Large-scale estimation of the stability radius
Büyük ölçekli kararlilik yariçapi hesaplamalari
- Tez No: 817032
- Danışmanlar: PROF. DR. EMRE MENGİ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Koç Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 94
Özet
Bir matrisin kararlılık yarıçapı, matrisin 2-normu açısından karmaşık düzlemin kapalı sağ yarısında bir özdeğer içeren en yakın matrise olan uzaklığıdır. Aynı zamanda, ilgili sürekli-zamanlı lineer kontrol sisteminin asimptotik olarak kararsız sistemler kümesine olan uzaklığına denk gelir ve tekil değer optimizasyonu problemi olarak tanımlanabilir. Bu tezde, temel ilgi alanımız büyük ölçekli karmaşık kararlılık yarıçapı problemleridir. İlk bölümde asıl problemleri düzgün alt uzaylara yansıtıp daha küçük ölçekli problemler elde etme üzerine kurulu, tekil değer optimizasyon karakterizasyonu üzerinde etki eden bir alt uzay yöntemini öneriyoruz. Her iterasyonda kontrol sisteminin durum uzayı küçük bir alt uzayla sınırlanıyor ve orijinalinden çok daha küçük bir tekil değer optimizasyonu problemi elde ediliyor. Sonuç olarak, seviye kümesi yöntemleri aracılığıyla sayısal olarak çözülen ve kuadratik hızda yakınsayan bir algoritma elde ediyoruz. Mevcut Boyd-Balakrishnan ve Bruinsma-Steinbuch algoritmalarının bu amaç için nasıl değiştirilebileceğini açıklıyoruz. Her iterasyonda indirgenmiş tekil değer optimizasyonu problemi çözüldükten sonra sınırlanmış alt uzayı, indirgenmiş problemi optimize eden değerde, indirgenmiş problem ile asıl problem arasında Hermit interpolasyon özelliklerinin korunması şartı ile belirli orijinal problem tekil vektörlerini içerecek şekilde genişletiyoruz. Bu alt uzay çerçevesinin süper-lineer hızda yakınsadığını teorik olarak kanıtlıyoruz. Kararlılık yarıçapını hesaplamak için önerilen alt uzay çerçevesinin önemli bir sorunu, yerel olarak yakınsaması. İkinci bölümde, birinci bölümde tanıtılan alt uzay yönteminin global optimum olmayan bir yerel optimuma yakınsama ihtimalini önlemek amacıyla, girdi matrisinin karmaşık düzleme en yakın özdeğerlerini başlangıç interpolasyon noktaları olarak kullanmayı öneriyoruz. Bu seçim, tekil değer optimizasyon probleminin global optimize değerlerinin büyük olasılıkla karmaşık düzleme yakın olan özdeğerlerin yakınında yer alması gözlemine dayanıyor. Bu özdeğerleri, yakın zamanda Aziz ve diğerleri tarafından büyük ölçekli doğrusal olmayan özdeğer problemleri için özel olarak geliştirilen türev interpolasyon alt uzay çerçevesini kullanarak hesaplıyoruz. Bu alt uzay yaklaşımında, orijinal büyük ölçekli ve küçük genelleştirilmiş özdeğer problemleri arasında interpolasyon özelliklerini sağlayan küçük bir genelleştirilmiş özdeğer problemine yol açan çift taraflı Petrov-Galerkin projeksiyonları kullanıyoruz. Küçük problemlerin tüm özdeğerleri QZ algoritması aracılığıyla kolayca hesaplanabiliyor. Daha sonra her iterasyonda tekrar projeksiyon alt uzaylarını küçük problemin karmaşık düzleme en yakın olan özdeğerleriyle orijinal problem arasında Hermite interpolasyon özelliklerini sağlayacak şekilde genişletiyoruz. Bu alt uzay yöntemi en azından kuadratik bir hızda yakınsıyor ve orijinal büyük ölçekli özdeğer problemini karmaşık düzleme yakın neredeyse aynı özdeğerlere sahip olan küçük bir özdeğer problemi ile yaklaşık olarak çözüyor. Son olarak tanımladığımız alt uzay yöntemlerini birleştirerek, büyük matrislerin kararlılık yarıçapını çoğu zaman iyi bir şekilde tahmin eden etkili bir yaklaşım elde ediyoruz ve çeşitli seyrek matrisler üzerinde kapsamlı sayısal deneylerle doğruluyoruz.
