Düzgün konveks metrik uzaylarda bazı sabit nokta iterasyon yaklaşımları ve optimizasyon
Some iterative approximation of fixed points and optimization in uniformly convex metric spaces
- Tez No: 803358
- Danışmanlar: PROF. DR. VATAN KARAKAYA
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 98
Özet
$CAT _{p}(0)$ uzaylarının ve $p$-düzgün konveks metrik uzayların Hadamard uzaylarından daha genel olan jeodezik metrik uzaylar olduğu bilinmektedir. Mevcut tez çalışmasında, jeodezik metrik uzaylarda genişlemeyen tipten dönüşümler kullanılarak minimizasyon ve bazı sabit nokta problemlerinin çözüm ve uygulamaları araştırılacaktır. Altı bölüm olarak tasarlanan bu çalışmada; birinci bölümde literatür özeti, tezin amacı ve hipotezi verilmiştir. İkinci bölüm ise tezin tamamında kullanılacak olan temel kavramları, tanımları ve teoremleri içermektedir. Üçüncü bölümde; p- düzgün konveks metrik uzaylarda alışılmış metrik topolojiden daha zayıf olan, zayıf yakınsama sağlayan ve $\tau_{{w}}$ olarak adlandırılacak olan yeni bir topoloji inşa edilmiştir. Bu yeni zayıf topolojiyle Banach uzaylarındaki kompaktlık kavramına benzer yeni sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca, p-düzgün konveks metrik uzaylarda kapalı konveks alt kümeler üzerinde iz düşüm dönüşümleri incelenerek bu uzaylarda Hilbert uzayları ve Banach uzaylarında var olan Opial ve Kadec Klee gibi geometrik özelliklerin benzer tanımları elde edilmiştir. Dördüncü bölümde; ${CAT}_{{p}}(0)$ uzaylarında ${CN}^{*}$ eşitsizliğinin bir genellemesi verilmiş ve daha sonra bu uzaylarda S-iterasyonu, genişlemeyen dönüşümler altında dönüşümün sabit noktasına kuvvetli ve $\Delta$- yakınsak olduğu gösterilmiştir. Bununla birlikte, elde edilen yakınsama sonuçları $CAT(0)$ uzaylarında minimizasyon problemlerini çözmek için uygulanmıştır. Beşinci bölümde, ilk olarak, doğrusal olmayan Lebesgue uzayları Hadamard uzaylarından p-düzgün konveks metrik uzaylara genişletilmiştir. Daha sonra, p-düzgün konveks metrik uzaylarda yeni tanımlanan genelleştirilmiş genişlemeyen dönüşüm sınıfı için bazı $\Delta$-yakınsaklık ve kuvvetli yakınsaklık teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca, bu sınıfın sabit noktalarına yaklaşmak için yeni tanımladığımız JK-iterasyon yöntemi kullanılmıştır. Son bölümde ise $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda ağırlıklı ortalama iz düşüm dizileri için bazı eşitsizlikler kurulmuştur. Bununla birlikte elde edilen eşitsizlikler kullanılarak ağırlıklı ortalama iz düşüm dizisinin asimptotik regülerliği ve $\Delta$- yakınsaklığı ispatlanmıştır. Ayrıca, $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda belirli regülarite veya kompaktlık koşulları altında dizinin kuvvetli yakınsaklığı gösterilmiştir. Son olarak, $p$-düzgün konveks metrik uzaylarda Ishikawa iz düşüm dizisi tanımlanarak belirli şartlar altında $\Delta$- yakınsaklığı ve kuvvetli yakınsaklığı ispatlanmıştır.
Özet (Çeviri)
The present thesis aims to investigate the solution and applications of fixed point problems in geodesic metric spaces utilizing transformations of nonexpansive type. Geodesic metric spaces, which are more general than Hadamard spaces, include $CAT_P(0)$ spaces and p-uniformly convex metric spaces. These spaces are known to possess geodesic convex structures, which enable the definition of the shortest path distance between any two points within them. This study is designed as six chapters; the first chapter summarizes the literature, the aim, and the hypothesis of the thesis. The second chapter contains the basic concepts, definitions, and theorems that will be used throughout the thesis. In the third chapter, a new topology, named $\tau_{\mathrm{w}}$, is constructed which is weaker than the usual metric topology for p-uniformly convex metric spaces and provides weak convergence. With this new topology, compactness results similar to the notion of compactness in Banach spaces are obtained. Moreover, by studying projection mappings on closed convex subsets in p-smooth convex metric spaces, similar definitions of geometric properties such as Opial and Kadec Klee, which exist in Hilbert spaces and Banach spaces, are obtained. In the fourth section, a generalization of the inequality ${CN}^{*}$ on $CAT_{p}(0)$ spaces is given and then S-iteration on these spaces is shown to be strongly and $\Delta$- convergent to the fixed point of the mapping under nonexpansive transformations. Moreover, the obtained convergence results are applied to solve minimization problems on $CAT(0)$ spaces. In the fifth section, we first extend nonlinear Lebesgue spaces from $CAT(0)$ spaces to p-uniformly convex metric spaces. Then, some $\Delta$-convergence and strong convergence theorems are proved for the newly defined class of generalized nonexpansive maps on p-smooth convex metric spaces. Moreover, our newly defined JK-iteration method is used to approximate the fixed points of this class. Finally, new examples of this class in terms of p-smooth convex metric spaces are given. In the last section, we define weighted average projection and Ishikawa projection iteration methods in $p$-uniformly convex metric spaces. We employ these methods to solve the feasibility problem in these spaces.
Benzer Tezler
- Konik konveks metrik uzaylarda düzgün quası lıpschıtzıan dönüşüm sınıfları için iterasyon şeması
The iteration method for class of uniformly quasi lipschitzian mappings in cone convex metric spaces
GAMZE ÖZKAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
MatematikAtatürk ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ SÜHEYLA ELMAS
- Monotone iterative techniques for set valued differential equations in metric spaces
Metrik uzaylarda küme diferensiyel denklemler için monoton iterasyon teknikler
BATOUL BALLOUT
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
MatematikGebze Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. COŞKUN YAKAR
- Bazı konveks çok yüzlülerle ilgili metrikler ve bu metriklerin geometrileri üzerine
On the metrics of some convex polyhedra and the geometries of these metrics
ZEYNEP CAN
Doktora
Türkçe
2016
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. RÜSTEM KAYA
- Bazı katalan çokyüzlülerle ilgili metrik geometriler üzerine
On the metric geometries related some catalan polyhedra
ZEYNEP ÇOLAK
Doktora
Türkçe
2016
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ÖZCAN GELİŞGEN
- Menger konveks metrik uzaylarda sabit noktalar ve en iyi yaklaşım
Fixed points and best approximation in menger convex metric space
GİZEM BEDİR YARAR
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
MatematikOrdu ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ERDAL ÜNLÜYOL