uzaylarında hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin analizi
Analysis of solutions for hyperbolic type equations in variable exponent Sobolev spaces
NEBİ YILMAZ
- Değişken üslü Sobolev uzaylarında regüler fonksiyonların yoğunluğu
Density of regular functions in variable exponent Sobolev spaces
YASİN KAYA
- Ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları ve bazı uygulamaları
Weighted variable exponent Sobolev spaces and some applications
CİHAN ÜNAL
- Weighted variable sobolev spaces and some basic properties
Ağırlıklı değişken üslü sobolev uzayları ve bazı temel özellikleri
CİHAN KÖKSAL
- Standart omlayan büyüme koşulunu içeren Steklov sınır değer probleminin çözümlerinin incelenmesi
Investigation of solutions of the Steklov boundary value problem involving nonstandard growth condition
VAHUP MURAD