Özet (Çeviri)
The stability radius of a matrix is the distance from the matrix to a nearest matrix with an eigenvalue on the closed right half of the complex plane with respect to the matrix 2-norm. It also corresponds to a distance from the associated continuous-time linear control system to the set of systems that are not asymptotically stable, and can be posed as a singular value optimization problem.In this thesis, our primary interest is the large-scale complex stability-radii problems. In the first part, we propose a subspace framework for the complex stability radius of a large matrix. The subspace framework operates on the singular value optimization characterization. In particular, the state space of the control system is restricted to a small subspace at every iteration. The resulting singular value optimization problem is much smaller than the original one. As a result, it can be solved numerically by means of level-set methods that converge quickly at a quadratic rate. We describe how the existing Boyd-Balakrishnan and Bruinsma-Steinbuch algorithms can be modified for this purpose. After solving such a reduced singular value optimization problem at every iteration, we expand the restriction subspace by including certain singular vectors of the original problem so as to ensure the Hermite interpolation properties between the reduced and original problem at the optimizer of the reduced problem. We formally argue why this subspace framework converges at a super-linear rate. One important issue with the subspace framework proposed for estimating the stability radius is that it converges locally. In the second part, to avoid convergence to a local optimizer that is not a global optimizer, we propose to use the eigenvalues of the matrix closest to the imaginary axis as the initial interpolation points for the subspace framework introduced in the first part. This initialization is motivated by the observation that the global optimizers of the singular value optimization problem are very likely to be located near the imaginary parts of the eigenvalues closest to the imaginary axis. We estimate these eigenvalues by employing another derivative interpolating subspace framework recently tailored for large-scale nonlinear eigenvalue problems by Aziz et al. In this subspace approach for eigenvalue problems, two-sided Petrov-Galerkin projections are employed leading to a small generalized eigenvalue problem such that interpolation properties hold between the original large-scale and small generalized eigenvalue problems. All of the eigenvalues of the small problem can be computed at ease for instance by means of the QZ algorithm. Then, again the projection subspaces are expanded at every iteration so that Hermite interpolation properties hold between the original and the small problem at the eigenvalues of the small problem closest to the imaginary axis. This framework is guaranteed to converge at least quadratically, which means that the original large-scale eigenvalue problem is approximated by a small eigenvalue problem with nearly the same eigenvalues near the imaginary axis. Putting these ingredients together, we obtain an efficient approach that most often approximates the stability radius of large matrices well, which we confirm by numerical experiments on several sparse matrices.
Benzer Tezler
- 1,2-1,8-Antrakinon substitue makro halkalı eter sentezleri
The Synthesis of 1,2- and 1,8-antraquinone derivaties of crown ethers
ERBAY ERBAY
- Large scale wireless propagation channel characterization of air-to-air and air-to-ground drone communications
Hava-hava ve hava-yer drone haberleşmesi için büyük ölçekli kablosuz yayılım kanalı karakterizasyonu
UBEYDULLAH ERDEMİR
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HAKAN ALİ ÇIRPAN
- Simulation of protein structure by a simplified model: Application to the rop dimer
Protein yapısının basitleştirilmiş bir modelle simülasyonu
E. DEMET AKTEN
Yüksek Lisans
İngilizce
1996
Kimya MühendisliğiBoğaziçi ÜniversitesiKimya Mühendisliği Bölümü
PROF. DR. İVET BAHAR
PROF. DR. BURAK ERMAN
- İlk varış zamanlarından sismik ortama ait istatistiksel parametrelerin kestirilmesi
Estimating medium statistical parameters using first arrival travel times
DENİZ VARILSÜHA
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Jeofizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiJeofizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYŞE KAŞLILAR ŞİŞMAN
- S-Transformasyonu ve yatay kontrol ağlarında deformasyon analizi
S-Transformation and deformation in horizontal control networks
BEDRETTİN BAŞKAYA