On set-valued functionals: Multivariate risk measures and aumann integrals
Küme değerli fonksiyoneller üzerine: Çokdeğişkenli risk ölçüleri ve aumann tümlevleri
- Tez No: 824550
- Danışmanlar: PROF. DR. BIRGIT RUDLOFF
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Mühendislik Bilimleri, Endüstri ve Endüstri Mühendisliği, Matematik, Engineering Sciences, Industrial and Industrial Engineering, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Prınceton Unıversıty
- Enstitü: Yurtdışı Enstitü
- Ana Bilim Dalı: Finans Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Finans Mühendisliği ve Risk Yönetimi Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tezde, rassal vektörler için çokdeğişkenli risk ölçüleri ve küme değerli fonksiyonların Aumann tümlevleri incelenmiştir. Her ikisi de $\mathbb{R}^m$'nin altkümelerinin oluşturduğu bir tam kafeste değerler alan küme değerli fonksiyonellerdir. Çokdeğişkenli risk ölçüleri, kesikli zamanda yatırım fırsatlarının olduğu genel bir $d$ varlıklı finans piyasasında dikkate alınmıştır. Daha ayrıntılı belirtmek gerekirse, piyasanın aşağıdaki özellikleri çokdeğişkenli riskin değerlendirilmesine dahil edilmiştir: ödeme gücü bölgeleri ile modellenen dışbükey işlem maliyetleri, dışbükey rassal kümeler ile modellenen ara ticaret kısıtları ve varlıkların ilk $m \leq d$ tanesine tasfiye edilmesi gerekliliği. Yatırımcının, $m$ boyutlu rassal vektörler uzayı üzerinde, varlıklara yönelik risk tutumunu temsil eden ancak piyasadaki sürtünmeleri hesaba katmayan“saf”bir $R$ çokdeğişkenli risk ölçüsüne sahip olduğu varsayılmıştır. Daha sonra $d$ boyutlu pozisyona sahip yatırımcı, yukarıda açıklanan sürtünmelere tabi olarak piyasada işlem yaparak ulaşabileceği tüm $m$ boyutlu pozisyonlar üzerinden küme değerli $R$ fonksiyonelini enküçükler. Böylelikle $d$ boyutlu rassal vektörler uzayında ortaya çıkan $R^\text{mar}$ fonksiyoneli, $R$'nin piyasa uzantısı adı verilen bir başka çokdeğişkenli risk ölçüsüdür. $R$'nin etkilerini ve piyasadaki sürtünmeleri ayrıştıran $R^\text{mar}$ için bir çifteş temsil teoremi kanıtlanmıştır. Daha sonra, çok değişkenli risk ölçümleri fayda temelli bir çerçevede incelenmektedir. Yatırımcının her bir varlığa karşı tam bir risk tercihine sahip olduğu ve bunun bir von Neumann-Morgenstern fayda fonksiyonu ile temsil edilebildiği varsayılmaktadır. Daha sonra, bireysel fayda fonksiyonlarının vektörü ile temsil edilen çok değişkenli konumlar için tam olmayan bir tercih dikkate alınır. Bu yapı altında, çokdeğişkenli eksiklik ve sapma riski ölçüleri, küme enküçükleme problemlerinin eniyi değerleri olarak tanımlanır. Çokdeğişkenli risk ölçülerinin iki sınıfı arasındaki çifteşlik ilişkisi, küme eniyilemesi için yeni bir Lagrange çifteşliği yoluyla inşa edilmiştir. Özellikle, bir eksiklik riski ölçüsünün, bir skalerizasyon parametresi ile indislenen bir sapma riski ölçüleri ailesi üzerinde bir kesişim olarak yazılabildiği gösterilmiştir. Örnekler arasında entropik risk ölçüsünün çokdeğişkenli versiyonları ve risk altındaki ortalama değer yer almaktadır. İkinci bölümde, ölçülebilir bir uzaydaki küme değerli fonksiyonların Aumann tümlevleri, küme değerli fonksiyoneller olarak incelenmiş ve bu tür fonksiyoneller için Daniell-Stone tipi bir niteleme teoremi kanıtlanmıştır. Daha açık anlatmak gerekirse, ölçülebilir küme değerli fonksiyonları $R^m$'nin altkümelerinden oluşan belirli bir tam kafese eşleyen bir fonksiyonelin, ancak ve ancak fonksiyonel şu özellikleri sağlıyorsa bir Aumann tümlevi olarak yazılabileceği gösterilmiştir: (1) toplamsallık, 2) pozitif homojenlik, (3) azalan limitleri koruma, (4) yarıuzay değerli fonksiyonları yarıuzaylara eşleme, (5) kaydırılmış koni değerli fonksiyonları kaydırılmış konilere eşleme. İlk üç özellik, Lebesgue tümlevi için klasik Daniell-Stone teoreminde zaten mevcut olsa da son iki özellik, küme değerli çerçeveye özgüdür ve bir küme değerli fonksiyoneli Aumann tümlevi olarak yazabilmek için ilk üç özelliği tamamlamaya yeterlidir.
Özet (Çeviri)
In this dissertation, multivariate risk measures for random vectors and Aumann integrals of set-valued functions are studied. Both are set-valued functionals with values in a complete lattice of subsets of $\mathbb{R}^m$. Multivariate risk measures are considered in a general $d$-asset financial market with trading opportunities in discrete time. Specifically, the following features of the market are incorporated in the evaluation of multivariate risk: convex transaction costs modeled by solvency regions, intermediate trading constraints modeled by convex random sets, and the requirement of liquidation into the first $m\leq d$ of the assets. It is assumed that the investor has a“pure”multivariate risk measure $R$ on the space of $m$-dimensional random vectors which represents her risk attitude towards the assets but does not take into account the frictions of the market. Then, the investor with a $d$-dimensional position minimizes the set-valued functional $R$ over all $m$-dimensional positions that she can reach by trading in the market subject to the frictions described above. The resulting functional $R^\text{mar}$ on the space of $d$-dimensional random vectors is another multivariate risk measure, called the market-extension of $R$. A dual representation for $R^\text{mar}$ that decomposes the effects of $R$ and the frictions of the market is proved. Next, multivariate risk measures are studied in a utility-based framework. It is assumed that the investor has a complete risk preference towards each individual as- set, which can be represented by a von Neumann-Morgenstern utility function. Then, an incomplete preference is considered for multivariate positions which is represented by the vector of the individual utility functions. Under this structure, multivariate shortfall and divergence risk measures are defined as the optimal values of set minimization problems. The dual relationship between the two classes of multivariate risk measures is constructed via a recent Lagrange duality for set optimization. In particular, it is shown that a shortfall risk measure can be written as an intersection over a family of divergence risk measures indexed by a scalarization parameter. Examples include the multivariate versions of the entropic risk measure and the average value at risk. In the second part, Aumann integrals of set-valued functions on a measurable space are viewed as set-valued functionals and a Daniell-Stone type characterization theorem is proved for such functionals. More precisely, it is shown that a functional that maps measurable set-valued functions into a certain complete lattice of subsets of $R^m$ can be written as the Aumann integral with respect to a measure if and only if the functional is (1) additive and (2) positively homogeneous, (3) it preserves decreasing limits, (4) it maps halfspace-valued functions to halfspaces, and (5) it maps shifted cone-valued functions to shifted cones. While the first three properties already exist in the classical Daniell-Stone theorem for the Lebesgue integral, the last two properties are peculiar to the set-valued framework and they suffice to complement the first three properties to identify a set-valued functional as the Aumann integral with respect to a measure.
Benzer Tezler
- Normal popülasyonda miyokardiyal T1, T2 ve T2* değerlerinin yaş, cinsiyet ve kardiyak segmentlere göre analizi
Analysis of myocardial T1, T2, and T2* values in normal population by age, gender, and cardiac segments
ÇAĞRI ÖZCAN
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2023
Radyoloji ve Nükleer TıpSağlık Bilimleri ÜniversitesiRadyoloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN YİĞİT
- Multipl skleroz hastalarının klinik, laboratuvar ve tedavi yanıtlarının incelenmesi
Analysis of clinical, laboratory and treatment responses of multiple sclerosis (Ms) patients
ŞEVKET OZAN DÖRTKOL
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2023
Nörolojiİstanbul ÜniversitesiNöroloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MURAT KÜRTÜNCÜ
- Prostetik kalp kapağı ilişkili subklinik intravasküler hemolizin endotel ve kardiyovasküler sistem üzerine olan etkileri
The effects of prosthetic heart valve-associated subclinical intravascular hemolysis on the endothelium and cardiovascular system
YAKUP YUNUS YAMANTÜRK
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2024
KardiyolojiAnkara ÜniversitesiKardiyoloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÇAĞDAŞ ÖZDÖL
- Sigorta verilerinde çok değişkenli istatistiklerin kullanımı
Başlık çevirisi yok
SELİM AREN
Yüksek Lisans
Türkçe
1995
SigortacılıkMarmara ÜniversitesiSigortacılık Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. ŞAHAMET BÜLBÜL
- Post-transplant survival prediction in liver transplantation: implications for organ acceptance
Karaciğer nakli sonrası sağkalım tahmini: organ kabulüne yönelik etkileri
SERRA BERŞAN GENGEÇ
Yüksek Lisans
İngilizce
2026
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BURHANEDDİN SANDIKÇI